1、2014届江西省景德镇市高三第一次质检理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 =（ ） A 1 B -1 C I D -i 答案： D 试题分析： 选 D. 考点：复数的乘方运算 . 如图，已知正方体 上、下底面中心分别为 ，将正方体绕直线 旋转一周，其中由线段 旋转所得图形是（ ） 答案： D 试题分析：由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在 B， D中选，显然 B不对，因为 中点绕 旋转得到的圆比 B点和 点的小，故选D. 考点：旋转体 . 已知双曲线 ： ，若存在过右焦点 的直线与双曲线 相交于两点且 ，则双曲线离心率的最小值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为
2、过右焦点的直线与双曲线 相交于 两点且 ，故直线与双曲线相交只能如图所示的情况，即 A 点在双曲线的左支， B 点在右支，设 ，右焦点 ，因为 ，所以，由图可知， ，所以故 ，即 ，即 ，选 C. 考点：平面向量的坐标运算、双曲线性质、双曲线离心率、不等式的性质 . 甲、乙两名棋手比赛正在进行中，甲必须再胜 2盘才最后获胜，乙必须再胜 3盘才最后获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率都是 ，则甲最后获胜的概率是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：甲乙再打 2局甲胜的概率 ；甲乙再打 3局甲胜的概率；甲乙再打 4局甲胜的概率 ，所以甲最后获胜的概率为 ，选 B. 考点：排列组合在概率中的应用
3、 . 设 ,若 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以，选 B. 考点：微积分基本定理、定积分的求法 . 已知等比数列 公比为 ，其前 项和为 ，若 、 、 成等差数列，则 等于（ ） A B 1 C 或 1D 答案： A 试题分析：因为 、 、 成等差数列，所以 ，显然 ，由等比数列的前 项和公式有 ，化简得，又 ，所以 或 （舍），故 ，选 A. 考点：等差中项、等比数列前 项和公式、一元二次方程的解法 . 若 的展开式中 项的系数为 280，则 =（ ） A B CD 答案： C 试题分析：因为 项的系数为 ，所以 ，选 C. 考点：二项式定理 . 一个几
4、何体的三视图如下图所示，其中俯视图与左视图均为半径是 的圆，则这个几何体的体积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由三视图可知该几何体为一球割去四分之一，故体积,选 A. 考点：空间几何体的三视图、球体的体积公式 . 若函数 ，则 是（ ） A最小正周期为 的偶函数 B最小正周期为 的奇函数 C最小正周期为 2 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数答案： D 试题分析：因为，所以最小正周期 ，且为奇函数，选 D. 考点：二倍角公式、三角函数的性质 . 函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：当 时， ，所以 的定义域为 ，选A. 考点：函数的定
5、义域、不等式的性质 . 填空题 若关于实数 的不等式 的解集是空集 ,则实数 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：使关于实数 的不等式 的解集是空集，则， 由绝对值的几何意义可知 ，故 ，解得. 考点：极坐标系、绝对值不等式 . 在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离为 答案： 试题分析：令 ，将 代入得， ，故圆在直角坐标系下的方程为 ，将 利用两角和的正弦公式展开得，直线在直角坐标系下的方程 ，故圆心到直线的距离. 考点：极坐标系 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，第一阶段，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的，下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第
6、四个也拧它对角线上螺丝，第五个和第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死 ;第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的 2个螺丝。则不同的固定方式有 _ 答案： 试题分析：第一阶段：先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的， 种方法，再随意拧第三个螺丝，和其对角线上的， 种方法，然后随意拧第五个螺丝，和其对角线上的， 种方法；第二阶段：先随意 拧一个螺丝， 种方法，完成上述过程分步进行，再随意拧不相邻的，若拧的是对角线上的，则还有 4种拧法，若拧的是不相邻斜对角上的，则还有 6种拧法 .完成上述过程分类进行，所以总共的固定方式有 . 考点：排列组合 . 记不等式 所表示的平面区域为 D，直线 与 D
7、有公共点，则 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：画出可行域如图，因为直线 过定点 ，过 点且和 相切的直线与 的交点坐标为 ，则满足或 （舍），故 A点坐标为 ，所以， ,要使直线与 有公共点则 ,即，故 的取值范围是 . 考点：不等式组表示的平面区域、导数的几何意义、直线斜率的计算 . 执行如图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为 答案： 试题分析：当 时，令 ，当 时，令，当 时， ，当 时， ，由此可见 的取值在以 3为周期循环，由程序框图知，当 时，当 时， ，当 时，输出 . 考点：程序框图、周期数列 . 设 ， ，若 ，则实数 _ 答案： 试题分析：因为 ，又 ，所以，答案
