1、2014届吉林省吉林大学附属中学高三上学期第一次摸底考试理数学卷（带解析） 选择题 已知集合 ， ，若 ，则满足条件的集合的个数为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： A 试题分析：依题意， .因为 ，所以 C集合中一定有 2个元素 1， 2；最多有 4个元素，即 .故满足题意的 C集合有 4个 . 考点：集合之间的关系 . 已知函数 ，将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐不变），得到函数 的图象，则关于 有下列命题，其中真命题的个数是 函数 是奇函数； 函数 不是周期函数； 函数 的图像关于点 (， 0)中心对称； 函数 的最大值为 . A 1 B 2 C 3 D 4
2、 答案： A 试题分析： . 错误， ,是偶函数； 错误， ,故 即为 的一个周期； 正确，可以验证 恒成立，故 (， 0)是 的图像的一个对称中心； 错误，令 t cos ， t -1， 1，则 m(t) 2t (1-t2) 2( t-t3)，令 m(t) 2( 1-3t2) 0，得 . 当 t 1 时，函数值为 0；当 时，函数值为 ；当 时，函数值为 . m (t)max ，即 的最大值为 . 考点： 已知函数 的图象如图所示，则函数 的大致图象是 （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： D 试题分析：先将 的图象的图像沿 轴翻折，得到 的图像，然后再将的图像向右平移 1个单位长
3、度，即可得到 的图像，观察比较个选项，只有合题意 . 考点：函数图像的对称和平移 . “ ”是 “函数 在区间 上单调递增 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：函数的零点为 或 . 时，函数的图像如图 所示，可知函数 在区间 上单调递增；而当 时， 在区间上单调递增 .综上所述， “ ”是 “函数 在区间 上单调递增 ”的充分不必要条件 . 图 考点： 1.充要条件； 2.数形结合 . 曲线 在点 处的切线的斜率为 A B C D 答案： B 试题分析： ,故切线的斜率. 考点： 1.复合函数的导数； 2.导数求切线的斜率 .
4、 函数 的两个零点分别位于区间 A 和 内 B 和 内 C 和 内 D 和 内 答案： A 试题分析：根据式，得 故，则函数的零点分别位于 和 内 . 考点：函数的零点定理 . 的三个内角 所对的边分别为 ，则 A B C D 答案： D 试题分析：,即，故 . 考点： 1.正弦定理； 2.三角恒等变换 . 已知函数 ， x R，若 1，则 x的取值范围为 A B C D 答案： B 试题分析： ，故，即 . 考点： 1.三角恒等变换； 2.解三角不等式 . 方程 表示（ ） A两条直线 B两条射线 C两条线段 D一条射线和一条线段 答案： C 试题分析：依题意，得 解得 将 两边同时平方，得
5、 ，即 ，根据 和 画出图像如下图 .故方程 表示的是两条线段 . 考点： 1.函数的定义域； 2.函数图像 . 在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次设命题 表示 “甲的试跳成绩超过 2米 ”， 命题 表示 “乙的试跳成绩超过 2米 ”，则命题表示（ ） A甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过 2米 B甲、乙两人的试跳成绩都没有超过 2米 C甲、乙至少有一人的试跳成绩超过 2米 D甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过 2米 答案： D 试题分析： 表示 “甲的试跳成绩不超过 2米 ”， 表示 “甲的试跳成绩不超过2米 ”，故 表示的是 “甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过 2米 ”. 考点
6、： 1.四种命题； 2.复合命题的含义 . 若 ，则 （ ） A 1 B C D -1 答案： D 试题分析： ，整理得，解得 或 ，又因为 ，故. 考点： 1.同角三角函数的关系； 2.余弦函数的值域 . 函数 的定义域为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：依题意，得 由（ 1）得 ；由（ 2）得 .综上所述 . 考点： 1.函数的定义域； 2.解不等式组 . 填空题 已知 : ， : ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围 答案： 试题分析：先求出 ： 或 和 ： ，由 是 的必要不充分条件得到 ，然后得到 或 即可求解 . 试题：由题意 ： 或 ， ： ， 设 ， ，
