1、2014届安徽省 “皖西七校 ”高三年级联合考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 （ 是虚数单位）在复平面内的对应点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： C 试卷分析： ，在复平面内的坐标为，故选 C. 考点：复数的运算 . 设函数 ，若对任意给定的 ，都存在唯一的 ，满足 ，则正实数 的最小值是（ ） A B C 2 D 4 答案： A 试卷分析：首先写出 f(f(x)表达式，当 时， ；当时， ；当 时， ，考虑到题目说的要求 x的唯一性，即当取某个 y值时， f(f(x)的值只能落在三段区间的一段，而不能落在其中的两段或者三段内。因此我们要先求出
2、f(f(x)在每段区间的值域。当时， ；当 时， ；当 时 , .从中可发现，上面两段区间的值包含在最后一段区间内，换一句话就是说假如 f(f(x)取在小于等于 1的范围内的任何一个值，则必有两个 x与之对应。因此，考虑到 x的唯一性，则只有使得 f(f(x)1,因此题目转化为当 y2时，恒有。因此令 ,题目转化为 y2时，恒有 g(y)0,又g(y)=(2ay-1)（ ay+1），为了要使其大于 0，则 或 ，考虑到题目要求a的正实数，则 ay-1不考虑。因此 ，在 y大于 2的情况下恒成立。因此 ，所以 a的最小正实数为 (因为 y本身取不到2，因此 a可以取 ） . 考点： 1.指数与对
3、数的运算； 2.不等式恒成立问题； 3.函数的值域 . 在平面直角坐标系中，定点 ，两动点 在双曲线 的右支上，则 的最小值是（ ） A B C D 答案： D 试卷分析：双曲线 右顶点为 ( ,0)过 M(1,0)向双曲线引切线，两条切线所夹的角为符合题意的 AMB最大角 ,切点分别为 A,B设切线的斜率为 k,切线方程为 y=k(x-1)代入 ，得 ，整理： ，设 AMB=2,则 AMX=，tan= =|k| tan2= sin2= ,cos2= 当 AMB最大时 ,它的余弦值为. 考点：双曲线的性质应用 . 设定义在 上的函数 是最小正周期为 的偶函数， 是 的导函数，当 时； ；当 且
4、 时， ，则函数在区间 上的零点个数为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 答案： D 试卷分析：由当 且 时， ，知 时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数； 又 时， 0 f(x) 1，在 R上的函数 f(x)是最小正周期为 2的偶函数，在同一坐标系中作出 和 草图像，由图知 y=f(x)-sinx在 -2， 2 上的零点个数为 8个 . 考点：本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题 . 已知 是两个不同的平面，下列四个条件中能推出 的是（ ） 存在一条直线 ； 存在一个平面 ； 存在两条平行直线 ； 存在两条异面直线 . A B C D 答案： C 试卷分析：垂直于同
5、一直线的两个平面平行，故当 a ， a 时， a ； 若 ， ， a与 可能平行，也可能相交，此时 ， 的交线与 垂直； 若 a ， b ， a ， b a，则 a与 可能平行，也可能相交，此时 a， b均与交线平行； 对于 ，存在两条异面直线 可将 内的直线平移到 内的直线 c，则有相交直线 b、 c都与平面 平行，根据面面平行的判定定理，可得 正确故选 C 考点：空间中直线与平面之间的位置关系 . 已知数列 是等差数列， ，设 为数列 的前项和，则 （ ） A 2014 B C 3021 D 答案： C 试卷分析： ，则公差 ，所以方法一： 方法二：（错位相减） 由于 ，则 式两边分别乘以
