1、西安建大,第三章 矩 阵的秩和线性方程组的相容性定理,第一讲 矩阵的秩；初等矩阵,第二讲 矩阵的秩的求法和矩阵的标准形,第三讲 线性方程组的相容性定理,西安建大,第一讲 矩阵的秩；初等矩阵,一、引例 二、矩阵的秩 三、初等方阵,西安建大,对齐次线性方程组,由于其系数矩阵,是奇异方阵而不能直接用克莱姆法则:,(3.1),一.引例,西安建大,应用高斯消元法删去多余方程，得,（3.2),(3.2)称为(3.1)的保留方程组。,把上述删去多余方程求得保留方程组的过程用矩阵表示就是：,西安建大,(3.3),得到保留方程组,对一般齐次线性方程组,西安建大,如何判定方程组(3.3)是否有多余方程？如何求(3
2、.3)的保留方程组？,问题：,西安建大,定义3.1 矩阵A中最大非奇异子方阵的阶数称为矩阵A的秩，记为R(A),二、矩阵的秩,例3.1方程组(3.1)的系数矩阵A的秩R(A)=2,这是由于：,西安建大,例3.2求下列矩阵的秩,解 由于A的第2行是第1行的2倍，所以A的任一个三阶子方阵都是奇异的，因此有R(A)3,但因A有一个二阶子方阵的行列式,所以R(A)=2,西安建大,关于矩阵秩的结论:,定理3.1 若矩阵A有一个r阶子方阵非奇异，且所有r+1阶的子方阵都是奇异的，则R(A)=r,西安建大,回忆：,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”),三、
3、初等方阵,矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,西安建大,定义3：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,西安建大,(1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。,西安建大,西安建大,西安建大,初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。,西安建大,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,例1：计算,西安建大,西安建大,定理：,证明：,具体验证即可,西安建大,另两种情形同理可证,西安建大,一般记法：,西安建大,例2： (1) 设初等矩阵,西安建大,解：,西安建大,西安建大,解：,西安建大,矩阵的秩 初等方阵,小结：,定理3.5方阵可逆的充要条件是
4、它可以表示成有限个初等方阵的乘积。,m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q，使PAQ=B,西安建大,第二讲 矩阵的秩的求法和 矩阵的标准形,一、等价矩阵具有相同的秩 二、矩阵秩的求法. 三、矩阵秩的性质 四、矩阵的秩与行列式的关系,西安建大,一、等价矩阵具有相同的秩,定理3.7 若AB，则R(A)=R(B)，即初等变换不改变矩阵的秩。,西安建大,二、 矩阵秩的求法.,行阶梯形矩阵：,例如：,特点：,(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,西安建大,行最简形矩阵：,在行阶梯形矩阵的基础上，还要
5、求非零行的第一个非零元 为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。,例如：,注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。,西安建大,解:,西安建大,西安建大,解：看行秩,例2：求上三角矩阵的秩,西安建大,线性无关，,所以矩阵的秩行向量组的秩3非零行的行数,西安建大,结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数,证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行是线性无关就行了。,设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。,因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地 变换列的顺序，不妨设,西安建大,其中,显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为 n维时依然无关，所以矩
6、阵A的非零行的向量是线性无关的。,加上任一零行即相关，所以 矩阵A的秩矩阵A的行向量组的秩非零行的行数,求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。,西安建大,西安建大,西安建大,西安建大,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,西安建大,三、 矩阵秩的性质,(1) 等价的矩阵，秩相同。,(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。,(4),当AB=0时，有,（证明在习题课讲）,西安建大,四、 矩阵的秩与行列式的关系,定理:,n阶方阵A，,即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）,A的n个行（列）向量线性无关,A的n个行（列）向量线性相关,定义3：,矩阵A中，任
7、取k行k列，交叉处的元素保持原来 的相对位置不变而组成的一个k阶子式，称为矩 阵A的k阶子式。,西安建大,矩阵的秩的另一种定义：,定义4：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有 的r1阶子式（如果有的话）都为零，则r(A)=r.,阶矩阵A的秩r是A中不等于零的子式的 最高阶数。零矩阵的秩为零。,注：,西安建大,例6:,解：,西安建大,例7：,解：,西安建大,第三讲 线性方程组的相容性定理,一、高斯消元法,二、齐次线性方程组,三、非齐次线性方程组,西安建大,一. 高斯消元法,设一般线性方程组为,则称矩阵,为方程组(1)的系数矩阵。,西安建大,称矩阵,为方程组(1)的增广矩阵。,称为方程组（1）
8、的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。,西安建大,定义：线性方程组的初等变换,（1） 用一非零的数乘某一方程,（2） 把一个方程的倍数加到另一个方程,（3） 互换两个方程的位置,可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解.,对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换.,初等行变换,西安建大,化为行阶 梯形矩阵,西安建大,则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。,化为行最 简形矩阵,西安建大,由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况,1) 若 ，则方程组无解。,特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组一定
9、有解。,西安建大,举例说明消元法具体步骤：,例1：解线性方程组,解：,最后一行有,可知方程组无解。,西安建大,例2：解线性方程组,解：,西安建大,对应的方程组为,即,西安建大,二. 齐次线性方程组,1. 齐次线性方程组（2）有解的条件,定理1：齐次线性方程组 有非零解,定理2：齐次线性方程组 只有零解,有解的条件 解的性质 基础解系 解的结构,西安建大,例3 : 求下列齐次方程组的通解。,解：,初等行变换,西安建大,行最简形矩阵对应的方程组为,先求通解，再求基础解系.,即,是自由 未知量。,令,则,即,为任意常数。,西安建大,解：,初等行变换,所以只有零解。,西安建大,三. 非齐次性线性方程组,1. 有解的条件,定理3：非齐次线性方程组,有解,西安建大,例4 : 求解非齐次方程组,解：,西安建大,令,则,为任意常数）,西安建大,例5：,k取何值时有唯一解, 无穷多解或无解， 有无穷多解时求出通解.,解：,西安建大,西安建大,法2：利用Cramer法则,有无穷多解，,即,当 时，,当 时，即 且 时，方程组有唯一解。,西安建大,所以方程组无解。,西安建大,小结:,齐次线形方程组的相容性定理.非齐次线形方程组的相容性定理.,