8、：， . 考点：平面向量坐标运算、平面向量数量积 . 解答题 已知函数 的最大值为 2. （ 1）求 的值及 的最小正周期； （ 2）在坐标纸上做出 在 上的图像 答案： (1) , ;(2)见 . 试题分析： (1)利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简函数，将其化为一角一函数形式，然后根据最大值为 2求解即可；（ 2）当 时，令 得， ，列表画出图象 . 试题：（ 1） 最大值为 2 （ 2）列表 画图如下： 考点：两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数图象 . 如图，从 到 有 6条网线，数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从中任取 3条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条
9、网线通过的最大信息之和为 . （ 1）当 时，线路信息畅通，求线路信息畅通的概率； （ 2）求 的分布列和数学期望 答案：（ 1） ；（ 2）见 . 试题分析：（ 1）三条网线共有 20种选择，其中 的有 5种 ;（ 2）根据离散型随机变量的概率求法计算并列分布列即可 . 试题：（ 1）三条网线共有 20种选择，其中 的有 5种 （ 2） 10 11 12 13 14 15 分布列： . 考点：离散型随机变量的分布列和数学期望、古典概型概率的计算 . 已知数列 各项为非负实数，前 n项和为 ，且 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）当 时，求 . 答案：（ 1） ;（ 2）原式 . 试题分析
10、：（ 1）将给出的等式分解因式可得 ，然后利用数列中 和的关系求出 ，注意要验证当 时 是否满足，若满足通项写出一个式子，若不满足须写出分段函数的形式；（ 2）由（ 1）已经求出 ，带入所求式子后裂项求和即可 . 试题：（ 1） 又 数列 各项为非负实数 当 时 当 时 故 . （ 2）当 时 . 考点：利用 和 的关系求 、裂项求和法 . 如图，平面 平面 ， 是等腰直角三角形， ，四边形 是直角梯形， ， ， ，点 、分别为 、 的中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求直线 和平面 所成角的正弦值； （ 3）能否在 上找到一点 ，使得 平面 ？若能，请指出点 的位置，并加以证明；若
11、不能，请说明理由 . 答案：（ 1）见；（ 2） ；（ 3）见 . 试题分析：（ 1）先建立空间直角坐标系，利用法向量证明 OD/平面 ABC，说明 和平面 ABC的法向量 垂直即可；（ 2）设直线 CD与平面ODM 所成角为 ，求出平面 ODM 法向量 ，则 ；（ 3）设 EM上一点 N满足， 平面 ABDE法向量 ， 不存在 使 不存在满足题意的点 N. 试题：以 B为原点， BC为 x轴， BA为 y轴， BD为 z轴，建立空间直角坐标系 ， ， ， ， ， （ 1）平面 ABC的法向量 ， ， OD/平面 ABC （ 2）设平面 ODM法向量为 ，直线 CD与平面 ODM所成角为 ，
12、， ， . （ 3）设 EM上一点 N满足， 平面 ABDE法向量 ， 不存在 使 不存在满足题意的点 N. (传统方法参照给分 ) 考点：空间向量的运算、空间向量解决立体几何中的证明和计算 . 已知椭圆 C的中心在原点，焦点 F在 轴上，离心率 ，点在椭圆 C上 . （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）若斜率为 的直线 交椭圆 与 、 两点，且 、 、 成等差数列，点 M（ 1,1），求 的最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1)设出椭圆标准方程 ，根据已知条件解出 即可；（ 2）由题意可知，直线 的斜率存在且不为 ，故可设直线 的方程为， A,B点坐标为 ,联立直线
13、和椭圆方程，利用韦达定理得 ，然后利用直线 的斜率依次成等差数列得出，又 ，所以 ，即 ，然后求出弦长，计算三角形面积，求其最大值 . 试题： 1)设椭圆方程为 ，由题意知 ， ， 联立 解得， ，所以椭圆方程为 (4分 ) 2)由题意可知，直线 的斜率存在且不为 ，故可设直线 的方程为 满足 ， 消去 得 ， 且 ， 因为直线 的斜率依次成等差数列， 所以， ，即 ， 又 ，所以 ， 即 (9分 ) 联立 易得弦 AB的长为 又点 M到 的距离 所以 平方再化简求导易得 时 S取最大值 (13分 ) 考点：椭圆标准方程、椭圆的离心率、直线方程、等差数列、点到直线的距离公式 . 设 ， （ 1
14、）若 的图像关于 对称，且 ，求 的式； （ 2）对于（ 1）中的 ，讨论 与 的图像的交点个数 . 答案： (1) ；（ 2）见 . 试题分析： (1)因为函数图象关于 对称，故 为二次函数且对称轴为 ，又 ，代入可求得函数式；（ 2）将问题转化为有几个解的问题，令，利用导数讨论其增减区间，当 时，与 的图像无交点；当 时， 与 的图像有一个交点；当 时， 与 的图像有两个交点 . 试题：（ 1） 的图像关于 对称 为二次函数且对称轴为 又 （ 2） 即 即 令 当 时 即 在 递增 当 时 即 在 递减， 当 时 当 时 当 时， 与 的图像无交点； 当 时， 与 的图像有一个交点； 当 时， 与 的图像有两个交点 . 考点：利用导数研究函数的单调区间、函数与方程思想、函数式的求法 .
