1、DK678.074:678.4:678.5/.8:001.4 DIN1 DIN 53578 TEIL 3 83 = 2794442 0087346 682 : 620.1 : 311.2 : 519.2 UtUISCHt NORM Juli 1983 . Statistische Auswertung an Stichproben mit Beispielen aus der Elastomer- und Kunststoffprfung I 53598 Teil 1 Statistical evaluation at off-hand samples with examples from t
2、esting of rubbers and plastics Evaluation statistique aux prlvements avec exemples dessai des lastomres et des matires plastiques Ersatz fr Ausgabe 08.74 Beabsichtigt ist, die zur Zeit in der Herausgabe befindlichen allgemeinen Grundlagen ber die Anwendung der Statisti- schen Auswertungsverfahren, d
3、ie Normen der Reihe DIN 53804, knftig an Stelle dieser vorliegenden Norm zu ber- nehmen. Sie sind jedoch durch ein Beiblatt zu ergnzen, das die hier gebrachten und weitere Beispiele aus der Elastomer- und Kunststoffprfung enthalten soll. Inhalt Seite Seite 1 Anwendungsbereich und Zweck 2 3.2 Statist
4、ischer Streubereich . 3 1-a 4 2 Begriffe 2 2.0 Allgemeines. 2 3.4 Abschtzen des wahren Mittelwertes p. 4 2.1 Kennwerte zur Charakterisierung der mitt- 3.5 Abschtzen der wahren Standard- IerenLage 2 abweichung u. 4 3.3 Signifikanzniveau a und Vertrauensniveau . . . 2.1.1 Arithmetischer Mittelwert X.
5、: . 2 3.6 Vertrauensbereich fr den Mittelwert f W 2.1.2 Medianwert d 2 und f e 4 Standardabweichung 5 2.2.2 Variationskoeffizient u : . 3 Variationskoeffizienten 5 2.1.3 Mittelwert transformierter Gren . 2 3.7 Stichprobenumfang n . 5 2.2 Kennwerte zur Charakterisierung der 3.8 Vertrauensbereich fr d
6、ie 2.2.1 Varianz S2 und Standardabweichung S. 3 3.9 VertrauenSbereich fr den Streuung 3 2.2.3 Spannweite R . 4 Wiedergabe der MeBergebnisse, . 5 3 StatistischeAussagenundAuswerungen. . 3 5 Beispiele 6 3.1 Allgemeines. . 3 6 Tabellen . 8 Fortsetzung Seite 2 bis 11 Normenausschu Materialprfung (NMP) i
7、m DIN Deutsches Institut fr Normung e.V. Norrnenausschu Kautschuktechnik (FAKAU) im DIN Normenausschu Kunststoffe (FNK) im DIN Alleinverkauf der Normen durch Beuth Verlag GmbH, Berlin 30 DIN 53 598 Teil 1 Juli983 Preisgr 07.83 Vertr.-Nr. O009 DIN1 DIN 53598 TEIL 1 Seite 2 DIN 53 598 Teil 1 1 Anwendu
8、ngsbereich und Zweck In dieser Norm sind die wichtigsten statistischen Begriffe und Verfahren zum Auswerten von MeBwerten bei Prfun- gen mit berwiegend kleiner Probenanzahl zusammen- gestellt und an Hand von Beispielen erlutert. Die Anwen- dungsbeispiele betreffen vorzugsweise die technologi- schen
9、Prfungen von Elastomeren und Kunststoffen. Mit Hilfe dieser Norm sollen Aussagen ber bestimmte Eigen- schaften von Werkstoffen oder Erzeugnissen auf Grund einer geringen Anzahl von Messungen gemacht werden. Dabei soll insbesondere festgestellt werden, in welchem Bereich die MeBergebnisse Vertrauen b
10、eanspruchen kn- nen und ob im Hinblick auf den Zweck der Prfungen die Probenanzahl ausreichend war oder vergrBert werden muB. Verfahren zum Auswerten grBerer MeBreihen, z. B. durch graphische Darstellung der Hufigkeitsverteilung und Be- rechnungen nach Klasseneinteilung der MeBwerte, siehe DIN 53804
