1、2011 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A 及答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 已知 x1=0 724，x 2=1 25 均为有效数，则e r(x1x2) _e(x 1x 2)_2 设 A= 则 A=_，cond(A) 2=_3 超定方程组 的最小二乘解为 x1=_.x2=_4 用 Simpson 公式计算积分 的近似值为_5 设 是以 0，1，2 为节点的三次样条函数，则a=_，b=_6 给定方程 ex- x-2=0，分析此方程有几个实根，并用迭代法求此方程的正根，精确至 3 位有效数字7 用列主元 Guass 消去法求下列线性方程组的解
2、：8 给定求解线性方程组 Ax=b 的迭代格式 Bx(k+1)+Cxk=b，其中试确定 的值使上述迭代格式收敛9 作一个 3 次多项式 H(x)，使得 H(a)=b3，H(b)=a 3，H“(a)=6b ，H“(b)=6a10 求函数 y(x)=x4 在区间 0，1上的一次最佳一致逼近多项式 p(x)11 已知函数 f(x)C4a，b，I(f)= abf（x）dx 1)写出以 a，b 为二重节点所建立的f(x)的 3 次 Hermite 插值多琐式 H(x)及插值余项； 2)根据 f(x)H(x)建立一个求解I(f)的数值求积公式 IH(x)，并分析该公式的截断误差和代数精度12 给定常微分方
3、程初值问题 取正整数 n，并记 h=(ba)n，x i=a+ih，0in 试确定参数 A，B，C ，使求解公式 yi+1=Ayi+(1-A)yi-1+hBf(xi+1，y i+1)+Cf(xi，y i)的局部截断误差 Ri+1 的阶数达到最高，指出所达剑的最高阶数并给出局部截断误差表达式13 给定如下抛物方程初边值问题：取步长 用古典隐格式计算 u(x， t)在点 处的近似值2011 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A 答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 【正确答案】 046910 -2，027210 -22 【正确答案】 3 【正确答案】 -
4、08333 或 -06667 或4 【正确答案】 1.47575 【正确答案】 3，-36 【正确答案】 设 当 x=ln05 时，f(x)=0；当 x(-，ln05) 时， f(x)0；当 x(ln05，+)时，f(x)0再注意到 f(-4)0，f(-3)0，f(1)0，f(2)0，则该方程存在两个实根，分别在-4 ，-3和1，2内构造迭代格式 对于 x*1，2 ，取 x0=15，计算得x1=1 0651， x2=09116 ，x 3=08953，x7 【正确答案】 求得 x1=-2，x 2=1，x 3=-18 【正确答案】 方法 1：由 Bx(k+1)+Cx(k)=b 得 x(k+1)=-
5、B-1Cx(k)+B-1b 上述格式收敛的充要条件为 (-B-1C)1迭代矩阵-B -1C 的特征方程为I+B -1C=0 ，可变形为B -1B+C=0 ，即 展开得 16289 【正确答案】 方法 1：根据 H“(a)=6b，H“(6)=6a 可知 H“(x)=6b+ (x-a)=6b6(x-a)，两边积分得 H(x)=6b(xa)-3(x-a)2+c，H(x)=3b(x-a) 2-(xa)3+c(xa)+d由H(a)=b3 得 d=b3，再由 H(b)=a3 有 c=-3b2，所以 H(x)=-(x-a)3+3b(x-a)10 【正确答案】 设 p(x)=a+bx由 f(x)=4x3，f“
6、(x)=12x 2 知，当 x(0，1)时，f“(x)恒大于零则 f(x)-p(x)在 0，1 上有三个交错偏差点：0，x 1，1，且满足即 求解得所以11 【正确答案】 1)由条件 H(a)=f(a)，H(a)=f(a)，H(b)=f(b)，H(b)=f(b)，作差商表：所以2)根据题意，有 I(f)abH(x)dx，下面求代数精度由插值余项知，当 f(x)=1，x，x 2，x 3 时，插值余项为零，I H(f)精确求积；当 f(x)=x4 时此时 b5 系数为 IH12 【正确答案】 局部截断误差为 Ri+1=y(xi+1)-Ay(xi)-(1-A)y(xi-1)-hBy(xi+1)+Cy(xi)=y(xi)+hy(x1)+ y“(xi)+ y“(xi)+ y(4)(xi)+O(h513 【正确答案】 求解该问题的古典隐格式为记 则差分格式可写为(1+2r)u ik-r(ui+1k+ui-1k)=uik-1+(33xi)，用方程组表示为k=12因为所以，当 k=1 时，方程为或 解得u11=0 7870， u2