6、（ -1），得 式 - 得 . 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.错位相减法求前 n项和的求法 . 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试卷分析：由 ，所以 ，所以 . 考点： 1.集合的运算； 2.解不等式 . 一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位 : ），则该几何体的体积为（ ） A B C D 答案： C 试卷分析：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱， 底面是直角梯形，边长分别为： 3， 2， 1， ； 高为： 1，上部是正方体；由三视图可知该几何体是由三个棱长为 1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为 3.5个小正方体体积，所以几
7、何体的体积为： ，故选 C 考点：由三视图求体积 . 若 ，且 与 的夹角为 ，当 取得最小值时，实数 的值为（ ） A 2 B C 1 D 答案： C 试卷分析： ，因此当 时， 最小，所以当 时， 最小 ，故选 C. 考点： 1.向量的模、数量积； 2.二次函数的最值 . 命题 “若 ，则一元二次方程 有实根 ”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A 0 B 2 C 4 D不确定 答案： B 试卷分析：原命题为： “若 a 0，则方程 +x+a=0有实根 ”，因为方程的判别式为 =1-4a， a 0时， 0， 方程 +x+a=0有实根，故命题为真； 逆否命题为： “
8、若方程 +x+a=0没有实根，则 m0”，根据原命题与逆否命题，真假一致，可知命题为真；逆命题为： “若方程 +x+a=0有实根，则 m 0”，因为方程有实根，所以判别式 =1-4m0， m ，显然 m 0不一定成立，故命题为假； 否命题为： “若 m0，则方程 +x+a=0没有实根 ”，根据否命 题与逆命题，真假一致，可知命题为假；故正确的命题有 2个； 故答案：为： B. 考点：四种命题的真假关系 . 填空题 方程 的曲线即为函数 的图象，对于函数，下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号） 函数 在 上是单调递减函数； 函数 的值域是 ； 函数 的图象不经过第一象限； 函数 的图
9、象关于直线 对称； 函数 至少存在一个零点 . 答案： 试卷分析：对于 ，当 x0且 y0时，方程为 ，此时方程不成立 当 x 0且 y 0时，方程为 ，此时 当 x0且 y 0时，方程为 ，此时 当 x 0且 y0时，方程为 ，此时 因此作出函数的大致图象，如下图所示 由图象可知函数在 R上单调递减，所以 成立 对于 ，根据 所作的图象可知函数的值域为 R，所以 正确 对于 ，根据 所作的图象可知函数 的图象不经过第一象限，所以 正确； 对于 ，根据 所作的图象可知函数 的图象不关于直线 对称；所以 错误； 对于 由 得 因为双曲线 和的渐近线为 ，所以函数 与直线 至多有一个公共点，因此函
10、数 至多存在一个零点，可得 错误 考点： 1.函数的性质及应用； 2.圆锥曲线的定义、性质与方程； 3.命题的真假判断与应用 . 在三棱锥 中， ， ， ，则 与平面 所成角的余弦值为 . 答案： 试卷分析：因为 PA=PB=PC，则它们在平面 ABC的射影相等， P在 ABC平面射影应在三角形 ABC的外心，由 ，可知外接圆半径为 6，设外心为 D，则 PD 底面 ABC，所以 为 与平面 所成角，所以 . 考点： 1.线面成角的概念； 2.解三角形 . 已知 ，且 ，则 的最小值是 . 答案： 试卷分析：， 又 ， ，（当且仅当 且时取等号），即 的最小值为 . 考点：基本不等式的应用 .