11、 Teil 1. Die hier genannten statistischen Kenn- werte gelten fr MeBergebnisse, die an einer Prfstelle fr sich unter sogenannten Wiederholbedingungen gewonnen wurden. Sie mssen nicht identisch sein mit den Kennwer- ten, die unter Vergleichsbedingungen, die zwischen ver- schiedenen Prfstellen, z. B. i
12、n Ringversuchen, gewonnen werden. Hierzu siehe DIN IS0 5725. 2 Begriffe 2.0 Allgemeines Eine Prfung besteht in der Regel aus wiederholten Mes- sungen der gleichen Merkmale zur Erfassung bestimmter Eigenschaften von Werkstoffen und Produkten. Die Mes- sungen werden sinnvollerweise an Stichproben durc
13、h- gefhrt und nicht an allen Einielwerten der sogenannten Grundgesamtheit (bzw. des Kollektives); denn erst alle mglichen Stichproben zusammen bilden diese Grund- gesamtheit. Aussagen ber die Grundgesamtheit und ihre sie beschrei- benden Parameter sind jedoch das Ziel einer Prfung. Dazu dienen zwei
14、Arten von statistischen Kennwerten, die zur Charakterisierung der mittleren Lage und der Streu un g der Grundgesamtheit mindestens notwendig sind und aus der Stichprobe gewonnen bzw. abgeschtzt werden. Diese Schtzungen sind mit einer angebbaren Unsicherheit behaftet. Fr ein vorgewhltes Vertrauensniv
15、eau und den durch den Stichprobenumfang gegebenen sogenannten Frei- heitsgrad knnen dievertrauensbereiche der Ken nwerte errechnet werden. 2.1 Kennwerte zur Charakterisierung 2.1.1 Arithmetischer Mittelwert X Der arithmetische Mittelwert daus n Einzelwerten q (i = 1, 2,3, , . . n) ist die durch n ge
16、teilte Summe der Einzelwerte der mittleren Lage (Beispiele siehe Abschnitte 5.1 und 5.2) Fr die numerische Berechnung ist es hufig einfacher, anstatt mit xi mit zu rechnen, wobei a und c frei zu whlende Hilfswerte, a vorzugsweise in der Nhe des zu schtzenden Mittel- wertes, darstellen. Fr den arithm
17、etischen Mittelwert gilt dann: yi = (Xi - a) c Va) , 83 2794442 0089147 519 W Anmerkung 1 : Bei greren Stichproben kann es vorteil- haft sein, die MeBwerte in Klassen zusammenzu- fassen (siehe DIN 53804 Teil 1). 2.1.2 Medianwert d Ordnet man die n Einzelwerte die zunchst in der Reihenfolge der Beoba
18、chtung notiert sind, nach aufsteigender GrBe, so erhlt man eine Reihe: Die Klammer des Index soll auf diese geordnete Reihen- folge hinweisen. Bei einer ungeraden Anzahl von Einzelwerten ist der mit- telste Wert der geordneten Reihe der Median 2 (sprich x Tilde oder Median von x): (3) Bei einer gera
19、den Anzahl n gibt es keinen mittelsten Wert. Der Median wird dann konventionell durch das arithmetische (Beispiel siehe Abschnitt 5.3) xi i = 1, 2, . . . n, x(i) (i) = 1, 2, . . . n. 5 = X(n + i)/2 Mittel der beiden mittelsten Werte ersetzt: 1 2 d=- (xn/2 + x(n/2 + i) (4) Besteht die Absicht, den Me
20、dian aus einer Reihe von MeB- werten zu bilden, ist es angebracht, von vornherein eine ungerade Anzahl von Einzelwerten zu bestimmen, um Glei- chung (3) anwenden zu knnen. Anmerkung 2: Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel- wert hngt der Median von den Extremwerten der Stichprobe nicht ab. Anmerkun
