1、2014届湖北省部分重点中学高三第一次联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知两个集合 ， ，则（ ） . A B C D 答案： B 试题分析：由 ，则 ，由 ，则 或 ， ，选 B. 考点：函数的定义域，不等式的解法，交集的运算 . 在 所在的平面内，点 满足 ， ，且对于任意实数 ，恒有 ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 过点 作 ，交 于 ， 是 边上任意一点，设 在 的左侧，如图， 则 是 在 上的投影，即 ， 即 在 上的投影， ， 令 ， ， ， ， 故需要 ， ，即 ， 为 的中点，又是 边上的高， 是等腰三角形，故有 ,选 C. 考点：共线向量，向量的
2、数量积 . 设 的内角 A， B， C所对的边分别为 ，若三边的长为连续的三个正整数，且 ， ，则 为（ ） A 4:3:2 B 5:4:3 C 6:5:4 D 7:6:5 答案： C 试题分析： ， ，又 、 、 为连续的三个正整数，设， ， ， （ ),由于 ，则 ，即 ， ，解得 ， ， ， ，由正弦定理得 ，选 C. 考点：正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式 . 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时，则函数 的零点个数为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 答案： D 试题分析：由于 时，函数 递减且 ， 时，函数递增且 ； 当 时，函数 递减且 ， 时，函数 递减且； 当 时
3、，函数 递减且 ， 时，函数 递减且； 当 时，函数 递减且 ， 时，函数 递减且； 当 时，函数 的零点个数是 5个，即在区间 ， ， 上各有 1个零点， 是零点 . 因为函数 是偶函数，故函数 共有 10个零点，选 D. 考点：偶函数的性质，分段函数 . 等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则其公比为 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：设等比数列 的首项为 ，公比为 ， ， ，成等差数列， ，当 时， ，即不成立，当 时， ，即，解得 或 （舍去），选 A. 考点：等差数列、等比数列的性质，等比数列的求和公式 . 已知函数 的定义域为 ，值域为.下列关于函数 的说
4、法： 当 时， ； 将 的图像补上点 ，得到的图像必定是一条连续的曲线； 是 上的单调函数； 的图象与坐标轴只有一个交点 .其中正确命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：设函数 的图象如图 根据图形知， 错误， 正确 . 选 B 考点：函数的定义域、值域，函数的图象性质 . 三个实数成等差数列，首项是 9，若将第二项加 2、第三项加 20可使得这三个数依次构成等比数列 ，则 的所有取值中的最小值是（ ） A 1 B 4 C 36 D 49 答案： A 试题分析：设首项为 9 的等差数列分别为 9， ， （其中 为公差），又 9， ， 程等比数列，则 ，解得
5、或 ，当 时，数列 的三项依次为 9， ， ；当 时，数列 的三项依次为 9， ， , 故 的所有可能取值中最小的是 1，选 A. 考点：等差数列、等比数列的性质 . 设 ，函数 的导函数为 ，且 是奇函数，则（ ） A 0 B 1 C 2 D 答案： D 试题分析： ， ，由于 是奇函数， ， ，选 D. 考点：导数的计算，奇函数的性质 . 已知命题 :所有素数都是偶数，则 是（ ） A所有的素数都不是偶数 B有些素数是偶数 C存在一个素数不是偶数 D存在一个素数是偶数 答案： C 试题分析：已知命题 :所有素数都是偶数，则 是 “存在一个素数不是偶数 ”，选 C. 考点：全称命题的否定 .
6、 若 是纯虚数，则 =（ ） A B C D 答案： B 试题分析：依题意 ， ， ， .选 B. 考点：复数的概念，同角三角函数间的关系，两角差的正切公式 . 填空题 已知函数 .如果存在实数 ，使函数 ， 在 处取得最小值，则实数的最大值为 . 答案： 试题分析：依题意， ， 令 ， 在区间上恒成立， 即 当 时不等式 成立， 当 时，不等式 可化为 令 ， 由 知其图象是开口向下的抛物线， 故它在闭区间上的最小值必在端点处取得， 又 ，则不等式 成立的充要条件是 ， 整理得 在 上有解，即 ， 解得 ，故实数 的最大值为 . 考点：函数的极值、最值，不等式的解法，恒成立 . 已知 ，各项
7、均为正数的数列 满足 ，若，则 . 答案： 试题分析： ， ， ，又 ， ， ， ， ， ， , ， ，解得 ，而 ， ，. 考点：递推数列 . 已知两个实数 满足 且 ，则 三个数从小到大的关系是 （用 “ ”表示） . 答案： 试题分析： ， ，由下面图象知函数 的图象与 与 的图像交点的横坐标分别为 、 ，故 . 考点：函数 、与、 及 的图象性质 . 在 ABC中，边 角 ，过 作 ，且，则 . 答案： 试题分析：依题意 ， ，由余弦定理得，由三角形的面积公式得，即 ， ， 又 ， ，即 ，又点 、 、 三点共线，则 ， 解方程组 ，解得 ， . 考点：余弦定理，三角形的面积公式，向量
8、的数量积 . 设球的半径为时间 的函数 ，若球的体积以均匀速度 增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 . 答案： 试题分析：依题意，球的体积 ， ， 由 ， ， 又表面积 ， ， 球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 . 考点：球的性质，导数的计算 . 解答题 已知函数 . （ 1）求 的最小正周期和最小值； （ 2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由于函数 中含有常数， ，先求 ，再令 ， ，分别求出 ， ，再利用两个角的和的正弦公式变形为 ，即可求得最小正正周期与最值；（ 2）当 时，利用（ 1）的结论求得 ，
