1、考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 由曲线 y= x(0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( )2 抛物线 y2=2x 与直线 y=x 一 4 所围成的图形的面积为 ( )3 曲线 y= 上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为 ( )(A)(B)(C) 9(D)64 曲线 y=ln x 与 x 轴及直线 x= ,x=e 所围成的图形的面积是 ( )二、填空题5 定积分中值定理的条件是 f(x)在a ,b上连续,结论是_。6 曲线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形的
2、面积为 _。7 =_8 =_9 反常积分 =_。10 反常积分 =_。11 曲线 9y2=4x3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 _12 抛物线 y2=ax(a0)与 x=1 所围面积为 ,则 a=_13 由曲线 y=x3,y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为_。14 函数 y=ln x 在区间1, e上的平均值为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)有连续导数,F(x)= 0xf(t)f(2a 一 t)dt,证明: F(2a)一 2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)16 f(x)在0,1上有连续导数,且 f
3、(0)=0,证明:存在 0,1,使得 f()=2 01f(x)dx17 设 f(x)在a,b上连续且严格单调增加,证明: (a+b) abf(x)dx2 abxf(x)dx18 设函数 f(x)在a,b上连续,且 f(a)=0,试证明: abf2(x)dx abf(x)2dx19 设 f(x),g(x) 在0 ,1上的导数连续,且 f(0)=0,f(x)0,g(x)0 。 证明:对任何 a0,1,有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)20 设 f(x)在0,上连续,在(0,)内可导,且 0f(x)cos xdx=0f(x)sin xdx=0。 求证:存在 (0,
4、),使得 f()=021 设函数 f(x)在a,b上有连续导数,在(a,b) 内二阶可导,且 f(a)=f(b)=0, abf(x)dx=0, 证明: (1)在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f()=f(); (2)在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f“()=f()22 设 f(x)在a,b上连续,且 g(x)0,证明:存在一点 a,b,使 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx23 设 f(x)在区间一 a,a(a0)上具有二阶连续导数,f(0)=0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明:在一 a,a上存在 ,使 a3f“()=3一aaf(x)d
5、x24 设 f(x)在0,1上连续, (0,1)内可导,且 f(0) f(1)0,f(1)+ 01f(x)dx=0, 试证:至少存在一点 (0,1),使 f()=f()25 f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导, f(1)= xe1 一 xf(x)dx (k1) 证明:至少存在一点 (0,1),使 f()=(1 一 一 1)f()26 设 f(x)在a,b上连续且 f(x)0,证明: abf(x)dxab (b 一 a)227 设 ab,证明:不等式 abf(x)g(x)dxabf2(x)dxabg2(x)dx28 设 f(x),g(x) 在a,b 上连续,且满足 axf(t)dtaxg(
6、t)dt,xa,b), abf(t)dt=abg(t)dt, 证明: abxf(x)dxabxg(x)dx29 铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板 1 cm如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等,问铁锤击第二次时,铁钉又击入多少?30 设一锥形贮水池,深 15 m,口径 20 m,盛满水,今以吸筒将水吸尽,问作多少功?31 设有一半径为 R,中心角为 的圆弧形细棒,其线密度为常数 ,在圆心处有一质量为 m 的质点 M,试求这细棒对质点 M 的引力考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有
7、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 选积分变量为 y(如图 132),两条曲线的交点【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 在a,b上至少存在一点 ,使 abf(x)dx=f()(b 一 a),ab【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 4.5【试题解析】 平面图形面积 S=一 12(x+2 一 x2)dx= 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 1【试题解析】
