1、2014届四川成都外国语学校高三下二月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知复数 ，则 的虚部为（ ） A B C D 答案： 试题分析： ，其实部为 -1，虚部为 0.选 D. 考点：复数的基本运算及概念 . 双曲线 的左右两支上各有一点 ，点 在直线 上的射影是点 ，若直线 过右焦点，则直线 必过点（ ） A B C D 答案： 试题分析：根据双曲线的对称性可知，所求点必在 轴上（从选项来看也是如此），故可考虑特殊情况 .设直线 AB的方程为： .代入双曲线方程整理得： ， ，所以点 ， . 直线 的方程为： ， 令 得： ，即 ， 所以 . 另法、当 A点在无穷远处时， AB与渐
2、近线平行， 也与渐近线平行 .这样求解，运算量更小 . 一般解法、设 ，代入双曲线方程得： ，.直线 的方程为： . 令 得：. 由 相除得： ，所以 考点：直线与圆锥曲线的关系 . 已知 ，若 恒成立，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： 试题分析：由 得 .作出该不等式组表示的区域，由图可知： .选 . 考点： 1、线性规划； 2、不等关系 . 若在数列 中，对任意正整数 ，都有 （常数），则称数列为 “等方和数列 ”，称 为 “公方和 ”，若数列 为 “等方和数列 ”，其前 项和为 ，且 “公方和 ”为 ，首项 ，则 的最大值与最小值之和为（ ） A B C D 答案： 试题分
3、析：由 得 ，两等式相减得： .又 “公方和 ”为 ，首项 ，所以 .所以的最大值为 1007，最小值为 1005，其差为 2.选 D. 考点： 1、新定义； 2、数列 . 在 中， 为边 上任意一点， 为 的中点， ，则 的值为（ ） A B C D 答案： 试题分析： . 考点：平面向量 . 已知双曲线 的离心率为 ，且抛物线 的焦点为 ，点在此抛物线上， 为线段 的中点，则点 到该抛物线的准线的距离为（ ） A B CD 答案： 试题分析：因为双曲线的离心率 ，所以 ，所以中点 到该抛物线的准线的距离为 . 考点：双曲线及抛物线 . 若正数 满足： ，则 的最小值为（ ） A B C D
4、 答案： 试题分析：法一、因为 ，所以 ，所以. 法二、因为 ，所以 ，. 法三、因为 ，所以 ，所以. 考点：重要不等式 . 已知圆 ，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为（ ） A B C D 答案： 试题分析： 的圆心为 ，所以它关于直线对称的点为 ，对称后半径不变，所以圆 的方程为 . 考点：直线及圆的方程 . 已知 ，且 ，则 （ ） A B C D 答案： 试题分析： .又因为 ，所以 为三象限的角， .选 B. 考点：三角函数的基本计算 . 已知直线 ，若 ，则 的值为（ ） A B C D 或 答案： 试题分析： ，则 ，所以 或 . 考点：两直线的平行关系 . 填空题 分
5、别是双曲线 的左右焦点， 是虚轴的端点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为 _. 答案： 试题分析：直线 的方程为 ，由 得： ；由 得： ， 的中点为 . 据题意得 ，所以 . 考点：直线与圆锥曲线 . 已知函数 ，若实数 满足 ，则_. 答案： 试题分析：由于 是定义在 R上的奇函数，所以由 可得：.又 在 R上单调递增，所以 . 考点：函数的性质的应用 . 如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数 的最小值为_. 答案： 试题分析：展开式的通项为 .由得 .当 时， 取最小值 5. 考点：二项式定理 . 在三棱锥 中，
6、 ，则三棱锥 的体积为 _. 答案： 试题分析：将三棱锥补为长方体，如图所示 .由题设可得：. 考点：几何体的体积 . 已知数列 满足： ，则_. 答案： 试题分析：由题设知 是等差数列，公差为 1，所以 . 考点：等差数列 . 解答题 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 t该产品获利润 元，未售出的产品，每 t亏损 元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示。经销商为下一个销售季度购进了 t 该农产品，以 （单位： t， ）表示下一个销售季度内的市场需求量， (单位：元 )表示下一个销售季度内销商该农产品的利润。 （ 1）将 表示为 的函数； （ 2）根
7、据直方图估计利润 不少于 57000元的概率； （ 3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取 ，且 的概率等于需求量落入 的概率），求利润 的数学期望 . 答案： (1) ； (2) 0.7. (3)T的分布列为： T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 . 试题分析： (1)当 X130，故以 130为界分两种情况分别求出利润 T与 X的关系式 .(2)利用 (1)所得式及利润 T不少于 57 000元，解不等式即可得 X的范围 .再根据频率
8、分布直方图便可得下一个销售季度内的利润 T不少于 57 000元的概率的估计值 .(3)据题意， X取 105、 115、 125、 135、145 这 5 个值，再根据直方图得 ， ，再利用（ 1）题所得函数式可得相应的利润及其对应的概率，从而得分布列及期望 . 试题： (1)当 X 100,130)时， T 500X-300(130-X) 800X-39000， 当 X 130,150时， T 500130 65 000. 所以 (2)由 (1)知利润 T不少于 57 000元当且仅当 120X150. 由直方图知需求量 X 120,150的频率为 0.30+0.25+0.15=0.7，所
