1、一、约束的类型,1、具有光滑接触面（线、点）的约束（光滑接触约束）,理论力学知识点总结,静力学,几种情况：,（1）物体的尖端与光滑表面接触，其约束反力沿约束表面的法线方向。,（2）物体的光滑表面与尖端约束接触，其约束反力沿物体表面的法线方向。,2、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束,柔索只能受拉力，又称张力.用 表示,3 、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）,（1） 径向轴承（向心轴承）,轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔为约束,概念：轴穿入光滑圆柱形圆孔则构成径向轴承。,（2）光滑圆柱铰链,（3） 固定铰支座,4、其它类型约束,（1）可动铰支座（滚轴支座）,(2) 球铰链,
2、（3）止推轴承,约束力的方向：沿着链杆中心线，指向可以假定。,二力杆,（4）链杆约束,二力杆（或二力构件）：仅受二力作用而处于平衡的杆；二力杆不一定是直杆，也可以是曲杆，但杆两端的两个力一定是沿杆两端连成直线的平衡力。,二力构件,（5）平面固定端支座,（6）蝶铰链,（7）空间固定端支座,二、画受力图步骤,3、按约束性质画出所有约束力。,1、取所要研究物体为研究对象（分离体），画出其简图；,2、画出所有主动力；,画受力图注意： （1）若物体有三力作用，则要考虑三力汇交； （2）二力杆受力图先画； （3）画整体受力图时，系统内部的内力不要画，因为它不影响整体平衡； （4）作用力与反作用力是一对同性
3、质的力，即要不是一对拉力要不是一对压力。,三、平面力系的平衡方程,1、平面汇交力系,2、平面力偶系,列平面力系平衡方程要用到的力偶的两条性质： 力偶在任意坐标轴上的投影的代数和等于零；力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。,3、平面平行力系,基本形式,二力矩形式,AB两点连线不得与各力平行（或x轴不垂直AB连线）,4、平面任意力系,基本形式,二力矩式,其中投影轴x不垂直AB连线,三力矩式,其中A、B、C三点不得在一条直线上,合力：,作用点：,结论： 线分布载荷的合力的大小等于载荷图的面积，合力作用线通过载荷图的形心（重心）。上述求平行线分布荷载的合力的简便方法称为荷载图
4、面积法，在以后的章节和材料力学、以及专业课中经常要用到。,四、线分布荷载的合力,矩形均布载荷：,三角形分布载荷：,注意：列平衡方程前，一定要把分布荷载先化成合力。,五、求物体系统反力的方法（或思路）,当判定物体系统平衡问题是静定问题时，要求物体系统的未知量，这时，一定要先考虑解题思路，然后再列平衡方程求未知量。例如可选整个系统为研究对象，列出部分平衡方程，求出部分未知量，然后再从系统中选某一物体为研究对象，列出另外的平衡的方程，求其余未知量，一直这样分析下去，直到所有未知量全部求出为止。当然，同一个题目的解题思路、方法可能不止一种，可以多考虑几种解题思路、方法进行比较，找出一种求物体系统未知量
5、的最简捷的方法。下面给出具体的方法。,方法（分三种情况）： （1）取整个物体系统，若上面的反力能全部解出，就直接 求解反力，不要拆开。 （2）若取整个物体系统，若上面的反力不能全部解出，就 把物体系统拆开（从约束处拆），取已知力作用的物体为对 象，若该对象上的反力能全部解出就直接求解，然后再考虑 其它物体，按照同样的思路，一直到把物体系统上的反力全 部解出为止。注意：若取研究对象上的反力不能全部解出， 则再考虑其它已知力作用的物体为对象进行分析。 （3）若取整个物体系统或取部分为对象，上面的反力均不能全部解出，这时就找求12个反力的突破口（例如，找两个未知力作用线的交点为矩心，利用力矩平衡方程
6、求出12个反力），当12个反力解出后，则物体系统的反力就可全部解出。,【例】结构上作用载荷分布如图，q13 kN/m，q20.5 kN/m，力偶矩M2 kNm，试求固定端A与支座B的约束反力和铰链C的内力。,【例】组合梁受荷载M、qm、q、P，尺寸如图所示，试分析求A、B、C支座反力的解题思路。,六、空间力的投影计算的两种方法,1、一次投影法（直接投影法）,应用此法必须注意：如果投影轴不通过力矢的始端，则可以过该力矢始端作出与该投影轴平行并且正向相同的轴，根据同一个力在所有互相平行且正向相同的轴上的投影都相等，再按一次投影法计算该力的投影。注意力的投影用Fx 、Fy、 Fz或X、Y、Z表示。,
