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    2014届湖北省部分重点中学高三第一次联考理科数学试卷与答案(带解析).doc

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    2014届湖北省部分重点中学高三第一次联考理科数学试卷与答案(带解析).doc

    1、2014届湖北省部分重点中学高三第一次联考理科数学试卷与答案(带解析) 选择题 已知两个集合 , ,则( ) . A B C D 答案: B 试题分析:由 ,则 ,由 ,则 或 , ,选 B. 考点:函数的定义域,不等式的解法,交集的运算 . 在 所在的平面内,点 满足 , ,且对于任意实数 ,恒有 ,则( ) A B C D 答案: C 试题分析: 过点 作 ,交 于 , 是 边上任意一点,设 在 的左侧,如图, 则 是 在 上的投影,即 , 即 在 上的投影, , 令 , , , , 故需要 , ,即 , 为 的中点,又是 边上的高, 是等腰三角形,故有 ,选 C. 考点:共线向量,向量的

    2、数量积 . 设 的内角 A, B, C所对的边分别为 ,若三边的长为连续的三个正整数,且 , ,则 为( ) A 4:3:2 B 5:4:3 C 6:5:4 D 7:6:5 答案: C 试题分析: , ,又 、 、 为连续的三个正整数,设, , , ( ),由于 ,则 ,即 , ,解得 , , , ,由正弦定理得 ,选 C. 考点:正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式 . 已知函数 是定义在 上的偶函数,当 时,则函数 的零点个数为( ) A 4 B 6 C 8 D 10 答案: D 试题分析:由于 时,函数 递减且 , 时,函数递增且 ; 当 时,函数 递减且 , 时,函数 递减且; 当 时

    3、,函数 递减且 , 时,函数 递减且; 当 时,函数 递减且 , 时,函数 递减且; 当 时,函数 的零点个数是 5个,即在区间 , , 上各有 1个零点, 是零点 . 因为函数 是偶函数,故函数 共有 10个零点,选 D. 考点:偶函数的性质,分段函数 . 等比数列 的前 项和为 ,若 , , 成等差数列,则其公比为 ( ) A B C D 答案: A 试题分析:设等比数列 的首项为 ,公比为 , , ,成等差数列, ,当 时, ,即不成立,当 时, ,即,解得 或 (舍去),选 A. 考点:等差数列、等比数列的性质,等比数列的求和公式 . 已知函数 的定义域为 ,值域为.下列关于函数 的说

    4、法: 当 时, ; 将 的图像补上点 ,得到的图像必定是一条连续的曲线; 是 上的单调函数; 的图象与坐标轴只有一个交点 .其中正确命题的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案: B 试题分析:设函数 的图象如图 根据图形知, 错误, 正确 . 选 B 考点:函数的定义域、值域,函数的图象性质 . 三个实数成等差数列,首项是 9,若将第二项加 2、第三项加 20可使得这三个数依次构成等比数列 ,则 的所有取值中的最小值是( ) A 1 B 4 C 36 D 49 答案: A 试题分析:设首项为 9 的等差数列分别为 9, , (其中 为公差),又 9, , 程等比数列,则 ,解得

    5、或 ,当 时,数列 的三项依次为 9, , ;当 时,数列 的三项依次为 9, , , 故 的所有可能取值中最小的是 1,选 A. 考点:等差数列、等比数列的性质 . 设 ,函数 的导函数为 ,且 是奇函数,则( ) A 0 B 1 C 2 D 答案: D 试题分析: , ,由于 是奇函数, , ,选 D. 考点:导数的计算,奇函数的性质 . 已知命题 :所有素数都是偶数,则 是( ) A所有的素数都不是偶数 B有些素数是偶数 C存在一个素数不是偶数 D存在一个素数是偶数 答案: C 试题分析:已知命题 :所有素数都是偶数,则 是 “存在一个素数不是偶数 ”,选 C. 考点:全称命题的否定 .

