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    [考研类试卷]2008年攻读工学博士学位研究生入学考试(数值分析)真题试卷及答案与解析.doc

    • 资源ID:837120       资源大小:201.50KB        全文页数:5页
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    [考研类试卷]2008年攻读工学博士学位研究生入学考试(数值分析)真题试卷及答案与解析.doc

    1、2008 年攻读工学博士学位研究生入学考试(数值分析)真题试卷及答案与解析1 设 f(x)= 求 f(30)的值若开平方用 6 位函数表,有=ln(30299833)=-4092347,则所得结果具有几位有效数字?若改用另一等价公式,有 =-ln(30+299833)=-4094066,则所得结果具有几位有效数字?2 用 jacobi 迭代格式解线性方程组 问 Jacobi 迭代格式是否收敛?如果收敛,取 x(0)=(0,0,0) T,则需要迭代多少次可保证各分量的误差绝对值小于 10-5?3 已知 ARnn,I 为 n 阶单位矩阵,且A1,证明: I+A 可逆,且4 利用函数 f(x)=si

    2、nx 在 处的值作 3 次插值多项式求 的值,并估计误差5 1)设 c(a,b) 将区间a ,b分为两个小区间a,c和c,b,函数 S(x)在a ,b上处处有定义,当 S(x)满足什么条件时称S(x)为 3 次样条函数? 2)求 3 次样条函数S(x),使其满足如下条件:6 求方程 X33x5=0 的全部实根,精确到 4 位有效数字7 求 f(x)=2x2-x+1 在区间-1,1上的 1 次最佳平方逼近多项式 p(x)=a+bx8 设 f(x)C2a,b,I(f)= 1)写出梯形公式 T(f)截断误差的表达式;2)将区间a ,b作 n 等分,记 ,x i=a+ih,0in ,另记 Tn(f)为

    3、计算 I(f)的复化梯形公式,试求9 考虑常微分方程初值问题 取正整数 n,记 ,xi=a+ih,0in 分析求解公式 yi+1=yi+ 5f(xi+1,y i+1)+8f(xi,yi)-f(xi-1,yi-1)的局部截断误差,并指出该公式是一个几步几阶公式10 考虑如下差分格式其中h=1M,=TN试证明该差分格式的解有如下先验估计式:其中2008 年攻读工学博士学位研究生入学考试(数值分析)真题试卷答案与解析1 【正确答案】 设 ,x=299833,则x *-x 10-4ln(30-x*)-ln(30x)(30x*)-(30x)= ln(30-x *)-ln(30x) =029940110

    4、-2 10-2,所以第一种算法至少具有 3 位有效数字ln(30+x *)-ln(30+x) (30+x2 【正确答案】 所给线性方程组的系数矩阵 是严格对角占优矩阵,所以 Jacobi 迭代格式收敛 Jacobi 迭代矩阵为 所以J = Jacobi 迭代格式为 取 x(0)=(0,0,0) T,计算得 x(1)= x(1)-x(0)= e(k)=x*-x(k),要使3 【正确答案】 若 I+A 不可逆,则有 x0 使得(I+A)x=0 X=-Ax,两边取范数得x=AxAx,由于X0,所以A1,与条件 A1 矛盾,因而 I+A 可逆(I+A)-1(I+A)=I,(I+A) -1=I-(I+A

    5、)-1A,(I+A) -1=I-(I+A)-1AI+(I+A)-1A1+(I+A)-1A(1-4 【正确答案】 根据题意,有5 【正确答案】 1)当 s(x)在 a,c和c ,b上均为 3 次多项式,且 S(x)C2a,b,则称 S(x)为 3 次样条函数 2)设 S(3)=m,则利用数据表 构造差商表如下: 则当 x2,3时 S(x)=1+(x-2)+(x-2)2+(m-3)(x-2)2(x-3)利用数据表 构造差商表如下:则当 x3,4 时 S(x)=3+m(x-3)-(1+m)(x-3) 2+(1+m)(x-3)6 【正确答案】 设 f(x)=x33x-5,则 f(x)=3x23,由 f

    6、(x)=0 得 x=1,x=-1 当x1 时,f(x)0;当x1 时,f(x) 0又 f(1)=135=-7,f(-1)=-1+3-5=-3,f(2)=2 3235=-3,f(3)=3 3-335=13,作函数 y=(x)的草图(如下所示)知 f(x)=0 有唯一实根 x*(2,3)改写方程 f(x)=0 如下: 构造7 【正确答案】 设 0(x)=1, 1(x)=x,则 ( 0, 0)=-1112dx=2,( 0, 1)=-11xdx=0,( 1, 1)=-11x2dx= ,(8 【正确答案】 1)I(f) 一 T(f)= 2)I(f)-Tn(f)=9 【正确答案】 R i+1=y(xi+1)-y(xi) - 5f(xi+1,y(xi+1)+8f(xi,y(xi)-f(xi-1,y(xi-1)=y(xi+1)-y(xi)- 5y(xi+1)+8y(xi)-y(10 【正确答案】 记 将差分格式改写为(1+2r)u ik=r(ui-1k+ui+1k)+uik-1+fik, 1iM-1,1kN,则有(1+2r)u ik2ru k+uk-1


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