11、 已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则不等式组所表示的平面区域的面积是 . 答案： 试卷分析：由于函数 （ 且 ），则其图象恒过定点 ，即 ，则不等式组为 ，做出可行区域 ,如下图中的四边形ABOC， 由图像可以看出四边形 ABOC落在以边长为 0.5和 4的矩形内，由图可知四边形 ABOC的面积为 . 考点： 1.指数函数的性质应用； 2.线性规划的应用 . 已知 ，则 . 答案： 试卷分析： . 考点：正弦函数的诱导公式 . 解答题 已知函数 ，其中 . （ ）若 ，求函数 的极值点； （ ）若 在区间 内单调递增，求实数 的取值范围 . 答案：（ ）极小值点 ，无极大值点 ;（ ）
12、; 试题分析：（ ）将 代入函数 中得 ，对求导并令导数等于零求出 或 ，由于 定义域为 ，舍去，再列表判断 左右两端的单调性，确定其实极小值点；（ ）若在区间 内单调递增 在 上恒成立；即，所以 对 恒成立恒成立，令 ，利用 在 单调性，求出 ，即可求出 的取值范围 . 试题：（ ）当 时， 或 （舍去） 3 分 1 0 单调减 极小值 单调增 所以 有极小值点 ，无极大值点 6分 （ ） ，所以 对恒成立 9分 又 在 上单调递减，所以 ，即 . 12分 . 考点： 1.函数求导； 2导函数性质的应用； 3分离参数发在不等式中的应用 . 已知函数 的部分图象如图所示，其中点为最高点，点为图
13、象与轴的交点，在 中，角 对边为 ，且满足 . （ ）求 的面积； （ ）求函数 的单调递增区间 . 答案：（ ） ;（ ） ; 试题分析：（ ）由 ，根据正弦定理得,得 得 ，则 中， 边上的高 ，故 ；（ ）对化简得又 长度为半个周期长，根据，则 得 ，故 ，根据正弦函数的单调性得 ，化简求出函数 的单调递增区间为 . 试题：（ ）由 ，得 3分 在 中， 边上的高 ，故 6分 （ ） ， 又 ，则 ，故 9分 又 ，可得 所以函数 的单调递增区间为 . 12分 . 考点： 1.正弦定理应用； 2.解三角形； 3. 函数 的应用 . 如图 1，已知 的直径 ，点 、 为 上两点，且 ， 为
14、弧 的中点将 沿直径 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图 2） （ ）求证： ； （ ）在弧 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，试指出点 的位置；若不存在，请说明理由； （ ）求二面角 的正弦值 . 答案：（ ）详见 ;（ ）在弧 上存在点 ，使得 平面 ，且点为弧 的中点；（ ） ; 试题分析：（ 1）以 O为坐标原点，以 AB所在直线为 y轴，以 OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出向量 与 的坐标，利用向量共线的坐标表示求证 OF AC，从而说明线面平行；（ 2）假设在弧 上存在点 G，使得FG 平面 ACD，根据（ 1）中的结论，利用两面平行的判定定理得到平面OFG 平面
15、 ACD，从而得到 OG AD，利用共线向量基本定理得到 G的坐标（含有参数），然后由向量 的模等于圆的半径求出 G点坐标；（ 3）根据， DAB=60求出 D点坐标，然后求出平面 ACD的一个法向量，找出平面 ADB的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角 C-AD-B的余弦值 试题：（法一）：证明：（ ）连接 ， ， ， 又 为弧 的中点， ， （ ）取弧 的中点 ，连接 ， 则 ，故 由（ ） ，知 平面 ，故平面 平面 ， 则 平面 ，因此，在弧 上存在点 ，使得 平面 ，且点为弧 的中点 （ ）过 作 于 ，连 因为 ，平面 平面 ，故 平面 又因为 平面 ，故 ，所以
16、 平面 ， ， 则 是二面角 的平面角，又 ， ，故 由 平面 ， 平面 ，得 为直角三角形， 又 ，故 ，可得 = = ，故二面角 的正弦值为 . （法二）：证明：（ ）如图，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为轴，以 为原点，作空间直角坐标系 ，则 ， ， 点 为弧 的中点， 相关试题 2014届安徽省 “皖西七校 ”高三年级联合考试理科数学试卷（带） 学校操场边有一条小沟 ,沟沿是两条长 150米的平行线段 ,沟宽 为 2米 ,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为 ，对称轴与地面垂直，沟深 2米，沟中水深 1米 （ ）求水面宽； （ ）如图 1所示形状的几何体称为柱
