1、新课程中的现代数学 -数列与差分,主讲：胡鹏彦 深圳大学数学与计算科学学院,新课程中的现代数学(数列与差分),1 数列的差分,2 一阶线性差分方程,3 一阶线性差分方程组,4 差分方程和差分方程组的应用,一. 数列的概念,二. 数列差分的概念,三. 差分表的性质,1 数列的差分,一. 数列的概念,一个数列就是实数的任何(有限或无限的) 有序集. 这些数称为数列的项或元素.,用an来表示数列的第n项, 称之为数列的 通项.,1 数列的差分,定义1.1 一个数列是一个函数, 其定义域 为全体正整数(有时, 为方便计, 是全体非 负整数集合), 其值域包含在全体实数集中.,数列的表示:,1. 列举法
2、:,1 数列的差分,数列的表示:,2. 通项法:,1 数列的差分,数列的表示:,1 数列的差分,3. 图象法: 序列的项通过标出点(n, an)图示. 直观, 具有可视化的效果.,4. 描述法:,数列的一些例子,1. 假如你开了一个10000元的银行帐户, 银 行每月付给2%的利息. 假如你既不加进存 款也不取钱, 那么每个月后的存款余额就 构成一个数列.,1 数列的差分,1 数列的差分,2. 兔子出生以后两个月就能生小兔, 若每 次不多不少恰好生一对(一雌一雄). 假如 养了初生的小兔一对, 则每个月小兔的对 数也构成一个数列(假设生下的小兔都不 死) 斐波那契(Fibonacci意大利 约
3、1170- 1250本名Leonardo) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ,二. 数列差分的概念,数列相邻项的差, 称为数列的差分.,1 数列的差分,定义1.2 对任何数列A a1, a2, , 其差分算子 (读作delta)定义如下:a1 a2 a1,a2 a3 a2,a3 a4 a3, , 一般地, 对任何n有an an1 an,应用这个算子, 从原来的数列A构成一个新的数 列A, 从数列A可得到数列2A 2an, 这里2an (an) an1 an an2 an1 an1 an an2 2an1 an, 称之为数列A的二阶差分, 二阶差分2an的差分 3an
4、称为三阶差分, 二阶及二阶以上的差分称为 高阶差分, 而称an为一阶差分.,1 数列的差分,差分的物理和几何意义: 在物理方面, 一阶差分表示物体运动的平均速 度, 二阶差分表示平均加速度. 在几何方面, 一阶差分表示数列图形中相邻两 点连线的斜率.,1 数列的差分,例. 外出汽车旅行, 每小时记录下里程表的读数. 设A an 22322, 22352, 22401, 22456, 22479, 22511, A an 30, 49, 55, 23, 32,例. 假设我们有数列an 3n 5, 并考虑由 表给出的关于n 1, 2, 3, 的数列. 我们按函 数值列表, 并考虑相邻项的差.,1
5、数列的差分,1 数列的差分,定理1.1 若c和b为常数且对所有n 1, 2, 3, 有 an cn b, 则: 1. 对所有n, 数列an的差分为常数;2. 当画an关于n的图形时, 这些点都落在一条直线上.,1 数列的差分,定理1.2 若an c, 其中c是一个与n无关的常数, 则有一个an的线性函数(即存在常数b使an cn b).,1 数列的差分,例. 对二次多项式数列 , 当 时造差分表.,定理1.3 若数列an由一个二次多项式定义, 则 该数列具有性质: 其二阶差分为常数, 2an c.,1 数列的差分,定理1.4 若数列an具有性质: 对一切n有2an c, c为一个常数, 则该数
6、列的项遵从二次变化模式, 而且表达其通项的公式是一个二次多项式.,注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k1阶 差分为零, 反之, 若数列an的k1阶差分为 零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.,例 考虑数列an 1, 3, 6, 10, 15, 21, , 则有 an 2, 3, 4, 5, 6, 以及2an 1, 1, 1, 1, 1, . 令 an An2 Bn C,1 数列的差分,例 求数列an n2 12, 22, 32, 42, 52, 62, 前n项和Sn, 即n个正整数平方和. 由于 Sn(n1)222, 32, 42, 52, ,2Sn 2n3 5, 7, 9, 11,
7、 以及3Sn 2, 2, 2, 2, 令 Sn An3 Bn2 Cn D.,1 数列的差分,由S1 1, S2 5, S3 14, S4 30得A B C D 1, 8A 4B 2C D 5(23 A 22 B 2C D 5),27A 9B 3C D 14(33A 32B 3C D 14),64A 16B 4C D 30(43A 42 B 4C D 30),1 数列的差分,解关于A, B, C和D的方程组可得A 1/3, B 1/2, C 1/6, D 0, 则,三. 差分表的性质和应用,1 数列的差分,定义1.3 数列A an在第k项处是增的, 若 ak ak1(或用算子记号, ak 0).
