1、2014届广东省广州市海珠区高三上学期综合测试二理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 .若复数 是纯虚数（ 是虚数单位， 是实数），则 （ ） A. B. C. D 答案： B 试题分析： 是纯虚数，则有 ，解得，故选 B. 考点： 1.复数的乘法运算； 2.复数的概念 若 、 是方程 ， 的解，函数，则关于 的方程 的解的个数是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意知， 、 是方程 ， 的实数根，作出函数 ， 与函数 的图象如下图所示，则函数与函数 交于点 ，函数 与函数交于点 ，由于函数 与函数 关于直线对称，且直线 与 垂直，且交于点 ，故点 、 也关于直线 对称，且其中点
2、为点 ，因此 ，当 时，解方程 ，即 ， 解得 或 ；当 时， ，解方程 ，故关于的方程 的实根个数为 ，故选 C. 考点： 1.函数的零点； 2.函数的图象； 3.分段函数 已知 、 满足 ，且 的最大值是最小值的 倍，则 的值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：作出不等式组 所表示的可行域如下图所示，联立 得点 ， 联立 得点 ，作直线 ，则 为直线 在 轴上的截距，当直线 经过可行域上的点 时，此时直线 在 轴上的截距最小，此时 取最小值，即 ；当直线 经过可行域上的点 时，此时直线 在轴上的截距最大，此时 取最大值，即 ，由题意知， ，即 ，解得 ，故选 B. 考点：线性规
3、划 某校 名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由频率分布直方图知，故此次数学成绩的平均分为 ，故选 C. 考点： 1.频率分布直方图； 2.平均数 “ ”是 “直线 与直线 互相垂直 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：若直线 与直线 互相垂直，则，即 ，即 ，解得或 ，故 “ ”是 “直线 与直线 互相垂直 ”的充分不必要条件，故选 A. 考点： 1.两直线的位置关系； 2.充分必要条件 在 中，已知 是 边上的一点，若 ， ，
4、则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，即 ，解得 ，故选 A. 考点：平面向量的线性表示 阅读如图程序框图，若输入的 ，则输出的结果是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ， 不成立，执行第一次循环， ，； 不成立，执行第二次循环， ， ； 不成立，执行第三次循环， ， ； ； 不成立，执行第一百次循环， ，； 成立，输出 ，故选 A. 考点： 1.数列求和； 2.算法与程序框图 在各项都为正数的等比数列 中， ，前三项的和为 ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设等比数列 的公比为 ，则 ，由于 ，化简得 ，解得 ，故选 C. 考点：等比数列的性质
5、 填空题 如图，平行四边形 中， ， 的面积为 ，则平行四边形 的面积为 . 答案： . 试题分析：由于四边形 为平行四边形， ，且 ， ， ，同理 ， ， ，故 ，因此四边形 的面积 . 考点：相似三角形 在极坐标中，圆 的圆心 到直线 的距离为 . 答案： . 试题分析：圆 的直角坐标方程为 ，化为标准式得，圆心 坐标为 ，直线 的直角坐标方程为 ，即 ，故圆心 到直线 的距离. 考点： 1.极坐标方程与直角坐标方程的互化； 2.点到直线的距离 给出下列四个命题： 函数 有最小值是 ； 函数 的图象关于点 对称； 若 “ 且 ”为假命题，则 、 为假命题； 已知定义在 上的可导函数 满足：
6、对 ，都有成立， 若当 时， ，则当 时， . 其中正确命题的序号是 . 答案： . 试题分析：对于命题 ， ， ，当且仅当，即当 时，上式取等号，即函数 有最小值，故命题 正确；对于命题 ，由于 ，故函数的图象关于点 对称，故命题 正确；对于命题 ，若 “ 且 ”为假命题，则 、 中至少有一个是假命题，故命题 错误；对于命题 ，由于函数 是奇函数，当 时， ，即函数 在区间上单调递增，由奇函数的性质知，函数 在 上也是单调递增的，即当 时，仍有 ，故命题 正确，综上所述，正确命题的序号是 . 考点： 1.基本不等式； 2.三角函数的对称性； 3.复合命题； 4.函数的奇偶性与单调性 在市数学