7、是 的必要不充分条件， ， 或 ， 或 ， 实数 的取值范围 . 考点： 1.不等式的解法； 2.充要条件； 3.集合之间的关系 . 设 为实常数， 是定义在 R上的奇函数，当 时，.若 “ ， ”是假命题，则 的取值范围为 . 答案： 试题分析： 是定义在 R上的奇函数，故可求式为又 “ ”是假命题，则 是真命题，当 时，解得 ， 当 时， ，结合均值不等式有，得 或 ， 取交集得 的取值范围是 . 考点： 1.根据奇偶性求函数式； 2.特称命题的否定； 3.不等式恒成立问题 . 已知 均为锐角，且 ，则 . 答案： 试题分析：由 均为锐角得： ， ， . 故 ， 则 ,又 ，故 . 考点：
8、 1.两角和差的余弦； 2.同角三角函数的关系； 3.角的转化 . 如图， 中，点 在 边上，且 ，则 的长为 . 答案： 试题分析： 过 作 于 ，设 ，则在 中， ；在中， ，则联立 解得 .则 .在中， ，故 . 考点：解直角三角形 已知幂函数 的图象过点 ，则 . 答案： 试题分析：依题意，得 ， . 考点： 1.幂函数的性质； 2.指数的运算； 3.对数运算 . 解答题 已知函数 ，的部分图象如图所示 （ ）求函数 的式； （ ）求函数 的单调递增区间 答案：（ ） f (x) 2sin(2x );（ ） (k Z). 试题分析：（ ）根据图像与 x轴的交点可求得 ，进而求得 ；然后
9、根据函数图像过点 ( ， 0)可得 ，过点 (0， 1)可得 A 2，即可求得式 f (x) 2sin(2x )；（ ）用换元法即可求得 g(x)的单调递增区间是(k Z). 试题：（ ）由题设图象知，周期 ，所以 ， 因为点 ( ， 0)在函数图象上，所以 Asin(2 ) 0，即 sin( ) 0. 又因为 0 ，所以 ，从而 ，即 . 又点 (0， 1)在函数图象上，所以 ，得 A 2， 故函数 f (x)的式为 f (x) 2sin(2x ) （ ）由 ， 得 ， k Z， 所以函数 g(x)的单调递增区间是 (k Z). 考点： 1.正弦型函数式的求法； 2.三角函数的单调性 . 在
10、 中，角 所对的边分别为 ，设 为 的面积，满足 （ ）求角 的大小； （ ）求 的最大值 答案：（ ） C ；（ ） . 试题分析：（ ）将 和 代入 即可得 tanC ，故 C ；（ ） =sinAsin( -A) sinA cosA sinA= sin(A )，再根据 A的范围求得最大值为 . 试题：（ ）由题意可知 absinC 2abcosC， 所以 tanC . 因为 0 C ，所以 C . （ ）由已知 sinA sinB sinA sin( -A) sinA cosA sinA sin(A ) 0 A ， A ， 当 A 即 A 时， sinA sinB的最大值是 . 考点：
11、1.正弦定理； 2.余弦定理； 3.三角恒等变换 . 已知真命题 :“函数 的图像关于点 成中心对称图形 ”的充要条件为 “函数 是奇函数 ”. （ ）将函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移 2个单位，求此时图像对应的函数式，并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标； （ ）求函数 图像对称中心的坐标； （ ）已知命题： “函数 的图像关 于某直线成轴对称图像 ”的充要条件为“存在实数 和 ，使得函数 是偶函数 ”.判断该命题的真假，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题 (不必证明 ). 答案：（ ） , ;（ ） ;（ ）
12、假命题 , 修改后的真命题 : “函数 的图像关于直线 成轴对称图像 ”的充要条件是“函数 是偶函数 ”. 试题分析：（ ）将 向左平移 个单位后得到的式是，然后向上平移 2个单位得到 ，再根据题设的真命题得到 图像对称中心的坐标是 ；（ ）设则 的定义域关于原点对称，即 是一个关于原点对称的区间，则 ，此时 ，再根据求得 即可得 图像对称中心的坐标是 ；（ ）举出这个反例即可说明此命题是假命题 . 试题：（ ）平移后图像对应的函数式为 ， ， ， 是奇函数， 又由题设真命题知，函数 图像对称中心的坐标是 . （ ）设 的对称中心为 ,由题设知函数 是奇函数 . 设 则 ， 由不等式 的解集
13、关于原点对称 ,得 . 此时 . 任取 ，由 ，得 ， 所以函数 图像对称中心的坐标是 . （ ）此命题是假命题 . 举反例说明 :函数 的图像关于直线 成轴对称图像，但是对任意实数和 ，函数 ，即 总不是偶函数 . 修改后的真命题 : “函数 的图像关于直线 成轴对称图像 ”的充要条件是 “函数 是偶函数 ”. 考点： 1.三角函数的平移； 2.求函数的对称中心 . 已知函数 ，其中 是自然对数的底数 . （ ）求函数 的单调区间和极值； （ ）若函数 对任意 满足 ，求证：当 时， ； （ ）若 ，且 ，求证： 答案：（ ） 在 内是增函数，在 内是减函数 .当 时，取得极大值 = . （