9、以下一个销售季度内的利润 T不少于 57 000元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T的分布列为： T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET 45 0000.1 53 0000.2 61 0000.3 65 0000.4 59400. 考点： 1、函数的应用； 2、频率分布直方图及概率； 3、随机变量的分布列及期望 . 已知数列 的前 项和为 ，数列 满足：。 （ 1）求数列 的通项公式 ； （ 2）求数列 的通项公式 ；（ 3）若 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ； (2) ； (3) . 试题分析：（
10、1）已知前 项和公式 求 ，则 .用此公式即可得通项公式 ； （ 2）根据递推公式的特征，可用叠加法求 ；（ 3）由（ 1）（ 2）及题意得，由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法 .本题中要注意，首项要单独考虑 . 试题：（ 1） ， ， 2分 当 时， 4分 （ 2） 以上各式相加得， 又 故 8分 （ 3）由题意得， 当 时， 两式相减得， 又 ，符合上式， 12分 考点：等差数列与等比数列 . 如图，在四棱锥 P ABCD中，侧面 PAD 底面 ABCD，侧棱 ,底面 为直角梯形，其中 BC AD, AB AD, ,O为AD中点 . (1)求直线 与平面 所成角的
11、余弦值； (2)求 点到平面 的距离； (3)线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在 ,求出 的值；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1） 与平面 所成角的余弦值为 ；（ 2） 点到平面的距离 ；（ 3）存在， . 试题分析： 思路一、由 PA=PD, O为 AD中点，侧面 PAD 底面 ABCD，可得 PO 平面 ABCD. 又在直角梯形 中 ,易得 所以可以 为坐标原点 , 为 轴 , 为轴 , 为 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解 . 思路二、（ 1）易得平面 ，所以 即为所求 .(2)由于 ，从而 平面 ，所以可转化为求点 到平面 .(3)假设存在，过 Q
12、 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 M，则 即为二面角 的平面角 .设，利用 求出 ，若 ，则存在，否则就不存在 . 试题： (1) 在 PAD中 PA=PD, O为 AD中点，所以 PO AD, 又侧面 PAD 底面 ABCD, 平面 平面 ABCD=AD, 平面 PAD， 所以 PO 平面 ABCD. 又在直角 梯形 中 ,易得 ; 所以以 为坐标原点 , 为 轴 , 为 轴 , 为 轴建立空间直角坐标系 . 则 , , ， ; ,易证 : , 所以 平面 的法向量 , 所以 与平面 所成角的余弦值为 .4分 （ 2） ，设平面 PDC的法向量为 ， 则 ，取 得 点到平面 的距离 .8分
13、 （ 3）假设存在，且设 . 因为 所以 ， 设平面 CAQ的法向量中 ，则 取 ，得 . 平面 CAD的一个法向量为 ， 因为二面角 Q OC D的余弦值为 ，所以 . 整理化简得： 已知椭圆 的右焦点为 F2（ 1， 0），点 在椭圆上 . （ 1）求椭圆方程； （ 2）点 在圆 上， M在第一象限，过 M作圆 的切线交椭圆于 P、 Q两点，问 |F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2） |F2P|+|F2Q|+|PQ|是定值，等于 4. 试题分析：（ 1）右焦点为 ，左焦点为 ，点 在椭圆上，由椭圆的定义可得 ，再由 可
14、得 ，从而得椭圆的方程 . （ 2）由于PQ与圆切于点 M，故用切线长公式求出 PM、 MQ，二者相加求得 PQ.求，可用两点间的距离公式，将它们相加，若是一个与点的坐标无关的 常数，则是一个定值；否则，则不是定值 . 试题：（ 1） 右焦点为 ， 左焦点为 ，点 在椭圆上 ， 所以椭圆方程为 5分 （ 2）设 ， 8分 连接 OM， OP，由相切条件知： 11分 同理可求 所以 为定值。 13分 考点： 1、椭圆的方程； 2、直线与圆锥曲线； 3、圆的切线 . 已知函数 在 处存在极值 . (1)求实数 的值； (2)函数 的图像上存在两点 A， B使得 是以坐标原点 O为直角顶点的直角三角
15、形，且斜边 AB的中点在 轴上，求实数 的取值范围； (3)当 时，讨论关于 的方程 的实根个数 . 答案： (1) .（ 2） 的取值范围是 .（ 3） 当 或时，方程 有两个实根； 当 时，方程 有三个实根； 当 时，方程 有四个实根 . 试题分析：（ 1）求导得 ，将 代入解方程组即得.(2) 由（ 1）得 根据条件知 A,B的横坐标互为相反数，不妨设 .接下来根据 大于等于 1和小于 1分别求解 .(3)由方程 知 ，显然 0一定是方程的根，所以仅就 时进行研究，这时方程等价于 ，构造函数，利用导数作出 的图象即可得方程的要的个数 . 试题：（ 1）当 时， . 1分 因为函数 在 处
16、存在极值，所以 解得 . 4分 (2) 由（ I）得 根据条件知 A,B的横坐标互为相反数，不妨设 . 若 ，则 ， 由 是直角得， ，即 ， 即 .此时无解； 6分 若 ，则 . 由于 AB的中点在 轴上，且 是直角，所以B 点不可能在 轴上，即 . 同理有 ，即 ，. 因为函数 在 上的值域是 ， 所以实数 的取值范围是 . 8分 （ 3）由方程 ，知 ，可知 0一定是方程的根， 10分 所以仅就 时进行研究：方程等价于 构造函数 对于 部分，函数 的图像是开口向下的抛物线的一部分， 当 时取得最大值 ，其值域是 ； 对于 部分，函数 ，由 ， 知函数 在 上单调递增 . 所以， 当 或 时，方程 有两个实根； 当 时，方程 有三个实根； 当 时，方程 有四个实根 . 14分 考点： 1、导数的应用； 2、方程的根 .
