1、2014届广东省广州市海珠区高三上学期综合测试二理科数学试卷与答案(带解析) 选择题 .若复数 是纯虚数( 是虚数单位, 是实数),则 ( ) A. B. C. D 答案: B 试题分析: 是纯虚数,则有 ,解得,故选 B. 考点: 1.复数的乘法运算; 2.复数的概念 若 、 是方程 , 的解,函数,则关于 的方程 的解的个数是( ) A B C D 答案: C 试题分析:由题意知, 、 是方程 , 的实数根,作出函数 , 与函数 的图象如下图所示,则函数与函数 交于点 ,函数 与函数交于点 ,由于函数 与函数 关于直线对称,且直线 与 垂直,且交于点 ,故点 、 也关于直线 对称,且其中点
2、为点 ,因此 ,当 时,解方程 ,即 , 解得 或 ;当 时, ,解方程 ,故关于的方程 的实根个数为 ,故选 C. 考点: 1.函数的零点; 2.函数的图象; 3.分段函数 已知 、 满足 ,且 的最大值是最小值的 倍,则 的值是( ) A B C D 答案: B 试题分析:作出不等式组 所表示的可行域如下图所示,联立 得点 , 联立 得点 ,作直线 ,则 为直线 在 轴上的截距,当直线 经过可行域上的点 时,此时直线 在 轴上的截距最小,此时 取最小值,即 ;当直线 经过可行域上的点 时,此时直线 在轴上的截距最大,此时 取最大值,即 ,由题意知, ,即 ,解得 ,故选 B. 考点:线性规
3、划 某校 名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,由图中数据估计此次数学成绩平均分为( ) A B C D 答案: C 试题分析:由频率分布直方图知,故此次数学成绩的平均分为 ,故选 C. 考点: 1.频率分布直方图; 2.平均数 “ ”是 “直线 与直线 互相垂直 ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案: A 试题分析:若直线 与直线 互相垂直,则,即 ,即 ,解得或 ,故 “ ”是 “直线 与直线 互相垂直 ”的充分不必要条件,故选 A. 考点: 1.两直线的位置关系; 2.充分必要条件 在 中,已知 是 边上的一点,若 , ,
4、则 ( ) A B C D 答案: A 试题分析: ,即 ,解得 ,故选 A. 考点:平面向量的线性表示 阅读如图程序框图,若输入的 ,则输出的结果是( ) A B C D 答案: A 试题分析: , , 不成立,执行第一次循环, ,; 不成立,执行第二次循环, , ; 不成立,执行第三次循环, , ; ; 不成立,执行第一百次循环, ,; 成立,输出 ,故选 A. 考点: 1.数列求和; 2.算法与程序框图 在各项都为正数的等比数列 中, ,前三项的和为 ,则( ) A B C D 答案: C 试题分析:设等比数列 的公比为 ,则 ,由于 ,化简得 ,解得 ,故选 C. 考点:等比数列的性质
5、 填空题 如图,平行四边形 中, , 的面积为 ,则平行四边形 的面积为 . 答案: . 试题分析:由于四边形 为平行四边形, ,且 , , ,同理 , , ,故 ,因此四边形 的面积 . 考点:相似三角形 在极坐标中,圆 的圆心 到直线 的距离为 . 答案: . 试题分析:圆 的直角坐标方程为 ,化为标准式得,圆心 坐标为 ,直线 的直角坐标方程为 ,即 ,故圆心 到直线 的距离. 考点: 1.极坐标方程与直角坐标方程的互化; 2.点到直线的距离 给出下列四个命题: 函数 有最小值是 ; 函数 的图象关于点 对称; 若 “ 且 ”为假命题,则 、 为假命题; 已知定义在 上的可导函数 满足:
6、对 ,都有成立, 若当 时, ,则当 时, . 其中正确命题的序号是 . 答案: . 试题分析:对于命题 , , ,当且仅当,即当 时,上式取等号,即函数 有最小值,故命题 正确;对于命题 ,由于 ,故函数的图象关于点 对称,故命题 正确;对于命题 ,若 “ 且 ”为假命题,则 、 中至少有一个是假命题,故命题 错误;对于命题 ,由于函数 是奇函数,当 时, ,即函数 在区间上单调递增,由奇函数的性质知,函数 在 上也是单调递增的,即当 时,仍有 ,故命题 正确,综上所述,正确命题的序号是 . 考点: 1.基本不等式; 2.三角函数的对称性; 3.复合命题; 4.函数的奇偶性与单调性 在市数学