9、 时不等式 恒成立等价于 在时恒成立 . 试题：（ 1） ， ， 令 得 ，解得 ， ， . 最小正周期 ，最小值为 . 6分 （ 2）有（ 1）知 ，当 时 ， ，则 ， 8分 又对任意 ， 恒成立 . ，即 . 12分 考点：导数的计算，三角函数中两个角的正弦公式，恒成立 . 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 为的中点 . （ 1）若 ，求证：平面 平面 ； （ 2）点 在线段 上， ，若平面 平面 ，且，求二面角 的大小 . 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）由直线与平面内的两条相交直线垂直可证 平面 ，又由 平面 ，根据一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两
10、个平面垂直，因此有平面 平面 ；（ 2）先证 平面 .以 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系， ，求平面 与平面 的一个法向量，根据公式 ，利用向量法求解 . 试题：（ 1）由题条件， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 . 5分 （ 2） ， 为 的中点， ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 . 以 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， 9 设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ，令得 ， ， 又 是平面 的一个法向量， ， 故二面角 的大小为 . &n 设等差数列 的前 项和为 且 （ 1）求数列 的通项公式；
11、（ 2）若 ，数列 满足： ，求数列的前 项和 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据等差数列的通项公式、求和公式把已知等式表示成首项 与公差 的等式， 解方程组求得首项与公差，从而得出数列 的通项公式；（ 2）有累加原理把 表示为，利用则可转化为 ， ，可用裂项相消法求出数列数列 的前 项和 试题：（ 1） ， ， ，解得 ， . 6分 （ 2）由 ，当 时，（ 也成立） . ， 9分 . 13分 考点：等差数列的性质，叠加原理，裂项相消法求和 . ）已知某音响设备由五个部件组成， A电视机， B影碟机， C线路， D左声道和 E右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，能听到
12、声音，当且仅当 A与 B中有一个工作， C工作， D与 E中有一个工作；且若 D和 E同时工作则有立体声效果 . （ 1）求能听到立体声效果的概率； （ 2）求听不到声音的概率 .（结果精确到 0.01） 答案：（ 1） 0.52；（ 2） 0.13. 试题 分析：（ 1）根据事件 A， B， C,D,E 的能否正常工作没有影响，即是相互独立事件，又事件 A发生的概率为 0.9，由对立事件的概率得出事件 A不发生的概率为 1-0.90，同理事件 B不发生的概率为 1-0.8，根据独立事件的概率公式可得出能听到立体声效果的概率；（ 2）事件 “听不到声音的 ”即为 “当 A、 B都不工作，或 C
13、不工作，或 D、 E都不工作时 ”，又有独立事件的概率公式得出结论 . 试题：（ 1）因为 A与 B中都不工作的概率为 ； 所以能听到立体声效果的概率为 . 6分 （ 2）当 A、 B都不工作，或 C不工作，或 D、 E都不工作时 ，就听不到音响设备的声音 . 其否定是： A、 B至少有 1个工作，且 C工作，且 D、 E中至少有一个工作 . 所以，听不到声音的概率为. 10分 答：（ 1） 能听到立体声效果的概率约为 0.52；（ 2）听不到声音的概率为 0.13. 12分 考点：互斥事件、对立事件、独立事件的概率 . 已知椭圆 ： （ ）的右焦点 ，右顶点 ,右准线且 （ 1）求椭圆 的标
14、准方程； （ 2）动直线 ： 与椭圆 有且只有一个交点 ，且与右准线相交于点 ，试探究在平面直角坐标系内是否存在点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）利用椭圆的右准线方程为 ， 及 联立方程组求得 、 ，从而得出椭圆的方程；（ 2）联立方程组消去 得到关于 的一元二次方程，利用判别式 ，得出 ，由椭圆的对称性知，妨设点 ，利用 推出 ，又联立程组可求得 的值 . 试题：（ 1）由题意， ， ， ， ，由 得. 椭圆 C的标准方程为 . 5分 （ 2）由 得： ， ，即 ， , ,即 . 8分 假设存在点
15、满足题意，则由椭圆的对称性知，点 应在 轴上，不妨设点. 又 ， ， ，若以 为直径的圆恒过定点 ， 则 + = 恒成立， 故 ， 即 . 12分 存在点 适合题意，点 与右焦点重合，其坐标为（ 1,0） . 13分 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的关系，向量的数量积 . 设 （ 1）若 ，求 最大值； （ 2）已知正数 ， 满足 .求证： ； （ 3）已知 ，正数 满足 .证明 : 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）先求函数的定义域，利用分式的求导法则求 ，令， 分别求函数的增区间与减区间，可求得函数的极大值，从而求得函数的最大值； （ 2）构造函数 ，利用导
16、数法证明 在在上递增，在 上递减 .由于函数 的极大值为 ，时， 由 ,得出 ， 从而证明结论 成立 . （ 3）由数学归纳法证明 .用数学归纳法证明的一般步骤是 (1)证明当 时命题成立； (2)假设当 且 时命题成立，证明当 时命题成立 . 由 (1)， (2)可知，命题对一切正整数 都成立 . 一般的与正整数 有关的等式、不等式可考虑用数学归纳法证明 . 试题：（ 1） ， 时， ，当 时， ， 即 在 上递增，在 递减 .故 时， 有 . 4分 （ 2）构造函数 ， 则 易证 在在 上递增，在 上递减 . 时，有 . ,即 ， 即证 . 8分 （ 3）利用数学归纳法证明如下： 当 时，命题显然成立； 假设当 时，命题成立，即当 时， . 则当 ，即当时， ， 又假设 ， 即 = . 这说明当 时，命题也成立 . 综上 知，当 ，正数 满足 . 14分 考点：导数法求函数的单调性、极值、最值，数学归纳法 .