7、2、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易 确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即,七、计算空间力对轴之矩的方法,当拿到一道计算力对轴之矩的题目时,首先观察一下力F 与Z轴的空间位置,一般有三种情况: 第一种情况:若力F与Z轴平行或相交，则MZ(F )=0; 第二种情况:若力F与Z轴垂直,可根据定义来计算，即通过力F作一个平面垂直于Z轴，那么力F在该平面上的投影就是它自己，即F=Fxy，Z轴与该平面的交点为O点，且O点到F=Fxy作用线的距离d为已知,则MZ(F)=Mo(F)=Mo (Fxy)=Fd。 第三种情况:若力F与Z轴既不相交、也不平行、也不垂直，此
8、时可把力F分解为三个分力Fx、Fy、Fz，再运用合力矩定理来算，即：MZ（F）=MZ（ Fx）+MZ（ Fy）+MZ（ Fz）。,值得注意得是，此时三个分力Fx、Fy、Fz与Z轴的空间位置不是相交、就是平行或者垂直，可见又回到第一、第二种情况，这时可按第一、第二种情况分别算之，然后代入上式即可。最后要说明得是：上述计算空间力对轴之矩的方法适用于动力学中动量矩的计算。,八、空间力偶矢量方法：用右手法则表示，即首先任作一 法线垂直于力偶作用面，该法线的方位就表示力偶矩矢的方位，然后沿着这条法线按一定比例尺取一段长度表示力偶矩的大小，力偶矩矢的指向可按右手法则确定，即以右手握住这条法线，四个手指表示
9、力偶矩的转向，大拇指向表示力偶矩矢的指向。,九、空间力偶矩在某轴上的投影或空间力偶矩对某轴之矩的计算方法： （1）将空间力偶矩用右手法则表示为矢量； （2）将该矢量向某轴投影，即得到空间力偶矩在某轴上的投影或空间力偶矩对某轴之矩。注意：此方法在列空间力偶系或空间任意力系的平衡方程中经常要用到，下一学期学材料力学课程扭转这一章中也要用到。,【例】分析（解题思路）：如何求力 P 在三轴上的投影和对三轴的矩。,十、空间力系的平衡方程,1、空间汇交力系,空间力偶系,利用空间力偶系平衡方程求反力的解题方法 （1）将物体上的空间力偶矩用右手法则表示为矢量； （2）画出物体的受力图，其中反力的方位、方向可根
10、据空间力偶的性质，即力偶只能和力偶平衡来确定； （3）建立空间直角坐标系，列出空间力偶系的平衡方程；考虑求反力的思路，最后把反力求出来。,3、空间平行力系,4、空间任意力系,利用空间力系平衡方程求反力的方法是： 先列平衡方程，然后才考虑解题思路。, 检验物体是否平衡；, 临界平衡问题；, 求平衡范围问题。,考虑摩擦的系统平衡问题的特点,1. 平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知数增多。,2. 除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 FsfsFN 。,3. 为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程Fmax = fsFN 。,常见的问题有,十一、 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题,
11、考虑摩擦时物体的平衡问题题型大致可分为两类：一是物体在主动力作用下平衡，求平衡范围问题（包括求极限平衡问题）；二是物体在主动力作用下，判断物体的运动状态。第一类问题的解题方法是：首先取研究对象进行物理分析与受力分析，物理分析就是确定摩擦力的方位和指向，受力分析就是画受力图，受力图上包括主动力、反力和摩擦力；接着列方程，除了列出与力系相应的平衡方程外，还需列出相应数目的补充方程，即Fs=fsFN；最后解方程，即将平衡方程与补充方程联立求解。（注意：解此类问题是先列方程，然后考虑求解未知量的思路）第二类问题的解题方法是：首先假定物体平衡，对物体物理分析和画出物体的受力图，用平衡方程求出物体所受的静
12、摩擦力Fs，静摩擦力的方向若不确定，可假设，若求得Fs是正值，表明假设方向正确，反之，若求得Fs是负值，表明假设方向错误；接着假定物体处于临界状态，用公式Fmax=fsFN求出物体的最大静摩擦力Fmax；最后，将Fs与Fmax比较，来判断物体的运动状态: （1）若FsFmax,则物体处于静止（平衡）状态； （2）若Fs=Fmax，则物体处于临界状态； （3）若FsFmax，则物体处于滑动状态。,【例】分析如下问题（解题思路）：重W的方块放在水平面上，并有一水平力P作用。设方块底面的长度为b, P与底面的距离为a，接触面间的摩擦系数为f ，问当P逐渐增大时，方块先行滑动还是先行翻倒？并求方块平衡