7、竞赛中, 、 、 三间学校分别有 名、 名、 名同学获一等,将这六名同学排成一排合影,要求同学校的同学相邻,那么不同的排法共有 种 . 答案: . 试题分析:利用捆绑法,先将各学校的学生捆绑在一起,然后再将各学校的学生的整体进行排序,但是需要考虑各学生之间的顺序,故共有 种排法 . 考点: 1.捆绑法; 2.排列组合 在 中,已知 、 、 分别为 、 、 所对的边, 为的面积,若向量 , 满足 ,则 . 答案: . 试题分析: , ,且有 ,故有 , 而 ,故有 , , 由于 , . 考点: 1.平面向量共线; 2.三角形的面积公式; 3.余弦定理; 4.同角三角函数的商数关系 已知双曲线 的
8、离心率是 ,则 的值是 . 答案: . 试题分析:由题意知,双曲线的离心率 ,解得 . 考点:双曲线的离心率 如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为 . 答案: . 试题分析:由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,且底面是一个等腰直角三角形,腰长为 ,其面积为 ,三棱锥的高为 ,故该三棱锥的体积为 . 考点: 1.三视图; 2.三棱锥的体积 解答题 设向量 , , . ( 1)若 ,求 的值; ( 2)设函数 ,求 的最大、最小值 . 答案:( 1) ;( 2)函数 的最小值为 ,最大值为 . 试题分析:( 1)先由平面向量模的计算公式由条件 得出 的值,结合角 的取值范围求出 的值;
9、( 2)先由平面向量数量积的坐标运算求出函数的式,并将函数 的式化简为 ,先由得出 的取值范围,再利用余弦曲线确定函数 在区间上的最大值与最小值 . 试题:( 1) , , , , , , , ; ( 2) , 当 时, , , 即函数 的最小值为 ,最大值为 . 考点: 1.平面向量模的计算; 2.平面向量的数量积; 3.二倍角公式; 4.辅助角公式; 5.三角函数的最值 在一次联考后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 分为优秀, 分以下为非优秀,统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部 人中随机抽取人为优秀的概率为. 优秀 非优秀 合计 甲班
10、 乙班 合计 ( 1)请完成上面的列联表; ( 2)根据列联表的数据,能否有 的把握认为成绩与班级有关系? ( 3)在甲、乙两个理科班优秀的学生中随机抽取两名学生,用 表示抽得甲班的学生人数,求 的分布列 . 答案:( 1)详见;( 2)按 的可靠性要求,能认为 “成绩与班级有关系 ”; ( 3)抽到 或 号的概率为 . 试题分析:( 1)先根据题中条件确定乙班优秀的人数,然后根据甲乙两班的总人数将表中其它的数据补充上;( 2)先提出假设 “成绩与班级无关 ”,根据表中数据求出 的值,然后利用临界值表确定犯错误的概率,进而确定是否有的把握认为成绩与班级有关系;( 3)先确定随机变量 的可能取值
11、,然后根据超几何分布的方法求出随机变量 在相应的取值下的概率,并列出相应的分布列 . 试题:( 1)列联表如下表所示: 优秀 非优秀 合计 甲班 乙班 合计 ( 2)假设成绩与班级无关,根据列联表中的数据,得到 , 因此按 的可靠性要求,能认为 “成绩与班级有关系 ”; ( 3)由( 1)知,甲、乙两个理科班优秀的学生人数分别为 、 , 依题意得, 的可能取值为 、 、 , , , , 所以 的分布列为: 相关试题 2014届广东省广州市海珠区高三上学期综合测试二理科数学试卷(带) 免责声明 联系我们 地址:深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编:518000 2004-20
12、16 21世纪教育网 粤 ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 如图,已知矩形 中, , ,将矩形沿对角线 把折起,使 移到 点,且 在平面 上的射影 恰好在 上 . ( 1)求证: ; ( 2)求证:平面 平面 ; ( 3)求二面角 的余弦值 . 答案:( 1)详见;( 2)详见;( 3)二面角 的余弦值 . 试题分析:( 1)利用折叠后点 在平面 内的射影点在棱 上得到平面 ,从而得到 ,再结合 即可证明 平面 ,进而证明 ;( 2)由( 1)中的结论 平面 并结合平面与平面垂直的判定定理即可证明