8、 数列A在第k项处是减的, 若ak ak1(或ak 0). 数列A在第k项处达到相对极大, 若ak ak1而 ak ak1(或用算子记号, ak1 0而ak 0). 数列A在第k项处达到相对极小, 若ak ak1而 ak ak1(或ak1 0而ak 0).,1 数列的差分,数列A在第k项处上凹, 若ak ak1(或用二阶 差分的算子记号, 2ak1 0). 数列A在第k项处下凹, 若ak ak1(或2ak1 0). 注意: 在k1处的二阶差分决定了k项处的凹性. 决定凹性的另一种看法是: 当一阶差分增加时 数列上凹, 而当一阶差分减小时数列下凹.,定义1.4 数列A在第k项处有一个拐点, 倘若
9、2ak 和2ak1有不同的正负号.,1 数列的差分,1 数列的差分,例 讨论数列 n2 4n 3的性质 构造an n2 4n 3的前7个数列值的差分表, 并用该表确定 数列在何处增加、减少, 达到相对极大或极小, 上凹、下凹以及是否有拐点.,1 数列的差分,一. 差分方程的基本概念,二. 齐次线性差分方程的解析解,2 一阶线性差分方程,一. 差分方程的基本概念,2 一阶线性差分方程,定义2.1 差分方程是一种方程, 该方程表明数列 中的任意项如何用前一项或几项来计算. 初始 条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的 项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分 方程的阶.,2 一阶线性差分方程,
10、定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含 an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变 量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或 三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程 是线性的. 否则差分方程就是非线性的. 注意这 种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用 于不包含数列变量的其它项.,线性的,非线性的,2 一阶线性差分方程,定义2.3 线性差分方程称为齐次的, 如果它只包 含数列变量的项. 如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项, 就得到一个齐次方程, 称之为与原方程相应的 齐次方程.,齐次的,2 一阶线性差分方程,对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当 可以求解的时
11、候)以及讨论解的性质. 能够给出解 析解的差分方程是为数很少的一部分, 大多数差 分方程是不能给出解析解的, 此时, 只能对其解的 性质给出一定的讨论, 讨论解的性质(解的变化趋 势, 是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法: 一是数值计算方法, 二是定性或定性定量结合的 方法.,2 一阶线性差分方程,差分方程的解具有不同的形式: 数值, 图形, 公式 定义2.4 数值解是从一个或多个初值出发迭代 差分方程得到的一张数值表.,2 一阶线性差分方程,例如, 在银行帐户上以7% 的利息积累起来的钱数是 由差分方程 an1 an 0.07an 来确定, 其中an表示n个月 后银行中的存款数.,2