17、体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？ （ ）现在学校要把这条水沟改挖 (不准填土 )成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图 2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？ 答案：（ ） ;（ ） ；（ ） ; 试题分析：（ ）建立适当直角坐标系，设抛物线方程为 ，由抛物线过点 ，可得 ，可求出抛物线方程为 ，当时， ，由求出水面宽为 （米）； （ ）利用定积分求出曲面的面积，再利用柱体的体积公式求出体积； （ ）易知为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切，设切点是抛物线弧 上的一点，过 作抛物线的切线得到如上图所示的直
18、角梯形 ，则切线 的方程为： ，于是，记梯形 的面积为 ，则，利用基本不等式求出 当且仅当 ，时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为 米时，所挖的土最少 . 试题：（ ）如图建立直角坐 标系， 设抛物线方程为 则由抛物线过点 ，可得 于是抛物线方程为 当 时， ，由此知水面宽为 （米） （ ） （立方米） （ ）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切 设切点 是抛物线弧 上的一点，过 作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形 ，则切线 的方程为： ，于是 记梯形 的面积为 ，则 ， 当且仅当 ， 时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为 米时，所挖的土最少 . 考点： 1.抛物线的标准方程； 2
19、.定积分的应用； 3.基本不等式在求函数的最值中的应用 . 在平面直角坐标系中 ,已知点 和 ,圆 是以 为圆心 ,半径为的圆 ,点 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线 和半径 所在的直线交于点 . （ ）当点 在圆上运动时，求点 的轨迹方程 ； （ ）已知 ， 是曲线 上的两点，若曲线 上存在点 ，满足（ 为坐标原点），求实数 的取值范围 . 答案：（ ） ;（ ） ; 试题分析：（ ）根据提议可知，点 在线段 的垂直平分线上，则，又 ，则 ，设 ，可得点 的轨迹方程 为 . （ ）设经过点 的直线为 ，由题意可知 的斜率存在，设直线 的方程为，将其代入椭圆方程整理可得 ，设，则 ，故；对
20、 进行讨论（ 1）当 时，点 关于原点对称，则 ；（ 2）当 时，点 不关于原点对称，则 由 ，得 ，故 则，因为 在椭圆上，故化简，得 ，又 ，故得 又 ，得 联立 两式及 ，得 ，故 且 综上得实数 的取值范围是 . 试题：（ ）点 在线段 的垂直平分线上，则 ，又， 则 ，故可得点 的轨迹方程 为 . （ ）令经过点 的直线为 ，则 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 将其代入椭圆方程整理可得 设 ，则 ，故（ 1）当 时，点 关于原点对称，则 （ 2）当 时，点 不关于原点对称，则 由 ，得 ，故 则 ，因为 在椭圆上，故化简，得 ，又 ，故得 又 ，得 联立 两式及 已知数列 的前 项
21、和为 满足 . （ ）函数 与函数 互为反函数，令 ，求数列 的前项和 ； （ ）已知数列 满足 ，证明 :对任意的整数 ，有. 答案：（ ） ;（ ）详见 ; 试题分析：（ ）由于 ，可知数列 是以 2为首项， 2为公比的等比数列，所以 ；又函数 与函数 互为反函数，知，可求 ，在利用错位相减求数列 的前 项和；（ ）结合（ ）和 ，求出 通项公式，在求出 ，利用不等式放缩求出 ，对 k按当 且为偶数和当 且 为奇数分类讨论利用等比数列前 n项和公式求和 / 试题：（ ）由 ，得 当 时，有 ， 所以数列 是以 2为首项， 2为公比的等比数列，所以 由题意得 ，所以 得 得 ，所以 （ ）由通项公式得 ，当 且 为奇数时 当 且 为偶数时 当 且 为奇数时 . 考点： 1.数列的地推关系； 2.错位相减法求和； 3.不等式放缩在数列中的应用 .