21、g 3: Zu nennen ist noch der Modalwert, auch Mode oder Dichtemittel D genannt und definiert als der hufigste Wert in einer Verteilung. Whrend der Median deine Verteilung definitions- gem% in zwei gleiche Teile teilt, liegt z. B. bei einer negativ schiefen Verteilung (d. h. einer sogenannten rechtsgip
22、fligen Verteilung) - wie sie z.B. fr die ReiBkraft und ReiBdehnung von Elastomeren ge- m DIN 53 504 vorkommen kann - der arithmeti- sche Mittelwert X niedriger und das Dichtemittel D hher als der Median d. 2.1.3 Mittelwert transformierter Gr6en Unter Umstnden ist eine Transformation der Einzelwerte
23、angebracht. So liefert z. B. der arithmetische Mittelwert von logarithmierten Einzelwerten (Beispiele siehe Abschnitte 5.4 und 5.8) 1“ 1g?G=- E Igxi (5) n i=i nach dem Entlogarithmieren den geometrischen Mittel- wert d. Das geometrische Mittel XG ist also die n-te Wurzel aus dem Produkt der Einzelwe
24、rte dG= 1/11- /- xi . x2 . . . x, Es ist zu beachten, da nur positive Einzelwerte vorliegen drfen. AuBer der logarithmischen Transformation knnen auch andere Transformationen vorteilhaft angewendet werden: a DINL DIN 53598 TEIL L 83 ? 2794442 00148 455 m Die gemittelte Summe der Kehrwerte bildet z.
25、B. den Kehr- wert des harmonischen Mittelwertes (siehe DIN 55302 Teil 1 und DIN 55302 Teil 2). Unter Umstnden ist es zweckmig, mit den Wurzeln oder Potenzen der Einzelwerte zu rechnen. Anmerkung 4: Eine Transformation ist von Vorteil, falls man nach der Transformation eine Verteilung fr die Grundges
26、amtheit erhlt, die besser der Normalver- teilung entspricht. Unter der Normalverteilung, die auch unter dem Namen Gau-Laplace-Verteilung bekannt ist, versteht man eine symmetrische Ver- teilung, die durch eine hier nicht anzugebende Glei- chung bestimmt ist und die durch zwei statistische Kennwerte,
27、 nmlich den arithmetischen Mittelwert und die Standardabweichung, eindeutig beschrie- ben wird. Die meisten der im Abschnitt 3 dieser Norm angegebenen Aussagen gelten im strengen Sinne nur, falls die zu untersuchende Grundgesamt- heit einer Normalverteilung gehorcht. Zur Beurtei- lung auf Normalvert
28、eilung siehe DIN 53804 Teil l. 2.2 2.2.1 Um die Streuung von n Einzelwerten xi (i= 1, 2,. . . n) einer Stichprobe zu erfassen, bildet man die Summe der Qua- drate der Abweichungen der Einzelwerte vom arithmeti- schen Mittelwert und dividiert sie durch die Anzahl der Freiheitsgrade f= n - 1. Man erhl
29、t dann die Varianz s2: Kennwerte zur Charakterisierung der Streuung Varianz s2 und Standardabweichung s (Beispiele siehe Abschnitte 5.1 und 5.2) (7) Den Absolutwert der Quadratwurzel aus der Varianz be- zeichnet man als Standardabweichung s: s=ip (8) mit der Maeinheit der Einzelwerte. Fr das Maschin
30、enrechnen und zum Vermeiden von Run- dungsfehlern ist die Formel vorzuziehen bzw. wobei a ein frei zu whlender Hilfswert ist, der eingefhrt werden kann, um mit einfacheren Zahlen zu rechnen, bzw. wobei yi nach Formel (2a) mit den Hilfswerten a und c definiert ist. Die Summe der Abweichungsquadrate e