12、一阶线性差分方程,定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件.,差分方程 an1 an 0.07an 若把函数ak (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式:,2 一阶线性差分方程,定义2.6 差分方程的一个通解是一个函数, 当 代入特定值后就得到相应于不同初值的特解.,ak (0.07)kc称为差分方程an1 an 0.07an的 通解, 因为代入c的特定值就给出与不同的初 值a0相应的特解.,2 一阶线性差分方程,数值解与解析解的比较: 在求银行模型的数值解 时只需要一个差分方程和一个
13、初值. 这是数值解 的一个强有力的性质求数值解时无须要求差 分方程具有特殊的性质. 只要从一个或多个初值 开始进行迭代计算就行了. 另一方面, 因为没有 第k项的一个一般的公式, 每一项必须从前一项 或几项算得. 从一个数值解来预测解的长期性态 可能是困难的.,2 一阶线性差分方程,解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件.,二. 齐次线性差分方程的解析解,2 一阶线性差分方程,定理2.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为,an bn c
14、, 若r 1.,若r 1.,3 (二元)一阶线性差分方程组,由两个或多于两个的差分方程构成的方程组 称为差分方程组. 在差分方程组中, 单个差分 方程的阶数的最大数称为差分方程组的阶数.,4 差分方程和差分方程组的应用,差分方程模型是实际应用中常见的一种数学模 型. 用差分方程模型解决实际问题如同别的数学 模型一样, 大致需经过三个步骤. 第一步: 设定好实际问题中的未知函数, 按照已 知的相关领域中的物理, 力学, 化学, 生物, 经济 等学科的规律用于建立相邻的自变量值(一般就 是相邻时间)的未知函数取值间的依赖关系, 建 立差分方程模型.,4 差分方程和差分方程组的应用,第二步: 对上述
15、建立的差分方程模型, 若能直接 求解的则求出其解, 若不能直接求解的或直接 求解比较困难的, 则用定性的方法讨论其解的 变化趋势及性质. 第三步: 将数学讨论得到的结果与实际情形加 以对照, 然后给实际问题一个满意的答复.,例4.1 建立并讨论经济学中的蛛网模型.在分析市场经济中农产品的价格和产量之 间的关系中常常要用到如下的规律: 本期产量 (或市场供给量)决定本期价格, 而本期价格决定 下期产量. 为了建立相关的数学模型, 可以假设 P表示价格, Q表示产量, D表示需求函数, S表示 供给函数, 时间n表示第n期. 那么Pn表示第n期的 价格, Qn表示第n期的产量. 把上述所说的规律
16、用数学式子写出来, 即为,4 差分方程和差分方程组的应用,将上述两式合并, 得,(4.1)式就是关于Pn为未知函数的差分方程. 下面 给出简单情形下的差分方程(4.1). 把市场经济中 的市场供给量、价格、市场需求量之间的规律 归结为下面的三条:,4 差分方程和差分方程组的应用,4 差分方程和差分方程组的应用,1. 市场供给量对价格变动的反应是滞后的, 即,而这种相依关系简单地取为,第n期的供给量 取决于第n1期的价格Pn1,即相依关系是线性的正比例关系, 而价格不能,太小, 至少 从而,4 差分方程和差分方程组的应用,2. 市场需求量对价格变动的反应是瞬时的, 即,类似地这种相依关系简单地取
17、为,即相依关系是线性的, 价格Pn减少, 市场需求量,增加, 价格不能太高, 至少 从而,第n期的市场需求量 取决于本期的价格Pn,4 差分方程和差分方程组的应用,3. 市场平衡条件为市场清销, 供需相等, 即,把(4.2)式和(4.3)式代入(4.4)式得,方程(4.5)就是该问题的差分方程模型, 它是一 个一阶常系数线性差分方程.,4 差分方程和差分方程组的应用,易知方程(4.5)对应的齐次方程的通解为,方程(4.5)的特解为,因此方程(4.5)的通解为,其中A是任意常数.,4 差分方程和差分方程组的应用,用 求得 则,4 差分方程和差分方程组的应用,用(4.6)来讨论方程(4.5)的解的
