1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 170 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 电影开演时观众中女士与男士人数之比为 5：4，开演后无观众入场放映一段时间后，女士的百分之二十、男士的百分之十五离场，此时在场的女士与男士人数之比为 （A）4：5（B） 1：1（C） 5：4（D）20：172 3 半径分别为 60m 和 40m 的两条圆形轨道在点 P 处相切两人从 P 点同时出发，以相同的速度分别沿两条轨道行走，当他们第一次相遇时，沿小圆轨道行走的人共走了 圈（A）2（B） 3（C） 4（D）64 在一条长为 18
2、0m 的道路两旁植树，每隔 2m 已挖好一坑，由于树种改变，现改为每隔 3m 栽一棵树则需重新挖坑和填坑的个数分别是 （A）30，60（B） 60，30（C） 60，120（D）120，605 已知 xR，若 (1-2x) 2005=a0+a1x+a2x2+a2005x2005， 则(a 0+a1)+(a0+a2)+(a0+a2005)= （A）2003（B） 2004（C） 2005（D）20066 同时抛掷 3 颗骰子，每颗骰子出现的点数之积为偶数的概率是 7 已知函数 f(x)=min2 一 x2，x) ，xR，f(x)的最大值为 （A）一 2（B） 0（C） 1（D）28 若实数 a，
3、 b，c 满足 abc，且 a+b+c=0，则有 （A）abac（B） acbc（C） abc b（D）a 2b 2 c29 方程 3x= 的解集是 （A）0)（B） log73)（C） 0，log 73)（D）0 ，log 37)10 设 n 为非负整数，则n 一 1+n2+n 一 100的最小值是 （A）2475（B） 2500（C） 4950（D）505011 在圆心为 O，半径为 10 的圆内有一点 P若 OP=8，则过 P 点的弦中，长度为整数的弦有 条（A）9（B） 12（C） 16（D）1812 ABC 为锐角三角形，A， B，C 的对边是 a，b，c已知B=2A ，则b：a 的
4、取值范围是 （A）(-2，2)（B） (0，2)（C） ( ，2)（D）( )13 如图所示，若ABC 的面积为 1，AEC， DEC，BED 的面积相等，则AED 的面积为 14 椭圆 C： 已知 l 与 C 的一个交点 M 在 x轴的射影正好是 C 的右焦点，则 m 等于 15 在直角三角形 ABC 中， C=90，A=30 ，AB=4，则将该三角形以 AB 边为轴旋转一周所得几何体的体积为 （A）12（B） 4（C） 8（D）616 已知 f(x)是(一，+)上的奇函数，且 f(0)存在，设则函数 F(x)在点 x=0 处 （A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D
5、）可导17 方程 x+2=ex 根的个数是 （A）0（B） 1（C） 2（D）318 设函数 f(x)= ，则 （A）函数 f(x)有极值点，且曲线 f(x)有拐点（B）函数 f(x)有极值点，但曲线 f(x)无拐点（C）函数 f(x)无极值点，但曲线 f(x)有拐点（D）函数 f(x)无极值点，且曲线 f(x)无拐点19 设 f(ex)=x2e-x，且 f(1)=1，则 f(x)= （A）ln 2x（B） ln3x+1（C） e2x（D） e3x+120 设 f(x)是连续函数，且 -10xf(x)dx0， 01xf(x)dx0，则 （A）当 x(一 1，1)时， f(x)0（B）当 x(一
6、 1，1)时， f(x)0（C）在 (一 1，1)内 f(x)至少有一个零点（D）(A)，(B)，(C)均不正确21 f(x)满足方程 f(x)=3x2 一 f(x)dx，则 f(x)= 22 方程 f(x)= =0 的根的个数是 （A）0（B） 1（C） 2（D）323 设 n 阶方阵 A，B，C 满足 ABC=I，其中 I 是 n 阶单位阵，则下列等式中一定正确的是 （A）BAC=I（B） ACB=I（C） CBA=I（D）BCA=I24 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关 (1)若 n 维列向量组1， 2， m 线性无关，则向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2，