13、时的最大拉力。,十二 、求均质物体的重心（形心）的方法,（1）对称性法形状规则的物体或图形,重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心上。,（3）分割法（负体积或负面积法）组合物体或组合图形,求图示平面图形的重心。,（3）负面积法,（2）积分法形状不规则的物体或图形用确定物体重心的积分公式来确定物体重心的方法。,【例】分析（解题思路）：图示截面重心如何确定。,运动学,一、点的运动学,1、直角坐标法,速度大小,速度的方向由其方向余弦确定,加速度大小,加速度的方向由其方向余弦确定,2、自然法,运动方程,速度,加速度,切向加速度,大小：,方向：M点的切线。,指向M点弧坐标正向；反之，,指向M点弧坐标负
14、向。,法向加速度,大小：,方向：在密切面内，沿主法线，指向曲率 中心。,加速度（全加速度）,二、刚体的简单运动,1、刚体的平动,刚体平动分为直线平动和曲线平动两种:刚体平动时，各点轨迹为直线，即为直线平动；各点轨迹为曲线，即为曲线平动。,结论：刚体平动时刚体内各点运动状态完全相同 （速度、加速度、轨迹等），故刚体平动点的 运动来处理。,概念 刚体内任一直线在运动过程中始终保持与原来位置平行，刚体这种运动称为平行移动，简称平移或平动。,2、刚体绕定轴转动,概念 刚体上(或其扩展部分)有一直线在运动过程中始终保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。,定轴转动的角速度和角加速度（1）
15、.角速度,则n与w的关系为:,刚体定轴转动的转动方程,（2 ）角加速度,单位:rad/s2 (代数量),转动刚体内各点的速度和加速度,1 速度,2 加速度,3 点的加速度（或全加速度）,角速度矢量矢量表示,1、定系、动系、动点：（1） 定系：固结于静止不动物体上的坐标系称为定系,简称静系，用xoyz表示，若不指名，则取地面为定系。（2）动系：固结于相对于定系运动物体上的坐标系，用表示，简称动系。例如在行驶的汽车上取坐标系。（3）动点：运动的点，对于机构，动点取在传递物体运动的连接点或接触点。 注意：动点和动系不能取在同一物体上，否则不会构成点的合成运动。,三、 点的合成运动,2、三种运动的概念
16、及其关系 （1）绝对运动：动点相对于定系的运动。例如：人在地面上看车厢里人的运动。 （2）相对运动：动点相对于动系的运动。例如：某人甲在行驶的汽车里看车厢里某人乙走动。 （3）牵连运动：动系相对于定系的运动 例如：行驶的汽车相对于地面的运动。 注意：绝对运动、相对运动是点的运动，它可以是直线运动或曲线运动；牵连运动是刚体运动，它可以是平动、转动或比较复杂的刚体运动。 （4）三种运动的关系：绝对运动=相对运动+牵连运动,动点相对定系的速度与加速度称为绝对速度 与绝对加速度 动点相对动系的速度和加速度称为相对速度 与相对加速度,牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固结
17、在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。或者说某瞬时动点在动系上留下的印记，即为该瞬时动点的牵连点。 牵连运动中,牵连点相对定系的速度和加速度称为牵连速度 与牵连加速度 。,3、三种速度和三种加速度,4、三种速度和三种加速度的分析方法,（1）绝对速度、绝对加速度分析方法：眼中只有运动的动点和定系，假设其它的物体（包括动系）不存在，找出动点在定系中的绝对轨迹（就像在晚上根据飞机声，找飞机轨迹），则动点绝对速度的方向就是轨迹在该点的切线方向；动点绝对加速度的方向，可在该点分解为切线方向和法线方向。 （2）相对速度、相对加速度分析方法：假定动系不动，动点在动，找出动点在动系中的相对轨迹，
18、则动点相对速度的方向就是轨迹在该点的切线方向；动点相对加速度的方向，可在该点分解为切线方向和法线方向。 （3）牵连速度、牵连加速度分析方法：假定动点不动，动系在动，找出某瞬时动点在动系中留下的印记，根据该瞬时印记的牵连轨迹，则动点牵连速度的方向就是该瞬时轨迹在该点的切线方向；动点牵连加速度的方向，可在该瞬时轨迹在该点分解为切线方向和法线方向。牵连速度和牵连加速度也可以这样来分析：即假定动点不动，被动系所带动的速度和加速度就是牵连速度和牵连加速度，其方向同样根据找出的牵连轨迹来判断。,5、点的速度合成定理,动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和点的速度合成定理。三种速度