18、性质:,情形1. 当b d, 若t, 则Pn收敛于P, 这时称P为均衡价格;,情形2. 当b d时, P0, P1, P2, , Pn, 在均衡价格P,两旁作周期振荡;,情形3. 当b d时, 若t, 则Pn越来越远离均衡价格发散振荡.,4 差分方程和差分方程组的应用,例4.2 考虑在有两个城市A和B的岛上营业的一 家小的汽车出租公司. 该公司只有两个营业部, 一个在城市A, 另一个在城市B. 每天 A城的营业 部中可出租汽车的10%由顾客用开到B城. 每天 还有B城营业部中可出租汽车的12%开到了A城. 如果以an表示第n天A城的可出租的汽车数, bn表 示第n天B城的可出租的汽车数, 那么
19、下列包含 两个方程的方程组可用来对此情景进行建模:,这是一个一阶线性差分方程组.,4 差分方程和差分方程组的应用,令a0 120, 而b0 150, 我们迭代方程(4.7)和(4.8) 求将来n天中两个城市的营业部中的汽车数. 由 (4.7)算得,由(4.8)算得,4 差分方程和差分方程组的应用,a2 130.68, b2 139.22, a7 142, b7 128,a14 146, b14 126, a30 147, b30 123,二阶线性差分方程,二阶线性差分方程,对应的齐次方程为,将tn代入(2), 得t满足下列一元二次方程:,情形1. a2 4b 0. 此时方程(3)有两个实根t1
20、, t2. 而方程(2)的通解为,其中C1和C2是任意常数.,二阶线性差分方程,情形2. a2 4b 0. 此时方程(3)仅有一个实根t1. 而方程(2)的通解为,其中A和B是任意常数.,二阶线性差分方程,改写为,方程(2)的通解为,其中A和B是任意常数.,情形3. a2 4b 0. 此时方程(3)有一对共轭复根,二阶线性差分方程,求(1)的一个特解, 设a C, 将其代入方程(1)得,二阶线性差分方程,求斐波那契数列的一般项. 比内公式设第n个月有兔子an对, 则,这是一个二阶齐次差分方程. 求解代数方程,得两个实根,则得,其中A和B是任意常数.,二阶线性差分方程,等比数列的前n项和.设数列
21、an为以r(r1)为公比的等比数列, 首项a1 a, 用Sn记该数列的前n项和, 则,这是一个二阶齐次差分方程. 求解代数方程,得两个实根,则得,其中A和B是任意常数.,二阶线性差分方程,等比数列的前n项和.由于S1 a1 a, S2 a1 a2 a(1 r), 则,解以上关于A和B的方程组可得,则,自然界中的斐氏数列,植物叶序中的斐氏数列开卜勒研究了“叶序”问题, 即植物生长过程中叶花果在茎上的排列顺序问题, 其结论中也出现了与斐氏数列有关的数字.植物的叶子在茎上的排列, 对同一种植物来说是有一定规律的, 若把位于茎周同一母线位置的两片叶子叫做一个周期的话, 那么,将是一些特定的数, 它只是
22、随植物品种不同而不同.,自然界中的斐氏数列,榆树:,山毛榉:,樱桃:,梨树:,柳树:,自然界中的斐氏数列,树枝生长波兰数学家史坦因豪斯在其名著数学万花筒中有这样一个问题:一棵树一年后长出一条新枝; 新枝隔一年后成为老枝, 老枝便可每年长出一条新枝. 如此下去, 十年后树枝将有多少?这个问题只是斐波那契数列问题的变化而已, 即树枝的繁衍方式是按照斐波那契数列增加的.,自然界中的斐氏数列,蜜蜂进蜂房问题一只蜜蜂从蜂房A出发, 想爬到1, 2, 3, , n号蜂房, 但只允许它自左向右(不许反向倒走), 那么它爬到各号蜂房的路线数也恰好构成一个斐波那契数列.,斐氏数列通项的表达式,组合数和的形式,斐氏数列与数学游戏,把一个边长为8的正方形按图(1)方式剪裁, 然后拼成图(2)的矩形, 拼后你会发现: 原来正方形面积为: 64 矩形面积是: 65,斐氏数列与数学游戏,注意到正方形和矩形边长数字 5, 8, 13恰好是斐氏数列中相邻的三项, 斐氏数列有性质:,斐氏数列与数学游戏,若按照上面的办法把正方形剪拼成矩形(要求面积不变), 应当如何剪裁?,斐氏数列与数学游戏,谢谢!,