8、 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 1【试题解析】 y 2=ax 与 x=1 所围面积 A=,a=1【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 该旋转体积 V=01(x3)2dx= 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 平均值 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
9、步骤。15 【正确答案】 F(2a) 一 2F(a)=02af(t)f(2a 一 t)dt 一 202af(t)f(2a 一 t)dt =02af(t)f(2a一 t)dt02af(t)f(2at)dt,其中 a2af(t)f(2a 一 t)dt=f2(a)一 f(0)f(2a)+a2af(2a 一 t)f(t)dt,所以 F(2a) 一 2F(a)=f2(a)一 f(0)f(2a)+a2af(2at)f(t)dt0af(t)f(2a 一 t)dt,又a2af(2a 一 t)f(t)dt 0af(u)f(2a 一 u)du=0af(t)f(2a 一 t)dt,所以, F(2a)一2F(a)=f
10、2(a)一 f(0)f(2a)【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 因为 f(x)在0,1上连续,所以,f(x)在0,1上有最小值和最大值,设为 m,M,即有 x1,x 20,1,使 f(x1)=m,f(x 2)=M 由中值定理,对任意x0,1,存在 (0,x),使 f(x)=f(x)一 f(0)=f()x,于是有 f(x)x=mxf(x)=f(x)一f(0)=f()xMx=f(x2)x,积分得 f(x1)01xdx01f(x)dxf(x2)01xdx,即f(x2),即 f(x1)201f(x)dxf(x2)。 因为 f(x)在0,1上连续,由介值定理,必有 x1,x 2 0,1,使
11、 f()=201f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 令 F(t)=(a+t)atf(x)dx 一 2atxf(x)dx,则 F(t)= atf(x)dx+(a+t)f(t)一2tf(t) =atf(x)dx 一(t 一 a)f(t)=atf(x)dx 一 atf(t)dx =atf(x)f(t)dx 因为 axt,且f(x)在a,b上严格单调增加,所以 f(x)一 f(t)0,于是有 F(t)= atf(x)一 f(t)dx0, 即 F(t)单调递减,又 F(a)=0,所以 F(b)0,即 (a+b) abf(x)dx 一 2abxf(x)dx0, 即(a+b)abf(
12、x)dxxf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 因为 f2(x)=f(x)一 f(a)2=axf(t)dt2,而 axf(t)dt2(x 一 a)axf(t)2dt(x 一 a)abf(t)2dt (施瓦茨不等式),所以 abf2(x)fxab(x 一 a)dxabf(t)2dt=f(x)2dx【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 F(a)=01g(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(a)g(1),a 0,1,则 F(a)=g(a)f(a)一 f(a)g(1)=f(a)g(a)一 g(1) 因为 x0,1时,f(x)0 ,g(x)0,即函数f
13、(x),g(x) 在0,1上单调递增,又 a1,所以 F(a)=f(a)g(a)一 g(1)0, 即函数F(a)在0,1上单调递减,又 F(1)=01g(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(1)g(1) =fg(x)f(x)dx 一 f(1)g(1)=g(1)f(1)一 g(0)f(0)一 f(1)g(1) =一 f(0)g(0)=0, 所以,F(a)F(1)=0,即 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(a)g(1)0, 即 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 首先证明 f(x
14、)在(0 ,)内必有零点 因为在(0,)内 f(x)连续,且sin x 0,所以,若无零点,则恒有 f(x)0 或 f(x)0,从而有 0f(x)sin xdx0 或0f(x)sin xdx0,与题设矛盾 所以,f(x)在(0,)内必有零点 下面证明 f(x)在(0,) 内零点不唯一,即至少有两个零点 用反证法假设 f(x)在(0,)内只有一个零点 x0,则 f(x)在(0,x 0)和(x 0,)上取不同的符号(且不等于零),否则与 0f(x)sin xdx=0 矛盾这样,函数 sin(x 一 x0)f(x)在(0,x 0)和(x 0,) 上取相同的符号,即恒正或恒负 那么有: 0f(x)si