7、竞赛中， 、 、 三间学校分别有 名、 名、 名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有 种 . 答案： . 试题分析：利用捆绑法，先将各学校的学生捆绑在一起，然后再将各学校的学生的整体进行排序，但是需要考虑各学生之间的顺序，故共有 种排法 . 考点： 1.捆绑法； 2.排列组合 在 中，已知 、 、 分别为 、 、 所对的边， 为的面积，若向量 ， 满足 ，则 . 答案： . 试题分析： ， ，且有 ，故有 ， 而 ，故有 ， ， 由于 ， . 考点： 1.平面向量共线； 2.三角形的面积公式； 3.余弦定理； 4.同角三角函数的商数关系 已知双曲线 的
8、离心率是 ，则 的值是 . 答案： . 试题分析：由题意知，双曲线的离心率 ，解得 . 考点：双曲线的离心率 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 . 答案： . 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且底面是一个等腰直角三角形，腰长为 ，其面积为 ，三棱锥的高为 ，故该三棱锥的体积为 . 考点： 1.三视图； 2.三棱锥的体积 解答题 设向量 ， ， . （ 1）若 ，求 的值； （ 2）设函数 ，求 的最大、最小值 . 答案：（ 1） ；（ 2）函数 的最小值为 ，最大值为 . 试题分析：（ 1）先由平面向量模的计算公式由条件 得出 的值，结合角 的取值范围求出 的值；
9、（ 2）先由平面向量数量积的坐标运算求出函数的式，并将函数 的式化简为 ，先由得出 的取值范围，再利用余弦曲线确定函数 在区间上的最大值与最小值 . 试题：（ 1） ， ， ， ， ， ， ， ； （ 2） ， 当 时， ， ， 即函数 的最小值为 ，最大值为 . 考点： 1.平面向量模的计算； 2.平面向量的数量积； 3.二倍角公式； 4.辅助角公式； 5.三角函数的最值 在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于 分为优秀， 分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部 人中随机抽取人为优秀的概率为. 优秀 非优秀 合计 甲班
10、 乙班 合计 （ 1）请完成上面的列联表； （ 2）根据列联表的数据，能否有 的把握认为成绩与班级有关系？ （ 3）在甲、乙两个理科班优秀的学生中随机抽取两名学生，用 表示抽得甲班的学生人数，求 的分布列 . 答案：（ 1）详见；（ 2）按 的可靠性要求，能认为 “成绩与班级有关系 ”； （ 3）抽到 或 号的概率为 . 试题分析：（ 1）先根据题中条件确定乙班优秀的人数，然后根据甲乙两班的总人数将表中其它的数据补充上；（ 2）先提出假设 “成绩与班级无关 ”，根据表中数据求出 的值，然后利用临界值表确定犯错误的概率，进而确定是否有的把握认为成绩与班级有关系；（ 3）先确定随机变量 的可能取值
11、，然后根据超几何分布的方法求出随机变量 在相应的取值下的概率，并列出相应的分布列 . 试题：（ 1）列联表如下表所示： 优秀 非优秀 合计 甲班 乙班 合计 （ 2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据，得到 ， 因此按 的可靠性要求，能认为 “成绩与班级有关系 ”； （ 3）由（ 1）知，甲、乙两个理科班优秀的学生人数分别为 、 ， 依题意得， 的可能取值为 、 、 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 相关试题 2014届广东省广州市海珠区高三上学期综合测试二理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编：518000 2004-20
12、16 21世纪教育网 粤 ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 如图，已知矩形 中， ， ，将矩形沿对角线 把折起，使 移到 点，且 在平面 上的射影 恰好在 上 . （ 1）求证： ； （ 2）求证：平面 平面 ； （ 3）求二面角 的余弦值 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3）二面角 的余弦值 . 试题分析：（ 1）利用折叠后点 在平面 内的射影点在棱 上得到平面 ，从而得到 ，再结合 即可证明 平面 ，进而证明 ；（ 2）由（ 1）中的结论 平面 并结合平面与平面垂直的判定定理即可证明