31、ntspricht somit der Differenz aus der Summe der Quadrate der Ein- zelwert e und des durch n geteilten Quadratsder Sum me der Ei nze Iwerte, letzteres auch Kor rekt ionsg I i ed genannt. Die verwendeten Summen drfen im Rechengang nicht gerundet werden. Anmerkung 5: An Stelle des griechischen Buchstab
32、ens E wird hufig der fr die Maschinenschreibweise zweckmigere Buchstabe S angewendet. 2.2.2 Variationskoeffirient u Fr die Angabe der relativen Streuung in Yo dividiert man die Standardabweichung durch den arithmetischen Mittel- (Beispiel siehe Abschnitt 5.4) DIN 53 598 Teil 1 Seite 3 wert. Den mit
33、100 multiplizierten Quotienten nennt man Variationskoeffizient ZI in %: S X zi = 1.100 2.2.3 Spannweite R, Die Differenz zwischen dem hchsten und niedrigsten Ein- zelwert einer Stichprobe nennt man Spannweite und be- zeichnet sie mit dem Buchstaben R,. Sie ist ebenfalls ein Kennwert fr die Streuung:
34、 (1 2) (Beispiel siehe Abschnitt 5.3) Rn = Xmax - Xmin = X(n) - (1) Die Anzahl n der Einzelwerte, aus der die Spannweite ge- wonnen wurde, ist anzugeben, z. B. als Index der Form R,. Wird die Spannweite zum Schtzen der Standardabwei- chung der Grundgesamtheit bentzt, soll mglichst n 5 13 sein (siehe
35、 Anmerkung 6). Liegt eine grere Stichprobe vor, so teilt man diese zweck- mig in gleich groe Gruppen auf und bildet die mittlere Spannweite R als arithmetisches Mittel aus den einzelnen Spannweiten R, der Gruppen. Anmerkung 6: Fr n = 7 bzw. n = 8 ergibt sich die durch- schnittlich beste Schtzgenauig
36、keit der Standard- abweichung (siehe Abschnitt 3.5). 3 Statistische Aussagen und Auswertungen 3.1 Allgemeines Die Prfung einer bestimmten Eigenschaft eines Prfgutes hat im allgemeinen das Ziel: a) den Mittelwert p der Grundgesamtheit zu bestimmen, den man als wahren Mittelwert bzw. Erwartungs- wert
37、bezeichnet, b) die Standardabweichung u oder den Variationskoeffi- zienten y der Grundgesamtheit zu ermitteln, die man als wahre Standardabweichung oder wahren Variations koeff izie n t en bezeichnet. Hierfr wre die Prfung aller Einheiten der Grundgesamt- heit erforderlich. blicherweise wird nur ein
38、e beschrnkte Anzahl von Messungen durchgefhrt, und diese sind mit mehr oder weniger groen Zufallsfehlern behaftet. Deshalb kann man in einem auf n Einzelwerte beschrnkten Ver- such aus den statistischen Kennwerten X und s nur einen Bereich angeben, in dem sich die wahren statistischen Parameter p un
39、d u mit einer bestimmten Wahrscheinlich- keit befinden. 3.2 Statistischer Streubereich Gehorcht die Streuung der Einzelwerte einer Grundgesamt- heit der Normalverteilung (siehe Anmerkung 3) mit dem wahren Mittelwert p und der wahren Standardabweichung 0, so liegen in dem Bereich des wahren Mittelwer
40、tes p f 0,67 0 : 50% p I1,OO 0: 68% p I1.64 u: 90% p I1,96 u : 95% p I 2,58 o : 99 O/o p I 3,OO u : 99,7 010 p k 3,09 0 : 99,8% p s; n X; Rn; n X+ W; n, 1 -a Anmerkung 11: Diese Angaben beschreiben das Ergebnis bei Vorliegen einer Normalverteilung hinreichend. Die Anzahl der Einzelwerte mu unbedingt