15、n(x 一 x0)dx0但是 0f(x)sin(x 一 x0)dx=0f(x)(sin xcos x0cos xsin x0)dx =cos x00f(x)sin xdxsin x00f(x)cos xdx=0 从而矛盾,所以 f(x)在(0,)内至少有两个零点于是由罗尔定理即得存在 (0,),使得 f()=0【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (1)由加强型的积分中值定理知,至少存在一点 c(a,b),使得 f(C)= abf(x)dx=0。(此定理要先证明再使用) 设 G(x)=e 一 xf(x),则 G(x)在a ,b上连续,在(a,b)内可导,且 G(a)=G(b)=G(C
16、)=0,G(x)=e 一 xf(x)一 e 一 xf(x)=e 一xf(x)一 f(x)由罗尔定理知,分别存在 1(a,c)和 2(c,b),使得 G(1)=G(2)=0,从而 f(1)=f(1),f( 2)=f(2) (2)设 F(x)=exf(x)一 f(x),则 F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 F(1)=F(2)=0,则 F(x)=e xf“(x)一 f(x)+exf(x)一 f(x)=exf“(x)一 f(x) 对 F(x)在区间 1, 2上应用罗尔定理,即存在 (1, 2),使得F()=0,故有 f“()=f(),且 8(i=1,2)【知识模块】 一元函数积分学22
17、【正确答案】 因 f(x)在a ,b上连续,故 mf(x)M mabg(x)dxabf(x)g(x)dxMabg(x)dx,【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 (1)对任意 x一 a,a,因为f“(x)在一 a,a上连续,由最值定理:mf“(x)M ,x 一 a,a mx 2f“()x2Mx2,【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 F(x)= f(x), f(1)+ 01f(x)dx=f(1)+f(x)=0,c (0,1),由此可知 f(x)0,否则 f(1)=0,与题设 f(0)f(1)0 矛盾,不妨设 f(C)0,则 f(1)0,f(0)0 由连续函数的零点定理知
18、存在 a(0,c),b(c ,1) ,使 f(a)=f(b)=0,即 F(a)=F(b),由罗尔定理可知,存在 (a,b),使 F()=0,即 =0 故 f()=f()【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 F(x)=xe 一 xf(x),因 f(1)= ,F(1)=e 一 1f(1)=e 一 f()=F(),故在,1 0,1上,对 F(x)运用罗尔定理,可得 (,1) (0,1) ,使 f()=(1 一 一 1)f()【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)= atf(x)g(x)dx2 一 atf2(x)
19、dxatg2(x)dx, 则 F(a)=0,且 F(t)=2atf(x)g(x)dxf(t)g(t)一 f2(t)atg2(x)dxg2(t)atf2(x)dxt =at2f(x)g(x)f(t)g(t)一 f2(t)g2(x)一 g2(t)f2(x)dx =一 atf(t)g(x)一 g(t)f(x)2dx0, 所以 F(b)0,即atf(x)g(x)dx2 一 atf2(x)dxatg2(x)dx0,即 atf(x)g(x)2atf2(x)dxatg2(x)dx【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 当 xa, b)时, axf(t)dtaxg(t)dt axf(t)一 g(t)d
20、t0, axf(t)dt=axg(t)dt axf(t)一 g(t)dt=0, axxf(x)dxaxxg(x)dxxf(x) 一 g(x)dx0,令G(x)=axf(t)一 g(t)dt,则 G(x)=f(x)一 g(x),于是 abxf(x)一 g(x)dx=abxd(axf(t)一g(t)dt) xaxf(t)一 g(t)dt ab 一 abaxf(t)一 g(t)dtdx =一 abaxf(t)一 g(t)dtdx0(G(x)=axf(t)一 g(t)dt0),即 abxf(x)一 g(x)dx0,即 abxf(x)dxabxg(x)dx【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】
21、由题设知阻力 f=kx(其中 k 为比例系数),设第二次锤击时击入了L cm,则第一次锤击时所作的功 W1=01kxdx=(2L+L2) 因 W1=W2,故有 L2+2L=1解方程得 L=一 1 一 1(cm)【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 如图 134 建立坐标系,取 x 为积分变量,0,15为积分区间,由图上数据可知【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 如图 135 建立坐标系,并把质点 M 放在极点 0,取 作为积分变量,一 为积分区间,典型区间为 ,+d所对应的圆弧形细棒小段可近似看作质点,其质量为 Rd,与 M 相距为 R,它对于质点 M 的引力F 的大小为 由对称性可知,F y=0【知识模块】 一元函数积分学