13、平面 平面 ;( 3)先作 ,连接,利用( 1)中的结论 平面 得到 ,于是得到 平面,于是得到 为二面角 的平面角,然后在直角三角形中计算 ,进而确定二面角 的余弦值;另一种方法是利用空间向量法计算二面角 的余弦值 . 试题:( 1) 在平面 上的射影 在 上, 平面 , 又 平面 , , 又 , , 平面 , 又 平面 , ; ( 2) 四边形 是矩形, , 由( 1)知 , , 平面 , 又 平面 , 平面 平面 ; ( 3) 平面 , ,在 中,由 , ,得 , , 过点 作 ,垂足为点 ,连接 , 由 平面 , 在数列 中, , , 对任意 成立,令 ,且 是等比数列 . ( 1)求
14、实数 的值; ( 2)求数列 的通项公式; ( 3)求证: . 答案:( 1) ;( 2) ;( 3)详见 . 试题分析:( 1)先利用题中的定义,利用数列 的前三项成等比数列求出的值,然后就 的值进行检验,即对数列 是否为等比数列进行检验;( 2)根据等比数列 的通项 选择累加法求数列 的通项公式;( 3)利用 ,将数列 从第三项开始放缩为一个等比数列,而前面两项的值保持不变,再利用数列求和即可证明相应的数列不等式 . 试题:( 1) , , , , , , , 数列 为等比数列, ,即 ,解得 或(舍), 当 时, ,即 , ,所以 满足条件; ( 2) ,数列 为等比数列, , , ,
15、, , ,; ( 3) , , . 考点: 1.等比数列的定义; 2.累加法求数列的通项公式; 3.放缩法 已知椭圆 的离心率为 ,直线 与以原点为圆心、椭圆 的短半轴长为半径的圆 相切 . ( 1)求椭圆 的方程; ( 2)如图, 、 、 是椭圆 的顶点, 是椭圆 上除顶点外的任意点,直线 交 轴于点 ,直线 交 于点 ,设 的斜率为 , 的斜率为 ,求证: 为定值 . 答案:( 1)椭圆 的方程为 ;( 2)详见 . 试题分析:( 1)先根据题中条件求出 、 、 ,进而可以求出椭圆 的方程;( 2)先由直线 的方程 与椭圆的方程联立求出点 的坐标,然后由 、 、 三点共线,利用平面向量共线
16、进行等价转化,求出点 的坐标,于是得到直线 的斜率 ,最终证明 为定值 . 试题:( 1)由直线 与圆 得 , 由 ,得 ,所以 , 所以椭圆 的方程为 ; ( 2)因为 , 不为椭圆定点,即 的方程为, 将 代入 ,解得 , 又直线 的方程为 , 由 、 、 三点共线可得 , 所以 的斜率为 ,则 (定值) . 考点: 1.椭圆的方程; 2.直线与椭圆的公共点的求解; 3.直线的斜率; 4.三点共线 设 ,函数 . ( 1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程; ( 2)若 无零点,求实数 的取值范围; ( 3)若 有两个相异零点 、 ,求证: . 答案:( 1)切线方程为 ;( 2)实数 的取
17、值范围是 ;( 3)详见 . 试题分析:( 1)将 代入函数 的式,利用导函数的几何意义,结合直线的点斜式求出切线的方程;( 2)先求出函数 的导数,对 的符号进行分类讨论,结合零点存在定理判断函数 在定义域上是否有零点,从而求出参数 的取值范围;另外一中方法是将问题等价转化为 “直线 与曲线无公共点 ”,结合导数研究函数 的基本性质,然后利用图象即可确定实数 的取值范围 ;( 3)从所证的不等式出发,利用分析法最终将问题等价转换为证明不等式 在区间 上恒成立,并构造新函数,利用导数结合函数的单调性与最值来进行证明 . 试题:在区间 上, , ( 1)当 时, ,则切线方程为 ,即; ( 2)
18、 当 时, 有唯一零点 ; 当 时,则 , 是区间 上的增函数, , , ,即函数 在区间 有唯一零点; 当 时,令 得 , 在区间 上, ,函数 是增函数, 在区间 上, ,函数 是减函数, 故在区间 上, 的极大值为 , 由 ,即 ,解得 ,故所求实数 的取值范围是 ; 另解: 无零点 方程 在 上无实根 直线 与曲线无公共点, 令 ,则 ,令 ,解得 ,列表如下: 相关试题 2014届广东省广州市海珠区高三上学期综合测试二理科数学试卷(带) 免责声明 联系我们 地址:深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编:518000 2004-2016 21世纪教育网 粤 ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991