7、m线性表出； (2)若 n 维列向量组 1， 2， m 线性无关，则向量组1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线件表出： (3)若 n 维列向量组1， 2， m 线性无关，则向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价； (4)n 维列向量 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是矩阵A=(1， 2， m)的秩等于矩阵 B=(1， 2， m)的秩 上述命题中，正确命题的个数为 个（A）1（B） 2（C） 3（D）425 设 A 为二阶矩阵， 1， 2 为线性无关的二维列向量，A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为 （A）（B） 1（C）（D）2工程硕士（GCT ）
8、数学模拟试卷 170 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，所求比例为 故选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 故选(D)3 【正确答案】 B【试题解析】 两人从 P 点出发，等到相遇时，各自走的圈数应为正整数，大轨道半径是小轨道半径的 15 倍，两人速度相同，因此当走大轨道的人走 2 圈时，走小轨道的人正好走了 3 圈，此时两人第一次相遇故选(B) 4 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个关于植树问题和最小公倍数问题的综合题为了求解问题，只需要讨论清楚 6m 长的道
9、路情况便可在 6m 长的道路上，一边需重新挖坑 1 个，填坑 2 个，两边则需重新挖坑 2 个，填坑 4 个从而 180m 的道路上共需重新挖坑60 个，填坑 120 个故选(C)5 【正确答案】 A【试题解析】 当 x=0 时，可得 a0=1当 x=1 时有 a 0+a1+a2+a2005=(12)=一 1 所以 (a 0+a1)+(a0+a2)+(a0+a2005)=a0+a1+a2005+2004a0 =一 1+2004=2003 故选(A)6 【正确答案】 D【试题解析】 基本事件共有 666 个其中点数之积为奇数的事件，即 3 颗骰子均出现奇数的事件，共有 333 个，所以点数之积为
10、偶数的概率 故选(D) 也可考虑 3 颗骰子出现的点数有 8 种情况，即，奇奇奇、奇奇偶、奇偶奇、奇偶偶、偶奇奇、偶奇偶、偶偶奇、偶偶偶，它们都是等可能的其中有 7 种情况乘积为偶数，所以 p= 7 【正确答案】 C【试题解析】 作函数 y=x 和 y=2 一 x2 的草图(见图)，直线和曲线有两个交点，交点横坐标由 2 一 x2=x 解出 x=一 2 和 x=1取两曲线在下方的部分，可知 从图中见到 f(x)最大值在 x=1 处取到，f(1)=1 故选 (C)8 【正确答案】 A【试题解析】 从条件 abc，且 a+b+c=0，可知一定有 a0c0从 bc，两边乘正数 a，便得到(A)注意从
11、 a c，两边乘b ，是得不到(C)的，因为可能 b=0从 ab ，两边乘 c 也得不到(B)因为 c0，应得 acbc因c0，(D)也是得不到的故选(A)9 【正确答案】 C【试题解析】 解这类指数方程可以用两边取对数的方法，得到 xlog 73=x2， x(xlog73)=0解得 x=0 和 x=log73所以解集为(C) 如果取以 3 为底的对数，得x=x2log37，解得 x=0 和 x= ，用对数的换底公式，也得到选项 (C)如果一时不好确定取什么为底的对数，也可以用 lg 或 ln，再注意换底公式的应用 故选(C)10 【正确答案】 B【试题解析】 观察当 n=0 时和为 S=1+
12、2+100= =5050当 n=1 或n=100 时，有 S=0+1+2+99=4950再看 n=2 或 n=99 时，有 S=1+0+1+2+98=4852看出从 n=1，2，3，50，S 随 n 增加而递减，n=51，52，100，则 S 随 n 增加而递增当 n=50 或 51 时， S=49+48+2+1+0+1+2+50 = (4950+5051)=2500这是 S 的最小值 故选(B)11 【正确答案】 C【试题解析】 过 P 作一条直径和与此直径垂直的弦 AB(见图)OAP 为直角三角形，其中 OA=10，OP=8，所以 PA=6过 P 点的弦中，最短的弦为 BA，其长度为 12