19、各有大小方向两个要素，6个要素知道4个就可求其余两个。,6、利用点的速度合成定理解题的步骤,（1）选动点、定系和动系； （2）分析三种运动及三种速度； （3）根据速度合成定理并结合各速度的已知条件作出速度平行四边形，然后利用三角函数关系或正弦定理等求解未知量。 注意：若速度平行四边形不能作出，则可用矢量投影定理向某轴投影来求解未知量,7、牵连运动为平动时加速度合成定理,即牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于在该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度可以由牵连加速度与相对加速度所构成的平行四边形的对角线来表示。,8、牵连运动为转动时点的加速度合成定
20、理,动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。,【例1】分析（解题思路）： 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并图示方向。,四、刚体的平面运动,1、刚体平面运动概念,刚体在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。换句话说，刚体上任一点都在与该固定平面相平行的某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。,2、刚体平面运动的简化,刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动。即在研
21、究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。,注意：平面图形S与固定平面相互平行的,3、刚体平面运动的特点,（1）刚体平面运动（绝对运动）可分解为随基点（强加的动系原点）的平动（牵连运动）和绕该基点的转动（相对运动）。,（2）将刚体平面运动分解平移和转动时，随基点选择不同， 基点的平动轨迹不同，平面图形随基点平动的速度和加速度也就不同；可见平动规律与基点选择有关，但转动规律与基点选择无关，即平面图形绕任何基点转动的角速度和角加速度都相同。,（3）今后称平面图形绕任何基点转动的角速度和角加速度 为平面图形的角速度和角加速度。,4、平面图形内各
22、点速度的方法,（1）基点法（合成法）,已知：图形S内一点A的速度 ，图形角速度 求：,因为A点的速度为已知，则选取A为基点,即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法。说明：基点法不仅可以求点的速度，而且可以求平面图形的角速度；比较繁琐的就是要作速度平行四边形。,（2）速度投影法,平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。速度投影定理。,已知A点和B点速度的方位，并且已知A点速度的大小，求 。,利用速度投影定理：,即可求出,结论：利用平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等，由平面图形上一点的速度求
23、另一点速度的方法称为 速度投影法。注意：速度投影法只能求速度，该方法不需要作速度平行四边形；但该方法无法求平面图形的角速度。,（3）瞬心法（速度瞬心法或瞬时速度中心法）,一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心或瞬心。,利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法,简称瞬心法；或者说瞬心法就是取速度等于零的点为基点的基点法。平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。,瞬心法：已知P点为速度瞬心，平面图形的角速度，则任意一点A的速度 ，方向AP，指向与 一致。瞬心法不仅可以求速度
24、，而且可以求角速度；不需要作速度平行四边形。,结论：平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。,（4）几种确定速度瞬心位置的方法, 已知图形上一点的速度 和图形角速度，可以确定速度瞬心的位置。（P点）且在 顺转向绕A点转90的方向一侧。, 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动（纯滚动）, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心。, 已知某瞬间平面图形上A,B两点速度的方向，且过A , B两点分别作速度 的垂线,交点P即为该瞬间的速度瞬心。,并且,已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直。此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各点速度相
