1、复合函数求偏导,一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性,一、复合函数的链式法则,设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 ，如果能构成z是x ,y的 二元复合函数,如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？,定理8.5 设函数 在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 在点(x,y)处的偏导数存在，且有下面的链式法则：,复合函数的结构图是,公式(1)给出z对x的偏导数是,公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
2、,(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.第一条是 ，第二条是 ，所以公式(*)由两项组成.,(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 , 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 个偏导数 与 的乘积.,复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.,下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏导数公式.,1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而
3、都有偏导数，求复合函数 的偏导数 .,由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变 量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应 自变量的偏导数乘积，即,同理可得到，,2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而都有偏导数，求复合函数的偏导数 .,借助于结构图，可得,3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而可导，则复合函数只是自变量x的函数， 求z对x的导数 .,可得,在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的一元复合函数.因此，z对x的导数 又称为z对x的全导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x 的一元函数，故
4、对x的导数应写成 ，而不能写成 .,4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数， 有偏导数，求复合函数 的偏导数 .,自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自变量y到达z的路径只有一条，于是 的偏导数公式应是：,注意： 这里的 与 是代表不同的意义.其中 是将函数 中的y看作常量而对自变量x求偏导数，而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避免混淆，将公式(6)右端第一项写 ，而不写为 .,例1 设 求,解法1 得,解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用x，y代入，则得到,，
5、z 是x，y二元复合函数，根据复合函数的链式法则，得,例2 设 ，其中f(u,v)为可微函数，求,解 令 ，可得,其中 不能再具体计算了，这是因为外层函数f 仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.,例3 设 ，其中f(u,v,w)为可微函数，求,解 令 可得,例4 设 求,解 可得,在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的.,显然不等于 .,例5 设 求,解 得,例6 设z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)为可微函数，求,解 令v=xcosy，得,求复合函数的二阶偏导数，不需要新的方法和新的公式，只需把一阶偏导数看作一个新的函数，应用链式法则对它再求偏导数即可.,例7 设 ，求证：
6、,证,由于x，y，z在函数中的地位是相同的，所以同样有,因此有,二、全微分形式不变性,与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全微分也有形式不变性.也就是说不论u，v是自变量还是中间变量，函数z=f(u,v)的全微分的形式是一样的.即,这个性质称为全微分的形式不变性.,事实上，设z=f(u,v)有连续偏导数，当u，v是自变量时，显然(7)式成立.,如果u，v是中间变量，即 ，且这两个函数具有连续偏导数，则复合函数,的全微分为,其中,将 代入上式，得,即，当u，v是中间变量时，(7)式也成立.这就证明了全微分形式不变性.,例如，,利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公式，求函数的全微分会更简便些.,利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分的四则运算公式，,例8 求 的全微分及偏导数.,解,例9 设 ，其中f(u,v)有连续偏导数，求 及,解 设,