41、 mit an- gegeben werden, um gegebenenfalls weitere sta- tistische Kennwerte des Ergebnisses nachtrglich ermitteln zu knnen. Nicht ausreichend undloder nicht zulssig sind An- gaben wie die folgenden: X oder X k W oder X+ s oder x. DIN1 DIN 53598 TEIL I 83 2794442 OOBL5I T4T 1 Seite 6 DIN 53598 Teil 1
42、 54,5 495 20,25 4.3 Von sinnvollen R u n dun ge n des Endergebnisses, den Prfgegebenheiten entsprechend, sollte Gebrauch ge- macht werden. Es ist zu beachten, da die Standardabweichung und der Vertrauensbereich nur die zufllig auftretenden Fehler und die Ungleichmigkeiten des zu untersuchenden Prfgu
43、tes erfaBt, dagegen keine sogenannten systematischen Fehler. Die Mewerte sollten also mglichst frei von systematischen Fehlern sein. (Weitere Hinweise siehe auch DIN 1319 Teil 3.) 4 5 5 Beispiele 5.1 Mittelwert, Standardabweichung Es wurden die Spannungswerte in MPa*) fr 300% Deh- nung nach DIN 5350
44、4 bestimmt: und Variationskoeffizient 57,8 7,a 6o,a4 47,3 - 2,7 7,29 i 1 3 2 xi (Xi - X) (Xi - X)2 10.6 0,o 0.00 1 l,o 0.4 0,16 10,2 - 0,4 0,16 I I Daraus ist nach Gleichung (1): Gleichung (7): X=31,8:3=10,6MPa S = 0,32 : (3 - 1) = 0,16 s =m=0,4MPa Gleichung (11): 100 = 3,a% 0,4 10,6 u=-. 13 14 5.2
45、Berechnung der statistischen Kennwerte Die Bestimmung der ReiBkraft nach einem Dauerschwing- versuch ergab folgende n = 16 Einzelwerte xi in N: Als Hilfswerte wurden a = 50,O N und c = 1 gewhlt. Daraus ist nach Gleichung (2b): Gleichungen (7) und (10): mit dem Hilfswert a X = 50,O + 2,4 = 52,4 N 57,
46、2 72 51 ,a4 59.1 9,l 82,ai 15 16 Summe Mittel 7 s =J2375=4,87N 39,O 451,32 39,O : 16 = 2,4 Gleichung (11): 4,a7.100 u= = 9,3% 52,4 5.3 Median und Standardabweichung Es ist blich, die Hrte nach DIN 53505 in ganzzahligen Werten anzugeben. Deshalb ist es zweckm6ig, den Median, und zwar aus einer ungera
47、den Anzahl von Einzel- werten, zu bestimmen, z. B. aus n = 3 oder n = 5. aus der Spannweite *) oderN/mm2 y1 = xi - a 2 y? = (xj - a) ilzl positiv I negativ I I I I I I I I 14,44 a2,81 11 1 58,6 I 8,6 I I 73,96 12 I 48,O I I - 2,o I 4,OO I I I I I I I I 16 I 45,5 I I - 4,5 I 20,25 I 55,3 I -16,3 I I
48、I I Bei einer Me6reihe fielen folgende willkrliche n =9 Einzel- werte an: Geordnet sind dies Nach den vier untersten Werten folgt als Median nach Gleichung (3) X= 60 Die Streuung wird als Nherung nach Gleichung (14) aus der Spannweite R, nach Gleichung (12) bestimmt: Fr n = 9 ist nach Tabelle 1 d, =
49、 2,97 und Gleichung (15) ergibt: Der Variationskoeffizient ist nach Gleichung (11): xi =62 60 61 60 60 59 62 61 58. X(i)=58 59 60 60 60 61 61 62 62. =62-58=4 S(R) = 4 : 2,97 - 1,3 5.4 Standardabweichung und Variationskoeffizient Es gibt Flle, in denen die Standardabweichung ber einen weiten Merkmalsbereich des Mittelwertes X annhernd konstant ist; sie ist hierbei ein zweckmiges Ma6 der Streuung. DIN3 DIN 53598 TEIL 3 83 279qq42 0089352
