1、2014届北京市海淀区海淀高三上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为， ，所以，选 A. 考点：集合的运算 已知函数 ，在下列给出结论中： 是 的一个周期； 的图象关于直线 对称； 在 上单调递减 . 其中，正确结论的个数为（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： C 试题分析：因为， ， ，所以， 不正确； 又 ， 由满足 ，其图象的对称轴为 ，所以， 正确； 因为， ， 在 上均为增函数， 所以， 在 上为减函数， 正确 . 综上知，正确结论的个数为 2，选 C. 考点：三角函数的图象和性质
2、已知 ，函数 若 ，则实数 的取值范围为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：注意分析两段函数的图象 .注意到 是周期为 4 的周期函数，且为奇函数，其在 是单调增函数，所以，为使 ，只需，所以， ； 时， 的图象为开口向上，对称轴为 的抛物线， 当 时，其最小值为 1，满足 ， 故实数 的取值范围为 ，选 D. 考点：分段函数，函数的单调性 . 已知数列 的通项公式 ，则数列的前 项和 的最小值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：观察 可知，随 的增大， 由负数增大为正数，其中， 为负数， 开始以后各项均为正数，所以，数列的前 项和 的最小值是 ，选 B. 考点：数列的单
3、调性，数列的通项 . 若 ，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：因为， ，所以， 或 ；反之， 时，一定可以得到 ，故 “ ”是 “ ”的必要而不充分条件，选 B. 考点：充要条件 在平面直角坐标系 中，已知点 ，若，则实数 的值为 ( ) A BC D 答案： C 试题分析：因为，在平面直角坐标系 中，点 ，所以， ，又 ，所以， ，选 C. 考点：平面向量的概念，共线向量 . 在 中，若 ，则 =( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为，在 中，若 ，所以， ， 故选 B. 考点：任意
4、角的三角函数 下列函数中，值域为 的函数是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：确定函数的值域，应首先关注函数的定义域 .根据指数函数的性质可知 的值域为 ，故选 C. 考点：函数的定义域、值域，常见函数的性质 . 填空题 定义在 上的函数 满足： 当 时， ； .设关于 的函数 的零点从小到大依次为 .若 ，则 _ ；若 ，则_. 答案：， 试题分析：因为，定义在 上的函数 满足： 当 时，； .所以， 的构成规律是：对于任意整数 ，在每一个区间 ， ， ，且在此区间满足 ； 当 时， 的零点从小到大依次为 ， ，所以， 当 时， 的零点从小到大依次满足， 所以， 考点：分段函数，
5、函数的零点，等比数列的求和 . 已知 是正三角形，若 与向量 的夹角大于 ，则实数 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：建立如图所示坐标系，不妨设 ，则 ， 所以， ， 由 与向量 的夹角 大于 ，得， 即 ， 故答案：为 . 考点：平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模 . 函数 的图象如图所示，则 _，_. 答案： , 试题分析：观察图象可知，函数的周期为 3，即 ，将点 代入得， 所以，故答案：为 , . 考点：正弦型函数的图象和性质 已知 ，则 的大小关系为 _. 答案： 试题分析：因为， ，由 ，所以， . 考点：对数的性质及其运算 已知数列 为等比数列，若 ，则公比_.
6、答案： 试题分析：因为，列 为等比数列，且 ，所以，由等比数列的通项公式可得， ，两式两边分别相除，得公比 ，故答案：为 2. 考点：等比数列的通项公式 _. 答案： 试题分析： ，故答案：为 2. 考点：定积分的计算 解答题 在 中，角 的对边分别为 , , . （ ）求 的值； （ ）求 的值 . 答案：（ ） .（ ） . 试题分析：（ ）根据已知条件，建立 的方程组即可得解 . （ ）应用余弦定理可首先 .进一步应用正弦定理 即得. 试题：（ ）由 和 可得 , 2分 所以 ， 3分 又 所以 . 5分 （ ）因为 , , 由余弦定理 可得 7分 ，即 . 9分 由正弦定理 可得 11
7、分 ， 12分 所以 . 13分 考点：正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积 . 已知函数 . （ ）求 的最小正周期； （ ）求 在区间 上的取值范围 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）这是一类相当典型的题目，首先应用和差倍半的三角函数公式， 将函数化简为正弦型函数，由 即得最小正周期 . （ ）注意从 ，确定 ，进一步得到 取值范围 . 试题：（ ） 2分 4分 6分 最小正周期为 ， 8分 （ ）因为 ，所以 10分 所以 12分 所以 ， 13分 所以 取值范围为 . 14分 考点：和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质 . 如图，已知点 ，直线 与函数 的图象交于点
8、，与 轴交于点 ，记 的面积为 . （ ）求函数 的式； （ ）求函数 的最大值 . 答案：（ ） . （ ） 最大值为 8. 试题分析：（ ）确定三角形面积，主要确定底和高 . （ ）应用导数研究函数的最值，遵循 “求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数正负，比较极值与区间端点函数值 ”.利用 “表解法 ”形象直观，易以理解 . 试题：（ ）由已知 1分 所以 的面积为 . 4分 （ ）解法 1. 7分 由 得 ， 8分 函数 与 在定义域上的情况下表： 3 + 0 极大值 12分 所以当 时，函数 取得最大值 8. 13分 解法 2.由 设 ， 6分 则 . 7分 函数 与 在定义域上的情况下表
9、： 3 相关试题 2014届北京市海淀区海淀高三上学期期中考试理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 已知数列 满足： ； 对于任意正整数 都有 成立 . （ ）求 的值； （ ）求数列 的通项公式； （ ）若 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ ） . （ ）数列 的通项公式 . （ ）. 试题分析：（ ）将 为 1代入 即得 . （ ）令 即得 .
