1、2010 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 及答案与解析1 设 ，x *和 y*的具有 6 位有效数字的近似值分别为x=12 6223 和 y=126202 试分析下面两种算法所得结果至少具有几位有效数字：1)x*-y*x-y=00021； 2)x *-y*=2 给定方程 x35x2+2=0，分析该方程有几个实根，并用迭代法求方程的最大实根，精确到 3 位有效数字3 用列主元 Gauss 消去法解方程组4 给定下面的线性方程组 试写出求解该方程组的 Gauss-Seidel 迭代格式，并分析 Gauss-Seidel 迭代格式的收敛性5 已知 f(x)的如下信息： 求一个
2、4 次多项式 H(x)，使得 H(xi)=f(xi)，0i2；H(x i)=f(xi)， i=0 ，26 求 a，b，使得积分 取最小值7 设 fC1a， b，求 x0，c 1，c 2，使求积公式 具有尽可能高的代数精度，并指出达到的最高次代数精度的次数8 设 f(x)C4a，b，I(f)= ,而 为计算 I(f)的 Simpson 公式将a，b进行 n 等分，记 h=(ba)n，x i=a+ih，0in ； =(xi+xi+1)2，0in-11)写出计算积分 x(f)的复化Simpson 公式 Sn(f)2) 已知 证明：存在 (a，6)，使得9 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h
3、=(b-a)/n，x i=a+ih，i=0，1，2，n；y iy(xi)，1in，y 0=试求下面公式的局部截断误差和阶数：10 设抛物型方程初边值问题 有光滑解 u(x，t) ，其中 (0)=(0)，(1)=(0)取正整数 M 和 N，并记h=1M，=T/N，r=/h 2；x i=a+ih，0iM；t k=k， 0kN设有求上述定解问题的差分格式 1)写出上述差分格式的截断误差表达式；2)将差分格式写成矩阵和向量的形式；3)证明当 r12时差分格式在范数下的收敛性2010 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 答案与解析1 【正确答案】 e(x) 10-4,e(y) 10-4
4、1)因为e(x-y)e(x)-e(y)e(x)+e(y) 又 xy=00021，所以 xy 具有 1 位有效数字2)因为又=0002092541，所以算法 2)所得结果具有 5 位有效数字2 【正确答案】 记 f(x)=x3-5x2+2，则 f(x)=3x2-10x令 f(x)=0，则得驻点 x=0 和 x=又 f“(0)=-100， =100，所以 x=0 为函数 f(x)的极大值点，x= 为f(x)的极小值点因为 f(0)=20， 0，所以方程有三个实根，又 f(-1)=-40，f(0)=20，f(1)=-20，f(4)=-140，f(5)=20，所以三个实根分别在(-1，0)， (0，1
5、)和(4，5)中用 Newt3 【正确答案】 对应的三角形方程组为 求得 x1=-5，x 2=-5，x 3=-164 【正确答案】 GaussSeidel 迭代格式为迭代矩阵 G 的特征方程为展开得 243+2+2=0，求得 1=0， 2,3= 因为 p(G)= 1，所以 Gausss-Seidel 迭代收敛5 【正确答案】 方法 1：设 p(x)为 3 次多项式，满足 p(1)=f(1)=-1，p(1)=f(1)=4，p(4)=f(4)=2，p(4)=f(4)=-4，则 p(x)=f(1)+f1，1(x-1)+f1 ，1，4(x-1)2+f1， 1，4， 4(x-1)2(x-4)列表求差商：
6、 我们有 p(x)=-1+4(x-1)-(x-1)2- (x-1)2(x-4)，所以 H(x)=p(x)+A(x-1)26 【正确答案】 记 f(x)=ex，取 0(x)=1， 1(x)=x2计算内积： (0,0)=-111dx=2，( 0,1)=-11x2dx= ，( 1,1)=-17 【正确答案】 当 f(x)=1，左=ba，右=c 1；当 f(x)=x，左= (b2-a2)，右=c 1x0 当f(x)=x2，左= (b3-a3)，右=c 1x02+2c2(b-a)要使求积公式具有尽可能高的代数精度，则 求得 c18 【正确答案】 1)复化 Simpson 公式为 Sn(f)= 2)利用Simpson 公式的截断误差得9 【正确答案】 局部截断误差为该公式是 2 阶公式10 【正确答案】 1)截断误差为2)差分格式写为向量和矩阵的形式为 3)记 eik=u(xi，t k)-uik，0iM，0kN，则我们有误差方程从而有 eik+1=rei-1k+(12r)eik+rei+1
