1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 由曲线 y= x(0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( )2 抛物线 y2=2x 与直线 y=x 一 4 所围成的图形的面积为 ( )3 曲线 y= 上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为 ( )（A）（B）（C） 9（D）64 曲线 y=ln x 与 x 轴及直线 x= ，x=e 所围成的图形的面积是 ( )二、填空题5 定积分中值定理的条件是 f(x)在a ，b上连续，结论是_。6 曲线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形的
2、面积为 _。7 =_8 =_9 反常积分 =_。10 反常积分 =_。11 曲线 9y2=4x3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 _12 抛物线 y2=ax(a0)与 x=1 所围面积为 ，则 a=_13 由曲线 y=x3，y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为_。14 函数 y=ln x 在区间1， e上的平均值为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)有连续导数，F(x)= 0xf(t)f(2a 一 t)dt，证明： F(2a)一 2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)16 f(x)在0，1上有连续导数，且 f
3、(0)=0，证明：存在 0，1，使得 f()=2 01f(x)dx17 设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加，证明： (a+b) abf(x)dx2 abxf(x)dx18 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=0，试证明： abf2(x)dx abf(x)2dx19 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0 。 证明：对任何 a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)20 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0f(x)cos xdx=0f(x)sin xdx=0。 求证：存在 (0，
4、)，使得 f()=021 设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b) 内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0， 证明： (1)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()22 设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明：存在一点 a，b，使 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx23 设 f(x)在区间一 a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：在一 a，a上存在 ，使 a3f“()=3一aaf(x)d
5、x24 设 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 f(0) f(1)0，f(1)+ 01f(x)dx=0， 试证：至少存在一点 (0，1)，使 f()=f()25 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导， f(1)= xe1 一 xf(x)dx (k1) 证明：至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1 一 一 1)f()26 设 f(x)在a，b上连续且 f(x)0，证明： abf(x)dxab (b 一 a)227 设 ab，证明：不等式 abf(x)g(x)dxabf2(x)dxabg2(x)dx28 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 axf(t)dtaxg(
6、t)dt，xa，b)， abf(t)dt=abg(t)dt， 证明： abxf(x)dxabxg(x)dx29 铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板 1 cm如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少?30 设一锥形贮水池，深 15 m，口径 20 m，盛满水，今以吸筒将水吸尽，问作多少功?31 设有一半径为 R，中心角为 的圆弧形细棒，其线密度为常数 ，在圆心处有一质量为 m 的质点 M，试求这细棒对质点 M 的引力考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
7、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 选积分变量为 y(如图 132)，两条曲线的交点【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 在a，b上至少存在一点 ，使 abf(x)dx=f()(b 一 a)，ab【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 4.5【试题解析】 平面图形面积 S=一 12(x+2 一 x2)dx= 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 1【试题解析】
8、 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 1【试题解析】 y 2=ax 与 x=1 所围面积 A=，a=1【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 该旋转体积 V=01(x3)2dx= 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 平均值 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
9、步骤。15 【正确答案】 F(2a) 一 2F(a)=02af(t)f(2a 一 t)dt 一 202af(t)f(2a 一 t)dt =02af(t)f(2a一 t)dt02af(t)f(2at)dt，其中 a2af(t)f(2a 一 t)dt=f2(a)一 f(0)f(2a)+a2af(2a 一 t)f(t)dt，所以 F(2a) 一 2F(a)=f2(a)一 f(0)f(2a)+a2af(2at)f(t)dt0af(t)f(2a 一 t)dt，又a2af(2a 一 t)f(t)dt 0af(u)f(2a 一 u)du=0af(t)f(2a 一 t)dt，所以， F(2a)一2F(a)=f
10、2(a)一 f(0)f(2a)【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 因为 f(x)在0，1上连续，所以，f(x)在0，1上有最小值和最大值，设为 m，M，即有 x1，x 20，1，使 f(x1)=m，f(x 2)=M 由中值定理，对任意x0，1，存在 (0，x)，使 f(x)=f(x)一 f(0)=f()x，于是有 f(x)x=mxf(x)=f(x)一f(0)=f()xMx=f(x2)x，积分得 f(x1)01xdx01f(x)dxf(x2)01xdx，即f(x2)，即 f(x1)201f(x)dxf(x2)。 因为 f(x)在0，1上连续，由介值定理，必有 x1，x 2 0，1，使
11、 f()=201f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 令 F(t)=(a+t)atf(x)dx 一 2atxf(x)dx，则 F(t)= atf(x)dx+(a+t)f(t)一2tf(t) =atf(x)dx 一(t 一 a)f(t)=atf(x)dx 一 atf(t)dx =atf(x)f(t)dx 因为 axt，且f(x)在a，b上严格单调增加，所以 f(x)一 f(t)0，于是有 F(t)= atf(x)一 f(t)dx0， 即 F(t)单调递减，又 F(a)=0，所以 F(b)0，即 (a+b) abf(x)dx 一 2abxf(x)dx0， 即(a+b)abf(