14、 ）见；（ ）见 . 试题分析：（ ）求出导函数 = ，然后令 =0，解得 .画出 ， 随着 变化而变化的表格，即可得出 的单调区间和极值；（ ）先求出 ，然后令 ，求出，求出当 时， 即可得证；（ ）由得 ， 不可能在同一单调区间内，则根据（ ）的结论，设，根据（ ）可知 ，而，故 ，即得证 . 试题：（ ） = ， = . 令 =0，解得 . 2 0 - 极大值 在 内是增函数，在 内是减函数 . 当 时， 取得极大值 = . （ ）证明： ， , = . 当 时， 0， 4，从而 0， 相关试题 如图，锐角 的内心为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，点为内切圆 与边 的切点 . （ ）
15、求证： 四点共圆； （ ）若 ，求 的度数 . 答案：（ ）见；（ ） DEF . 试题分析：（ ）根据 作直线 的垂线，垂足为 得到 ，由点为内切圆 与边 的切点可得 ，根据圆内接四边形的性质与判定可得 四点共圆；（ ）根据（ ）的结论，可知 DAF，然后根据内心的性质求出 ，然后再直角三角形 ADF 中，求出 ，即可得出结果 . 试题：（ ）由圆 D与边 AC 相切于点 E，得 ， ，得 ， 四点共圆 . （ ）由（ ）知四点 共圆，得 DEF DAF， ， 结合 BF AF，得 DEF DAF ADF ， . 由 得 DEF . 考点： 1.圆内接四边形的性质与判定； 2.三角形内心的性
16、质 . 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数 )，曲线的参数方程为 ( 为参数 )在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 ， 各有一个交点当 时，这两个交点间的距离为 ，当 时，这两个交点重合 （ ）分别说明 ， 是什么曲线，并求出 a与 b的值； （ ）设当 时， 与 ， 的交点分别为 ，当 时， 与 ，的交点分别为 ，求四边形 的面积 答案：（ ） C1是圆， C2是椭圆 ; （ ）四边形 A1A2B2B1的面积为 试题分析：（ ）根据圆和椭圆的参数方程特征可以判断出 C1是圆， C2是椭圆；然后还原到直角坐标系中，根据 即表示的 x轴的非负半轴，根据 表示
17、的是 y轴的非负半轴可以分别求出 a 3和 b 1； （ ）先分别求出在直角坐标系下的方程： C1： ， C2： 然后再求出第一象限的角平分线与 C1， C2的交点坐标和第四象限与 C1， C2交点坐标，根据坐标判断出四边形 A1A2B2B1为梯形，然后求得面积 . 试题：（ ） C1是圆， C2是椭圆 当 时，射线 l与 C1， C2交点的直角坐标分别为 (1， 0)， (a， 0)，因为这两点间的距离为 2，所以 a 3. 当 时，射线 l与 C1， C2交点的直角坐标分别为 (0， 1)， (0， b)，因为这两点重合，所以 b 1. （ ） C1， C2在平面直角标系下的方程分别为 当
18、 时，射线 l与 C1交点 A1的横坐标为 ，与 C2交点 B1的横坐标为当 时，射线 l与 C1， C2的两个交点 A2， B2分别与 A1， B1关于 x轴对称，因此四边形 A1A2B2B1为梯形 故四边形 A1A2B2B1的面积为 考点： 1.圆的参数方程； 2.椭圆的参数方程； 3.直线的极坐标方程 . 已知函数 . （ ）若不等式 的解集为 ，求实数 的值； （ ）在（ ）的条件下，若 对一切实数 恒成立，求实数的取值范围 答案：（ ） a 2; （ ） (-， 5. 试题分析：（ ）根据 可得 |x-a|3，即 a-3xa 3，再由 的解集为 可得 ，即可求得 a 2；（ ）令 g
19、(x) f(x) f(x 5) |x-2| |x 3|，求得 g(x)的最小值为 5，再根据 对一切实数恒成立可知 =5. 试题：（ ）由 f(x)3，得 |x-a|3，解得 a-3xa 3. 又已知不等式 f(x)3的解集为 x|-1x5， 解得 a 2. （ ）（解法一）当 a 2时， f(x) |x-2|. 设 g(x) f(x) f(x 5) |x-2| |x 3| 所以当 x -3时， g(x) 5；当 -3x2时， g(x) 5；当 x 2时， g(x) 5. 综上可得， g(x)的最小值为 5. 从而，若 f(x) f(x 5)m，即 g(x)m对一切实数 x恒成立，则 m的取值范围为 (-， 5 考点： 1.绝对值不等式的解法； 2.绝对值函数； 3.不等式恒成立问题 .