13、最长的弦为直径，其长度为 20所以长度为整数的弦的长度分别为12，13，14，15，16，17，18，19，20其中长度为 12 和 20 的各有一条弦，其余各有两条弦，所以共有 16 条弦 故选(C)12 【正确答案】 D【试题解析】 由正弦定理A+B+C=3A+C=，所以 C= 一 3A 故选(D)13 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意，AEC 的面积是 ABC 的面积的 AB因此AED 与BED 同高，且 所以 AE= 又因为BED 的面积是ABC 的面积的 故选(B)14 【正确答案】 C【试题解析】 将 y= 代入椭圆方程，得(8+m 2)x2=16m2，即 x2= 交点M(x
14、，y)在 z 轴的射影为 F=(c，0)，c= ，所以有 化为方程 m4+8m2-816=0，即(m 2-8)(m2+16)=0解出 m= 故选(C) 15 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示该三角形中，BC=ABsinA=4设 AB 边上的高为 CD，则 将三角形以 AB 为轴旋转一周后，所得几何体的体积为 故选(B)16 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(0)存在，所以 f(x)在 x=0 连续又因 f(x)是奇函数，从而 f(0)=0，因而有这表明 F(x)在 x=0 处可导 故选(D)17 【正确答案】 C【试题解析】 把方程改写为 exx 一 2=0，所以只需考查 f(x)=
15、exx 一 2 零点的个数 令 f(x)=ex 一 1=0，得 x=0当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x)0因此f(x)在(一，0)内单调递减，在(0，+) 内单调递增这表明 f(x)分别在(一 ，0) 和(0，+) 内至多有一个零点 又 f(0)=一 1，f(一 2)=e-20，f(2)=e 2 一 40由连续函数的零点存在定理可知f(x)在( 一 2，0)，(0，2)内分别至少有一个零点 综合上述，f(x)分别在(一，0)和(0，+) 内各只有一个零点 故选(C)18 【正确答案】 B【试题解析】 f“(一 1)=一 e0 (2)由(1) ，(2)式可得曲线 f(x)无拐点，在
16、 x=一 1 处取得极大值 故选(B)19 【正确答案】 B【试题解析】 在 f(ex)=x2e-x 中，则 ex=t，则 x=lnt，故选(B)20 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理，存在 1一 1，0使得 -10xf(x)dx=1f(1) 因 -10xf(x)dx0，所以 10，所以存在 1一 1，0)使得 -10xf(x)dx=1f(1)0， 于是得 f(1)0同理存在 2(0，1使 f(2)0，由连续函数的零点存在定理得存在(，)使得 f()=0 故选(C)21 【正确答案】 A【试题解析】 设 01f(x)dx=，对方程故选(A)22 【正确答案】 B【试题解析】 由于
17、所以 f(x)=7x=0 只有一个根 x=0 故选(B) 23 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ABC=I，所以 A(BC)=I，故 BC=A-1，从而(BC)A=BCA=I 故选(D)24 【正确答案】 A【试题解析】 设 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 1=(1，0，0) T， 2=(0，0，1) T，则 1， 2 线性无关， 1， 2 也线性无关但 2 不能由 1， 2 线性表出， 2 也不能由 1， 2 线性表出，因此命题 (1)，命题(2)都是错误的，从而命题(3)也是错误的由排除法，只有命题(4)是正确的 故选(A) 事实上，可以证明命题(4)是正确的： 必
18、要性若向量组 1， 2， m 线性无关则矩阵 B=(1， 2， m)的秩 r(B)=m，由题设向量组 1， 2， m 线性无关，因此矩阵A=(1， 2， m)的秩 r(A)=m从而有 r(A)=r(B) 充分性 因 r(A)=r(B)，即r(1， 2， ， m)=r(1， 2， m)又 1， 2， m 线性无关，因此r(1， 2， ， m)=m，故 r(1， 2， m)=m，即 1， 2， m 线性无关25 【正确答案】 B【试题解析】 由于 1， 2 线性无关，因此 1， 2 都是非零向量又 A1=0，即A1=0 1，可见 A 有零特征值 1 为 A 的属于特征值 =0 的特征向量 对A2=21+2 两边左乘 A 得 A 22=2 A1+A2=A2， 即 A(A 2)=1A 2由 1， 2线性无关有 A1=21+20而 A(A2)=1A 2 表明了矩阵 A 的非零特征值为1，A 1 为 A 的属于特征值等于 1 的特征向量 故选(B)