25、等, 这种情况称为瞬时平动 (此时各点的加速 度不一定相等) ,但平面图形的角加速度不一定等于0。注意：瞬时平动不是平动，它是刚体平面运动的特殊情况。, 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动。 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。,（5） 注意的问题,取已知加速度的A为基点，则,已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形的 , （某一瞬时）。 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。,5、 用基点法求平面图形内各点的加速度,即平面图形内任一点的
26、加速度等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法。它是求解平面图形内一点加速度的基本方法。,上述公式是一个矢量方程。四个加速度矢共有八个要素，需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。注意：一般情况下， 的大小未知，因此加速度平行四边形是作不出来的，除非 的大小已知；加速度平行四边形才可作出。,1、用瞬心法或基点法求速度和平面图形的角速度 ；,2、取已知加速度的点A为基点，求B点的加速度。写出加速度矢量式，即：,大小,方向,？,？,若求B点的加速度 ，
27、可取轴垂直 ，将上式向轴投影即可；若求 ，可取轴垂直点B的加速度 ，将上式向 轴投影即可。注意：若运动轨迹未知，可把加速度分解为水平加速度和竖直加速度。,当加速度平行四边形无法作出时，利用基点法求加速度解题的方法（步骤）：,w,A,C,R,O,【例】分析（解题思路）：平面机构中OA杆长为r,作匀速转动，其角速度为，杆AC长为l,带动一圆轮作纯滚动，圆轮的半径为R，试求（1）圆轮重心C的速度、圆轮的角速度；（2）圆轮的重心C的加速度和杆AC的角加速度。,一、动力学普遍定理（回顾知识点）,动力学,（一）动量定理,1、质点系动量定理微分形式,2、质点系动量定理微分形式投影式,（常用来求动反力等）,请
28、同学们注意：打括弧的部分，上课时基本上都给出了解题方法，复习时，对照课件复习，便于掌握；以下同。,3、质点系动量定理积分形式,4、质点系动量定理积分形式的投影式,（求力、时间、速度等）,5、动量守恒定律,若,则,若,则,（常用来求速度等）,6、质心运动定理,7、质心运动定理的投影式,（1）直角坐标投影式,（常用来求动反力）,利用质心运动定理求动反力的方法（步骤） （1）算质点系的质心坐标,（2）将上述质心坐标两边对t 取二阶导数,（3）将上述二阶导数代入质心运动定理的投影式，移项整理 即可求出动反力,注意： （1）质心运动定理只能算集中力动反力，力偶动反力不能算。 （2）在每个投影轴上只能算一
29、个水平动反力，两个以上只是动反力的代数和。 （3）质心运动定理适用于惯性参考系。 （4）计算刚体系统的动反力时，若组成刚体系统各刚体的质心加速度容易确定，则可不需要确定刚体系统的质心位置，用上面计算方法的（3）即可算出刚体系统的动反力。此时公式写成：,（2）自然坐标投影式,（常用来求动反力）,8、质心运动守恒定律,若,或,并且初瞬时静止,则质心运动守恒：,或,（常用来求位移）,（二）动量矩定理,1、质点系动量矩定理的微分形式,2、质点系动量矩定理微分形式的投影式,（常用来求速度、加速度、动反力等）,利用动量矩定理求刚体加速度和角加速度的方法 （1）坐标系选取，使动量矩方向与 矢量（ 矢量）指向
30、一致，并设为正向。 （2）算刚体系统对z轴的动量矩和对z轴的力矩。 若求刚体的加速度，则刚体系统对z轴的动量矩的运动量全改为速度（即绝对速度）；若求刚体的角加速度，则刚体系统对z轴的动量矩的运动量全改为角速度。 （3）将上式算得的动量矩和力矩代入动量矩定理的投影式移项整理即可得到刚体的加速度或角加速度。,刚体系统对定轴z的动量矩计算方法刚体系统对定轴z的动量矩等于刚体系统中各个刚体对定轴z动量矩的代数和。注意：在具体计算时，要先搞清楚刚体系统中各个刚体作什么运动，以便于用相应的动量矩公式计算各个刚体的动量矩；并且在计算刚体系统对定轴z的动量矩前，可用角速度矢量按右手法则先确定z轴的正向。,3、
