1、2010 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A 及答案与解析1 设近似值 x=201 和 y=314 的相对误差限分别是e r(x)0003，e r(y)0002，试求函数 x=xsin(x+2y)的相对误差限2 分析方程 x4-x2-2x-1=0 存在几个实根，并用迭代法求出这些实根，精确到 3 位有效数字3 用列主元 Gauss 消去法求下面线性方程组的解：4 给定线性方程组 其中 a，b，c 均为正数证明：求上述方程组的 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式同时收敛同时发散，并且当收敛时，Gauss-Seidel 迭代格式的收敛速度比 Jaboci
2、 迭代格式的收敛速度快5 设函数 f(x)C3a，b，并且 f(a)=f(b)=0 1)求一个 2 次多项式 p(x)，使其满足p(a)=f(a)，p(a)=f(a)，p(b)=f(b)； 2)求一个 2 次多项式 g(x)，使其满足 q(a)=f(a)，q(b)=f(b)，q(b)=f(b)； 3)证明：6 求 1 次多项式 p1(x)=a+bx，使得 取最小值，并求此最小值7 已知求积公式 为 Gauss 公式试给出形如 的求积公式，使其代数精度达到 58 已知函数表 用复化 simpson 公式计算积分 的近似值，要求精确到 5 位有效数字9 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记xi
3、=a+ih，i=0，1 ，2，n；y iy(xi)，i=1，2，n，y 0=1)用数值积分方法构造形如 yi+1=yi-1+hAf(xi+1 十 1，y i+1)+Bf(xi，y i)+Cf(xi-1，y i-1)的数值求解公式，并写出该求解公式的阶数和局部截断误差表达式；2)改进的 Euler 公式与上述公式构造一个预测-校正公式10 给定初边值问题 其中 (x)是光滑函数，且满足相容性条件取正整数 M，N，记 h=(b-a)M，=T N；x i=a+ih， 0iM；t k=k，0kN设有求上述定解问题的差分格式写出上述差分格式的截断误差表达式2)设 f(x，t)0，u ik0iM，0kN是
4、上述差分格式的解，记 r=h 2， k=0，1，N证明：当步长比 且 h2 时有下面的估计式u ku0,k=1,2,N2010 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A 答案与解析1 【正确答案】 e(z)sin(x+2y)+xcos(x+2y)e(x)+2xcos(x+2y)e(y) ，=1+xcot(x+2y)er(x)+2ycot(x+2y)er(y)，e r(z) 1+xcot(x+2y)e r(x)+2ycot(x+2y) e r(y)0006042 【正确答案】 记 f(x)=x4-x2-2x-1，则 f(x)=4x32x-2=2(x-1)(2x2+2x+1) 令 f(
5、x)=0，则得唯一驻点 =1当 x1 时，f(x) 0；当 x1 时，f(x)0，因此 =1 是f(x)的极小值点又 f(1)=-30，f(2)=70，f(0)=-10，f(-1)=10，当 x时，f(x)+，所以方程 f(x)=0 有 2 个实根 x13 【正确答案】 对应的三角形方程组为 求得 x1= ，x 2=1，x 3=44 【正确答案】 设 Jacobi 迭代矩阵为 J，GaussSeidel 迭代矩阵为 G，则 J 的特征方程为 展开得 abc3+(a+c)=0，求得特征值为 1=0， 2,3= 所以 G 的特征方程为 展开得 abc3+(a+c)2=0，求得特征值为 1,2=0，
6、 3= ，所以 p(G)= 由迭代法的收敛性可知， Jacobi 迭代收敛的充要条件5 【正确答案】 1)由 Hermite 插值知 p(x)=f(a)+fa，a(x a)+fa，a，b(x-a) 2 由fa，a=f(a) ，f(a)=f(b)=0，得 fa，a，b=(fa，b-fa，a)(b-a)=-f(a)(ba) ， 所以 2)由 Hermite 插值知 q(x)=f(a)+fa，b(xa)+fa ，b，b(x-a)(x-b)fa，b=0，fa，b，b=f(b)(ba)，所以3)对任意 xa，b，有f6 【正确答案】 记 f(x)=x3，则当 x(0，1)时，f“(x)=6x0，所以 f
7、(x)-p1(x)在0，1上有 3 个交错偏差点：0，x 1，1，且有 即晖方程组得 a= ，b=1，x 1= 所以 最小值为f(0)-P 1(0)=7 【正确答案】 令 t-1，1，并记 g(t)= 则当f(x)是任意次数不超过 5 次的关于 x 的多项式时，g(t)是次数不超过 5 次的关于 t 的多项式由于 3 点 Gauss 公式的代数精度为 5，所以有=A0f(x0)+A1f(x1)+A2f(x2)，其中因此求积公式 abf(x)dxA0f(x8 【正确答案】 方法 1：根据题意，有 S1(f)= f(0)+4f(1)+f(2)= (084147+4 090930+0 14112)=
8、153993，S 2(f)= f(0)+4y(05)+2f(1)+4f(15)+f(2)= (084147+40 99749+2090930+4059847+014112)=153083s 4(f)=f(0)+4f(0 25)+y(075)+f(125)+f(19 【正确答案】 1)将方程两边在x i-1，x i+1上积分，得 y(xi+1)=y(xi-1)+xi-1xi+1f(x，y(x)dx，上式右端项积分用 Simpson 公式逼近，有 xi-1xi+1f(x，y(x)dx因此，我们得到 y(xi10 【正确答案】 1)截断误差为k(tk，t k+1)， i， i(xi-1，x i+1)2)记r=h 2，s=h，将差分格式写为 uik+1-uik+ (ui+1k-ui-1