    6、 若 是纯虚数,则 =( ) A B C D 答案: B 试题分析:依题意 , , , .选 B. 考点:复数的概念,同角三角函数间的关系,两角差的正切公式 . 填空题 已知函数 .如果存在实数 ,使函数 , 在 处取得最小值,则实数的最大值为 . 答案: 试题分析:依题意, , 令 , 在区间上恒成立, 即 当 时不等式 成立, 当 时,不等式 可化为 令 , 由 知其图象是开口向下的抛物线, 故它在闭区间上的最小值必在端点处取得, 又 ,则不等式 成立的充要条件是 , 整理得 在 上有解,即 , 解得 ,故实数 的最大值为 . 考点:函数的极值、最值,不等式的解法,恒成立 . 已知 ,各项

    7、均为正数的数列 满足 ,若,则 . 答案: 试题分析: , , ,又 , , , , , , , , ,解得 ,而 , ,. 考点:递推数列 . 已知两个实数 满足 且 ,则 三个数从小到大的关系是 (用 “ ”表示) . 答案: 试题分析: , ,由下面图象知函数 的图象与 与 的图像交点的横坐标分别为 、 ,故 . 考点:函数 、与、 及 的图象性质 . 在 ABC中,边 角 ,过 作 ,且,则 . 答案: 试题分析:依题意 , ,由余弦定理得,由三角形的面积公式得,即 , , 又 , ,即 ,又点 、 、 三点共线,则 , 解方程组 ,解得 , . 考点:余弦定理,三角形的面积公式,向量

    8、的数量积 . 设球的半径为时间 的函数 ,若球的体积以均匀速度 增长,则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 . 答案: 试题分析:依题意,球的体积 , , 由 , , 又表面积 , , 球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 . 考点:球的性质,导数的计算 . 解答题 已知函数 . ( 1)求 的最小正周期和最小值; ( 2)若不等式 对任意 恒成立,求实数 的取值范围 . 答案:( 1) , ;( 2) . 试题分析:( 1)由于函数 中含有常数, ,先求 ,再令 , ,分别求出 , ,再利用两个角的和的正弦公式变形为 ,即可求得最小正正周期与最值;( 2)当 时,利用( 1)的结论求得 ,

    9、 时不等式 恒成立等价于 在时恒成立 . 试题:( 1) , , 令 得 ,解得 , , . 最小正周期 ,最小值为 . 6分 ( 2)有( 1)知 ,当 时 , ,则 , 8分 又对任意 , 恒成立 . ,即 . 12分 考点:导数的计算,三角函数中两个角的正弦公式,恒成立 . 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, , 为的中点 . ( 1)若 ,求证:平面 平面 ; ( 2)点 在线段 上, ,若平面 平面 ,且,求二面角 的大小 . 答案:( 1)详见;( 2) . 试题分析:( 1)由直线与平面内的两条相交直线垂直可证 平面 ,又由 平面 ,根据一个平面经过另外一个平面的一条垂线,则这两

    10、个平面垂直,因此有平面 平面 ;( 2)先证 平面 .以 为坐标原点,分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系, ,求平面 与平面 的一个法向量,根据公式 ,利用向量法求解 . 试题:( 1)由题条件, 平面 , 又 平面 , 平面 平面 . 5分 ( 2) , 为 的中点, , 又平面 平面 ,平面 平面 , 平面 . 以 为坐标原点,分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系,则 , , , , , 9 设 是平面 的一个法向量,则 ,即 ,令得 , , 又 是平面 的一个法向量, , 故二面角 的大小为 . &n 设等差数列 的前 项和为 且 ( 1)求数列 的通项公式;

    11、( 2)若 ,数列 满足: ,求数列的前 项和 答案:( 1) ;( 2) . 试题分析:( 1)根据等差数列的通项公式、求和公式把已知等式表示成首项 与公差 的等式, 解方程组求得首项与公差,从而得出数列 的通项公式;( 2)有累加原理把 表示为,利用则可转化为 , ,可用裂项相消法求出数列数列 的前 项和 试题:( 1) , , ,解得 , . 6分 ( 2)由 ,当 时,( 也成立) . , 9分 . 13分 考点:等差数列的性质,叠加原理,裂项相消法求和 . )已知某音响设备由五个部件组成, A电视机, B影碟机, C线路, D左声道和 E右声道,其中每个部件工作的概率如图所示,能听到