31、质点系相对于质心C的动量矩定理,投影式：,4、平面运动刚体对于速度瞬心轴的动量矩定理,若平面运动刚体的速度瞬心p到质心C的距离不变， 则有：,6、刚体绕定轴转动微分方程,5、动量矩守恒定律,若,或,则,或,即质点系对定点O或定轴Z动量矩守恒,（常用来求速度、角速度等）,（求力或求运动）,7、刚体的平面运动微分方程,8、刚体平面运动微分方程的投影式,（1）直角坐标投影式,（求力和求运动）,（2）自然坐标投影式,（求力和求运动）,9、记住质点系对任一点O的动量矩公式和几种 刚体运动的动量矩公式,（1）质点系对任一点O的动量矩,（2）几种刚体运动的动量矩,（a）平动刚体的动量矩,（b）定轴转动刚体的
32、动量矩,（C）平面运动刚体的动量矩,(d) 刚体系统对某轴的动量矩,10、记住几种简单刚体对定轴的转动惯量,(1) 匀质细直杆长为l ,质量为m,（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量,（3）均质圆板对中心轴的转动惯量,由回转半径（惯性半径）确定转动惯量,平行移轴定理公式：,（三）动能定理,1、质点系动能定理的微分形式,（功包括外力功和内力功）,（常用来求速度、加速度、角速度、角加速度等）,2、质点系动能定理的积分形式,（常用来求速度、加速度、角速度、角加速度等）,3、记住几种刚体运动的动能,（1）刚体平动,（2）刚体转动,（3）刚体平面运动,或,（p为瞬心）,4、功率方程,（常用来求速度、加速度
33、、角速度、角加速度等）,5、机械能守恒定律,若只有有势力作功，则,或,（求力、速度、角速度等）,利用动能定理求物体加速度和角加速度的方法 （1） 写出刚体系统动能定理的积分形式在任何瞬时的函数式，即T2-T1=W12 (a) （2） 若求某个物体的加速度，则把(a)式中的运动量均改成某个物体的速度 ， 然后将式两边对时间t 求导数，移项整理即可求得某个物体的加速度。若求某个物体的角加速度，则把(a)式中的运动量均改成某个物体的角速度 ， 然后将式两边对时间t 求导数，移项整理即可求得某个物体的角加速度。,利用功率方程求物体加速度和角加速度的方法 （1）写出任意瞬时物体系统的动能T； （2）将物
34、体系统的动能代入功率方程，即可。 注意：若求物体的加速度，则把动能定理的运动量改为速度；若求物体的角加速度，则把动能定理的运动量改为角速度。,二、动力学普遍定理解题的一般方法： （1）首先取质点系为对象，由质点系的动能定理或功率方程或 动量矩定理，求出某个物体的速度、角速度和加速度、角加速度。 （若取质点系为对象，用上述定理无法求出这些量，可分别考虑各个物体，再由相应的三大定理中的定理求某个运动量） （2）把质点系拆开,若： (a)物体作平动：由动量定理或质心运动定理等求未知量； (b)物体作转动：由动量矩定理或定轴转动微分方程等求未知量； (c)物体作平面运动：由质心运动定理或动量矩定理以及
35、刚体平面运动微分方程（若未知量数目多于独立方程数目，还要列运动学补充方程）求未知量； (d)求物体的动反力：质心运动定理首选。注意：若质点系所受外力的主矢为零或在某轴上的投影为零，则可用动量守恒定律求解。若质点系所受外力对某固定轴的矩的代数和为零，则可用对该轴动量矩守恒定律求解。若质点系仅受有势力的作用或非有势力不作功，则用机械能守恒定律求解。若作用在质点系上的非有势力作功，则用动能定理求解。,B,A,O1,30o,D,G,G,G,M,【例】分析（解题思路）：均质圆轮A和B的半径均为r，圆轮A和B以及物块D的重量均为G，圆轮B上作用有力偶矩为M的力偶。圆轮A在固定斜面上由静止向下作纯滚动，不计
36、圆轮B的轴承的摩擦力。求：（1） 物块D的加速度；（2） 两圆轮之间的绳索所受拉力；（3） 圆轮B处的支座O2动反力；（4）圆轮B和物体D之间的绳索的拉力；（5）圆轮与斜面间的摩擦力。,O2,二、达朗贝尔原理,1、惯性力：当质点受到力作用改变原来运动状态时，由于质点本身具有惯性，对施力物体的反作用力,称为受力体的惯性力；其大小等于质点的质量与质点加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反,作用在施力体上。,2、质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。既然形式上是一个平衡力系，于是就可用静力学的平衡方程求解动力学的未知量，这就是质点系的动静法。,3、
37、惯性力系：刚体上各质点的惯性力所组成的力系。刚体惯性力系简化的思想就是采用静力学中的力系简化的理论，在刚体上取一个熟知的点（如质心或定轴）为简化中心，将惯性力系向简化中心进行简化，得到惯性力系的主矢和主矩；在应用动静法前，用惯性力系的主矢和主矩代替惯性力系，从而给采用动静法解题带来方便。,4、惯性力系的主矢,无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。,5、惯性力系的主矩和几种刚体惯性力系简化的结果,（1）刚体作平动,结论：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向反向。,（a）如果刚体