13、平面 平面 ；（ 3）先作 ，连接，利用（ 1）中的结论 平面 得到 ，于是得到 平面，于是得到 为二面角 的平面角，然后在直角三角形中计算 ，进而确定二面角 的余弦值；另一种方法是利用空间向量法计算二面角 的余弦值 . 试题：（ 1） 在平面 上的射影 在 上， 平面 ， 又 平面 ， ， 又 ， ， 平面 ， 又 平面 ， ； （ 2） 四边形 是矩形， ， 由（ 1）知 ， ， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 ； （ 3） 平面 ， ，在 中，由 ， ，得 ， ， 过点 作 ，垂足为点 ，连接 ， 由 平面 ， 在数列 中， ， ， 对任意 成立，令 ，且 是等比数列 . （ 1）求
14、实数 的值； （ 2）求数列 的通项公式； （ 3）求证： . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）先利用题中的定义，利用数列 的前三项成等比数列求出的值，然后就 的值进行检验，即对数列 是否为等比数列进行检验；（ 2）根据等比数列 的通项 选择累加法求数列 的通项公式；（ 3）利用 ，将数列 从第三项开始放缩为一个等比数列，而前面两项的值保持不变，再利用数列求和即可证明相应的数列不等式 . 试题：（ 1） ， ， ， ， ， ， ， 数列 为等比数列， ，即 ，解得 或（舍）， 当 时， ，即 ， ，所以 满足条件； （ 2） ，数列 为等比数列， ， ， ，
15、， ， ，； （ 3） ， ， . 考点： 1.等比数列的定义； 2.累加法求数列的通项公式； 3.放缩法 已知椭圆 的离心率为 ，直线 与以原点为圆心、椭圆 的短半轴长为半径的圆 相切 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）如图， 、 、 是椭圆 的顶点， 是椭圆 上除顶点外的任意点，直线 交 轴于点 ，直线 交 于点 ，设 的斜率为 ， 的斜率为 ，求证： 为定值 . 答案：（ 1）椭圆 的方程为 ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先根据题中条件求出 、 、 ，进而可以求出椭圆 的方程；（ 2）先由直线 的方程 与椭圆的方程联立求出点 的坐标，然后由 、 、 三点共线，利用平面向量共线
16、进行等价转化，求出点 的坐标，于是得到直线 的斜率 ，最终证明 为定值 . 试题：（ 1）由直线 与圆 得 ， 由 ，得 ，所以 ， 所以椭圆 的方程为 ； （ 2）因为 ， 不为椭圆定点，即 的方程为， 将 代入 ，解得 ， 又直线 的方程为 ， 由 、 、 三点共线可得 ， 所以 的斜率为 ，则 （定值） . 考点： 1.椭圆的方程； 2.直线与椭圆的公共点的求解； 3.直线的斜率； 4.三点共线 设 ，函数 . （ 1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （ 2）若 无零点，求实数 的取值范围； （ 3）若 有两个相异零点 、 ，求证： . 答案：（ 1）切线方程为 ；（ 2）实数 的取
17、值范围是 ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）将 代入函数 的式，利用导函数的几何意义，结合直线的点斜式求出切线的方程；（ 2）先求出函数 的导数，对 的符号进行分类讨论，结合零点存在定理判断函数 在定义域上是否有零点，从而求出参数 的取值范围；另外一中方法是将问题等价转化为 “直线 与曲线无公共点 ”，结合导数研究函数 的基本性质，然后利用图象即可确定实数 的取值范围 ；（ 3）从所证的不等式出发，利用分析法最终将问题等价转换为证明不等式 在区间 上恒成立，并构造新函数，利用导数结合函数的单调性与最值来进行证明 . 试题：在区间 上， ， （ 1）当 时， ，则切线方程为 ，即； （ 2）
18、 当 时， 有唯一零点 ； 当 时，则 ， 是区间 上的增函数， ， ， ，即函数 在区间 有唯一零点； 当 时，令 得 ， 在区间 上， ，函数 是增函数， 在区间 上， ，函数 是减函数， 故在区间 上， 的极大值为 ， 由 ，即 ，解得 ，故所求实数 的取值范围是 ； 另解： 无零点 方程 在 上无实根 直线 与曲线无公共点， 令 ，则 ，令 ，解得 ，列表如下： 相关试题 2014届广东省广州市海珠区高三上学期综合测试二理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤 ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991