10、 上述两小题注意把握对于任意正整数 都有. （ ）由（ ）可得 ， 易得 分别为公比是 4和 2的等比数列，由等比数列求和公式可得 . 试题：（ ）由 可得 ， 2分 由 可得 . 3分 （ ）由 可得 ， 6分 所以数列 的通项公式 . 7分 （ ）由（ ）可得 ， 易得 分别为公比是 4和 2的等比数列， 8分 由等比数列求和公式可得 . 13分 考点：等比数列的通项公式、前 项求和公式 . 已知函数 . （ ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （ ）求 的单调区间； （ ）若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ ）切线方程为 . （ ）当 时， 的单调增区间是 和 ，
11、单调减区间是 ； 当 时， 的单调增区间是 ； 当 时， 的单调增区间是 和 ，单调减区间是 . （ ） . 试题分析：（ ）切线的斜率，等于在切点的导函数值 . （ ）通过 “求导数，求驻点，讨论各区间导数值的正负 ”，确定函数的单调区间。本题应特别注意讨论 ， ， 时的不同情况 . （ ） 在区间 上恒成立，只需 在区间 的最小值不大于 0. 试题：（ ）因为 ， , 所以 , 1分 ， , 3分 所以切线方程为 . 4分 （ ） , 5分 由 得 , 6分 当 时，在 或 时 ，在 时 , 所以 的单调增区间是 和 ，单调减区间是 ； 7分 当 时，在 时 ，所以 的单调增区间是 ； 8
12、分 当 时，在 或 时 ，在 时 . 所以 的单调增区间是 和 ，单调减区间是 . 10分 （ ）由（ ）可知 在区间 上只可能有极小值点， 所以 在区间 上的最大值在区间的端点处取到， 12分 即有 且 , 解得 . 14分 考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值 . 已知数列 的首项 其中 ， 令集合. （ ）若 是数列 中首次为 1的项，请写出所有这样数列的前三项； （ ）求证： ； （ ）当 时，求集合 中元素个数 的最大值 . 答案：（ ） 27,9,3； 8,9,3； 6,2,3.（ ）见 . （ ）集合 重元素个数的最大值为 21. 试题分析：（ ）依次代入写出 2
13、7,9,3； 8,9,3； 6,2,3. （ ）根据 及 须讨论 被 3除余1， 被 3除余 2, 被 3除余 0，等三种情况 . （ ）注意由已知递推关系推得数列 满足： 当 时，总有 成立，其中 . 因此应注意讨论当 时，数列 中大于 3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为 ，由（ ）可得 或 9， 由（ ）的证明过程即可知数列 的项满足： ，且当 是 3的倍数时，若使 最小，需使 ， 满足 最小的数列 中， 或 7，且 ， 得到数列 是首项为 或 的公比为 3的等比数列，应用等比数列的通项公式即可得出结论 . 解答本题的关键是注意 “转化 ”成等比数列问题 . 试题：（ ） 27,9
14、,3； 8,9,3； 6,2,3. 3分 （ ）若 被 3除余 1，则由已知可得 , ； 若 被 3除余 2,则由已知可得 , , ； 若 被 3除余 0，则由已知可得 , ； 所以 ， 所以 所以，对于数列 中的任意一项 ， “若 ，则 ”. 因为 ，所以 . 所以数列 中必存在某一项 （否则会与上述结论矛盾！） 若 ,则 ；若 ,则 ,若 ,则, 由递推关系易得 . 8分 （ ）集合 中元素个数 的最大值为 21. 由已知递推关系可推得数列 满足： 当 时，总有 成立，其中 . 下面考虑当 时，数列 中大于 3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为 ，由（ I）可得 或 9， 由（ ）的证明过程可知数列 的项满足： ，且当 是 3的倍数时，若使 相关试题 2014届北京市海淀区海淀高三上学期期中考试理科数学试卷（带）