38、有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中心取此平面与转轴的交点, 惯性力系简化为质量对称平面 的平面力系，则有：,结论：具有质量对称平面的刚体，将惯性力系向质量对称平面 上的定点O简化得到主矢和主矩，主矢等于刚体的质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反；主矩等于刚体对 通过定点O的轴z的转动惯量与刚体角加速度的乘积，转向与角 加速度转向相反。,（2）刚体作定轴转动,（b）如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中心取此平面的质心C为交点, 惯性力系简化为质量对称平面的平面力系，则有：,结论：具有质量对称平面的刚体，将惯性力系向质量对称平面 上的质心C简化得到主矢和主矩，主矢等于刚
39、体的质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反；主矩等于刚体对 通过质心C的轴z的转动惯量与刚体角加速度的乘积，转向与角 加速度转向相反。,（c）如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,刚体作匀速转动（即=0），定轴z不通过质心C,简化中心取定点O或取此平面的质心C, 惯性力系简化为质量对称平面的平面力系，则有：,作用点在定点O上或在质心C上。,结论：具有质量对称平面的刚体，刚体作匀速转动，定轴z不通过质心C,简化中心取定点O或取此平面的质心C,将惯性力系向质量对称平面上的定点O或质心C简化得到合力，合力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反；分别作用在定点O和质心
40、C上。,（d）如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直, 定轴z通过质心C（即定点O与平面的质心C重合ac=0),简化中心取定点O(平面的质心C), 惯性力系简化为质量对称平面的平面力系，则有：,结论：具有质量对称平面的刚体，定轴z通过质心C （即定点O与平面的质心C重合）,简化中心取定点O（平面的质心C）,将惯性力系向定点O（质心C）简化得到合力偶矩，合力偶矩等于刚体对通过定点O （质心C）的轴z的转动惯量与刚体角加速度的乘积，转向与角加速度转向相反。,（e）如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,刚体作匀速转动（即=0），定轴z通过质心C（即定点O与平面的质心C重合ac=0),简化中心取定点
41、O(平面的质心C), 惯性力系简化为质量对称平面的平面力系，则有：,结论：具有质量对称平面的刚体，刚体作匀速转动，定轴z通过质心C （即定点O与平面的质心C重合）,简化中心取定点O (平面的质心C),将惯性力系向定点O（质心C）简化得到主矢和主矩都等于0，这种情况称为惯性力系自身互相平衡。,（3）刚体作平面运动（平行于质量对称面）,取质量对称平面的质心C为简化中心，将惯性力系向质心C简化,惯性力系简化为质量对称平面的平面力系，则有：,结论：具有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，取平面 的质心C为简化中心，将惯性力系向质心C简化得到主矢和主矩， 主矢通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速
42、度的乘积，其 方向与质心加速度方向相反；主矩等于刚体对过质心且垂直于质 量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度转 向相反。,6、利用动静法求解刚体系统动力学问题方法 解题步骤: （1）画出刚体系统（或刚体）的受力图，受力图上包括两种力：外力、惯性力系的主矢和主矩。 （2）若物体的加速度未知（角加速度未知），则取适当的研究对象，由静力学的平衡方程（例如力矩方程）把加速度（角加速度）求出来，从而惯性力系的主矢和主矩就可确定。 （3）判断刚体系统（或刚体）上的力系类型，选取适当的研究对象，利用相应的静力学的平衡方程来求刚体（或刚体）上的动力学的未知量。,【例】分析（解题思路）：均质杆