12、x)dxxf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 因为 f2(x)=f(x)一 f(a)2=axf(t)dt2，而 axf(t)dt2(x 一 a)axf(t)2dt(x 一 a)abf(t)2dt (施瓦茨不等式)，所以 abf2(x)fxab(x 一 a)dxabf(t)2dt=f(x)2dx【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 F(a)=01g(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(a)g(1)，a 0，1，则 F(a)=g(a)f(a)一 f(a)g(1)=f(a)g(a)一 g(1) 因为 x0，1时，f(x)0 ，g(x)0，即函数f
13、(x)，g(x) 在0，1上单调递增，又 a1，所以 F(a)=f(a)g(a)一 g(1)0， 即函数F(a)在0，1上单调递减，又 F(1)=01g(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(1)g(1) =fg(x)f(x)dx 一 f(1)g(1)=g(1)f(1)一 g(0)f(0)一 f(1)g(1) =一 f(0)g(0)=0， 所以，F(a)F(1)=0，即 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(a)g(1)0， 即 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 首先证明 f(x
14、)在(0 ，)内必有零点 因为在(0，)内 f(x)连续，且sin x 0，所以，若无零点，则恒有 f(x)0 或 f(x)0，从而有 0f(x)sin xdx0 或0f(x)sin xdx0，与题设矛盾 所以，f(x)在(0，)内必有零点 下面证明 f(x)在(0，) 内零点不唯一，即至少有两个零点 用反证法假设 f(x)在(0，)内只有一个零点 x0，则 f(x)在(0，x 0)和(x 0，)上取不同的符号(且不等于零)，否则与 0f(x)sin xdx=0 矛盾这样，函数 sin(x 一 x0)f(x)在(0，x 0)和(x 0，) 上取相同的符号，即恒正或恒负 那么有： 0f(x)si
15、n(x 一 x0)dx0但是 0f(x)sin(x 一 x0)dx=0f(x)(sin xcos x0cos xsin x0)dx =cos x00f(x)sin xdxsin x00f(x)cos xdx=0 从而矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点于是由罗尔定理即得存在 (0，)，使得 f()=0【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (1)由加强型的积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得 f(C)= abf(x)dx=0。(此定理要先证明再使用) 设 G(x)=e 一 xf(x)，则 G(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，且 G(a)=G(b)=G(C
16、)=0，G(x)=e 一 xf(x)一 e 一 xf(x)=e 一xf(x)一 f(x)由罗尔定理知，分别存在 1(a，c)和 2(c，b)，使得 G(1)=G(2)=0，从而 f(1)=f(1)，f( 2)=f(2) (2)设 F(x)=exf(x)一 f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(1)=F(2)=0，则 F(x)=e xf“(x)一 f(x)+exf(x)一 f(x)=exf“(x)一 f(x) 对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，即存在 (1， 2)，使得F()=0，故有 f“()=f()，且 8(i=1，2)【知识模块】 一元函数积分学22
17、【正确答案】 因 f(x)在a ，b上连续，故 mf(x)M mabg(x)dxabf(x)g(x)dxMabg(x)dx，【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 (1)对任意 x一 a，a，因为f“(x)在一 a，a上连续，由最值定理：mf“(x)M ，x 一 a，a mx 2f“()x2Mx2，【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 F(x)= f(x)， f(1)+ 01f(x)dx=f(1)+f(x)=0，c (0，1)，由此可知 f(x)0，否则 f(1)=0，与题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f(C)0，则 f(1)0，f(0)0 由连续函数的零点定理知
18、存在 a(0，c)，b(c ，1) ，使 f(a)=f(b)=0，即 F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在 (a，b)，使 F()=0，即 =0 故 f()=f()【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 F(x)=xe 一 xf(x)，因 f(1)= ，F(1)=e 一 1f(1)=e 一 f()=F()，故在，1 0，1上，对 F(x)运用罗尔定理，可得 (，1) (0，1) ，使 f()=(1 一 一 1)f()【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)= atf(x)g(x)dx2 一 atf2(x)
19、dxatg2(x)dx， 则 F(a)=0，且 F(t)=2atf(x)g(x)dxf(t)g(t)一 f2(t)atg2(x)dxg2(t)atf2(x)dxt =at2f(x)g(x)f(t)g(t)一 f2(t)g2(x)一 g2(t)f2(x)dx =一 atf(t)g(x)一 g(t)f(x)2dx0， 所以 F(b)0，即atf(x)g(x)dx2 一 atf2(x)dxatg2(x)dx0，即 atf(x)g(x)2atf2(x)dxatg2(x)dx【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 当 xa， b)时， axf(t)dtaxg(t)dt axf(t)一 g(t)d
20、t0， axf(t)dt=axg(t)dt axf(t)一 g(t)dt=0， axxf(x)dxaxxg(x)dxxf(x) 一 g(x)dx0，令G(x)=axf(t)一 g(t)dt，则 G(x)=f(x)一 g(x)，于是 abxf(x)一 g(x)dx=abxd(axf(t)一g(t)dt) xaxf(t)一 g(t)dt ab 一 abaxf(t)一 g(t)dtdx =一 abaxf(t)一 g(t)dtdx0(G(x)=axf(t)一 g(t)dt0)，即 abxf(x)一 g(x)dx0，即 abxf(x)dxabxg(x)dx【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】
21、由题设知阻力 f=kx(其中 k 为比例系数)，设第二次锤击时击入了L cm，则第一次锤击时所作的功 W1=01kxdx=(2L+L2) 因 W1=W2，故有 L2+2L=1解方程得 L=一 1 一 1(cm)【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 如图 134 建立坐标系，取 x 为积分变量，0，15为积分区间，由图上数据可知【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 如图 135 建立坐标系，并把质点 M 放在极点 0，取 作为积分变量，一 为积分区间，典型区间为 ，+d所对应的圆弧形细棒小段可近似看作质点，其质量为 Rd，与 M 相距为 R，它对于质点 M 的引力F 的大小为 由对称性可知，F y=0【知识模块】 一元函数积分学