    12、声音,当且仅当 A与 B中有一个工作, C工作, D与 E中有一个工作;且若 D和 E同时工作则有立体声效果 . ( 1)求能听到立体声效果的概率; ( 2)求听不到声音的概率 .(结果精确到 0.01) 答案:( 1) 0.52;( 2) 0.13. 试题 分析:( 1)根据事件 A, B, C,D,E 的能否正常工作没有影响,即是相互独立事件,又事件 A发生的概率为 0.9,由对立事件的概率得出事件 A不发生的概率为 1-0.90,同理事件 B不发生的概率为 1-0.8,根据独立事件的概率公式可得出能听到立体声效果的概率;( 2)事件 “听不到声音的 ”即为 “当 A、 B都不工作,或 C

    13、不工作,或 D、 E都不工作时 ”,又有独立事件的概率公式得出结论 . 试题:( 1)因为 A与 B中都不工作的概率为 ; 所以能听到立体声效果的概率为 . 6分 ( 2)当 A、 B都不工作,或 C不工作,或 D、 E都不工作时 ,就听不到音响设备的声音 . 其否定是: A、 B至少有 1个工作,且 C工作,且 D、 E中至少有一个工作 . 所以,听不到声音的概率为. 10分 答:( 1) 能听到立体声效果的概率约为 0.52;( 2)听不到声音的概率为 0.13. 12分 考点:互斥事件、对立事件、独立事件的概率 . 已知椭圆 : ( )的右焦点 ,右顶点 ,右准线且 ( 1)求椭圆 的标

    14、准方程; ( 2)动直线 : 与椭圆 有且只有一个交点 ,且与右准线相交于点 ,试探究在平面直角坐标系内是否存在点 ,使得以 为直径的圆恒过定点 ?若存在,求出点 坐标;若不存在,说明理由 答案:( 1) ;( 2) . 试题分析:( 1)利用椭圆的右准线方程为 , 及 联立方程组求得 、 ,从而得出椭圆的方程;( 2)联立方程组消去 得到关于 的一元二次方程,利用判别式 ,得出 ,由椭圆的对称性知,妨设点 ,利用 推出 ,又联立程组可求得 的值 . 试题:( 1)由题意, , , , ,由 得. 椭圆 C的标准方程为 . 5分 ( 2)由 得: , ,即 , , ,即 . 8分 假设存在点

    15、满足题意,则由椭圆的对称性知,点 应在 轴上,不妨设点. 又 , , ,若以 为直径的圆恒过定点 , 则 + = 恒成立, 故 , 即 . 12分 存在点 适合题意,点 与右焦点重合,其坐标为( 1,0) . 13分 考点:椭圆的性质,直线与椭圆的关系,向量的数量积 . 设 ( 1)若 ,求 最大值; ( 2)已知正数 , 满足 .求证: ; ( 3)已知 ,正数 满足 .证明 : 答案:( 1) ;( 2)详见;( 3)详见 . 试题分析:( 1)先求函数的定义域,利用分式的求导法则求 ,令, 分别求函数的增区间与减区间,可求得函数的极大值,从而求得函数的最大值; ( 2)构造函数 ,利用导

    16、数法证明 在在上递增,在 上递减 .由于函数 的极大值为 ,时, 由 ,得出 , 从而证明结论 成立 . ( 3)由数学归纳法证明 .用数学归纳法证明的一般步骤是 (1)证明当 时命题成立; (2)假设当 且 时命题成立,证明当 时命题成立 . 由 (1), (2)可知,命题对一切正整数 都成立 . 一般的与正整数 有关的等式、不等式可考虑用数学归纳法证明 . 试题:( 1) , 时, ,当 时, , 即 在 上递增,在 递减 .故 时, 有 . 4分 ( 2)构造函数 , 则 易证 在在 上递增,在 上递减 . 时,有 . ,即 , 即证 . 8分 ( 3)利用数学归纳法证明如下: 当 时,命题显然成立; 假设当 时,命题成立,即当 时, . 则当 ,即当时, , 又假设 , 即 = . 这说明当 时,命题也成立 . 综上 知,当 ,正数 满足 . 14分 考点:导数法求函数的单调性、极值、最值,数学归纳法 .


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