43、AB长l, 重W, B端与重G、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上系有两个分别重为P1和P2的重物C和D；作用在圆轮上一个矩为M的力偶。 试用动静法求:(1)圆轮的角加速度；（2）两物体的加速度；（3）铰B的动反力；（3）固定端A的约束反力。,（一）虚位移与实位移,在某瞬时,非自由的质点系或质点在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移只与约束条件有关。虚位移用变分符号表示，如,实位移是质点系或质点真实实现的位移，它与约束条件、时间、主动力以及运动的初始条件有关，实位移用微分符号表示，如,三、 虚位移原理,（二）确定质点系中各质点虚位移之间关系的方法,在非自由质点系中，由于
44、约束的作用，从而使得质点系中各质点的位置或运动是互相制约的；所以当质点系被给以虚位移之后，那么各质点之间的虚位移之间必存在一定的关系，其关系可由下述两种方法来确定，即几何法和解析法。,1、几何法所谓几何法是指利用几何关系、运动关系来找质点系内各质点虚位移之间关系的一种方法。几何法确定质点之间的虚位移关系必须要画质点系的虚位移图。常用的又分为三种： 第一种：由运动学画出质点系的虚位移图，再由几何学来确定质点系各质点之间的虚位移关系。（注意:质点系的虚位移图可根据质点的实速度方向来画。）,例 试确定质点系A点和B点之间的虚位移关系。(1)画出机构的虚位移图； （2）由几何学知识确定两质点之间的虚位
45、移关系。,第二种：虚速度法根据质点系中任意两质点的虚位移之比等于相应两质点的虚速度之比来确定两质点虚位移关系的方法。,例如，上图机构中，因为,第三种：根据同一刚体上任意两点的虚位移在该两点连成直线 上的投影相等来确定这两质点虚位移之间关系的方法。,2、解析法所谓解析法，是指利用广义坐标的概念，通过各质点位置坐标的变分来找质点系内各质点的虚位移之间关系的一种方法。解析法必须要建立直角坐标系，其中坐标原点取在不动点处。,解析法的步骤是： （1）明确广义坐标，建立直角坐标系； （2）将质点的坐标写成广义坐标的函数形式，即,（3）将(a)式两边取变分，即得质点系的直角虚位移与广义坐标虚位移之间的关系，
46、即,（三）虚位移原理,具有固执、完整、定常、理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要与充分条件是：所有作用于质点系上的主动力，在该位置的约束容许任何虚位移中所作的虚功之和等于零。其数学表达式为,或,或用解析式表示为,(a) 用于几何法,(b) 用于解析法,以上三式称为虚功方程，其表达的原理称虚位移原理或虚功原理。下面对(a)式进行证明。,一、虚位移原理的概念、虚功方程的几种形式和解题方法,1、虚位移原理的概念、虚功方程的几种形式,值得说明的是：虚功方程除了上面的两种形式外，还可以写成 为如下几种形式： （1）对于平面机构，有,注意：上式得O点为力矩的矩心，若刚体作平面运动，O点则取刚体平面运
47、动的瞬心；若刚体作转动， O点则取刚体的定轴（定点）；即矩心O不像静力学中的力矩平衡方程那样是任取的。若刚体上有力偶矩，则上述虚功方程中的力矩则换成力偶矩；虚功方程中的转角虚位移，则与力矩或力偶矩相对应。,（2）虚功率方程,用于几何法,用于几何法,用于解析法,用于几何法,其中，式中的 是主动力 作用点处的虚速度。,利用虚位移原理解题的方法（步骤）： （1）画虚位移图（用几何法解题），若用解析法解题，则取广义坐标，建立直角坐标系； （2）建立虚功方程（或虚功率方程）； （3）找质点系中质点之间的虚位移（或虚速度）关系； （4）将上述的虚位移（或虚速度）关系代入虚功方程（或虚功率方程），移项整理即
48、可求得未知量。,常见的题目类型有三种： （1）质点系在一位置处于平衡，求主动力之间的关系； （2）求质点系在已知主动力作用下的平衡位置； （3）求已知主动力作用下的约束反力，每次只能解除一个约束, 求一个约束反力。,2、虚位移原理的解题方法,二、常见题目的题型,【例】分析（解题思路）：已知各杆长为L，重为W ， 求维持平衡所需力F 的大小；,已知：图中所示结构,各杆自重不计,在点作用一铅直向上的力, .,求：支座的水平约束力.,例,解:解除B端水平约束,以力代替.,代入虚功方程,四、机械振动基础,（一）单自由度系统的自由振动,1.自由振动微分方程,2.弹簧的并联与串联,（1）弹簧并联,当两个弹簧以上并联时，其等效弹簧刚度系数等于这些 弹簧刚度系数的代数和。,（2）弹簧串联,当两个以上弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于 这些弹簧刚度倒数的代数和。,
