1、2014届北京市北信附中高三上学期入学考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ， ，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：先求出 ，再求其补集为 . 考点：集合的运算（交集、补集） 设函数 ，则其零点所在的区间为（ ） A（ -1， 0） B（ 0， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 答案： C 试题分析：因为 ， ， ， ，且，所以，函数的零点在区间（ 1， 2）内 . 考点：函数零点的判定 函数 的图像为 ，如下结论中错误的是（ ） A图像 关于直线 对称 B图像 关于点 对称 C函数 在区间 内是增函数 D由 得图像向右平移 个单位长度可以得到图像 答案：
2、D 试题分析：因为 时， 为最小值，所以函数图像 关于直线 对称；因为 时，所以函数图像 关于点 对称； 因为时， 为最小值， 时，为最大值，且 ，所以函数在区间 内是增函数；由 得图像向右平移 个单位长度可以得到函数 的图像，而不是图像 . 考点：三角函数的图像与性质 图象变换 若等差数列 的公差 ，且 成等比数列，则 （ ） A 2 BC D 答案： D 试题分析：由等差数列知， ， ；由等比数列的定义知，即 ，因为 ，解得 ，. 考点：等差数列与等比数列 下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：函数 是奇函数；函数 在 上不是单调函数；函数
3、 在 上是单调递减函数；当 时， 是单调递增函数 . 考点：幂函数、对数函数、余弦函数的奇偶性与单调性 设变量 满足约束条件 则 的最大值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：这是线性规划的应用 .先画出三条直线 ， ，所围成的三角形区域，得到可行域，再画出直线 并向下平移，当经过直线 与 的交点 时， 取得最大值 . 考点：线性规划的应用 已知 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：利用诱导公式、二倍角公式计算 . 考点：诱导公式、二倍角公式 函数 的图象是 ( ) 答案： C 试题分析：由于 ，所以函数 是偶函数，图象关于 轴对称 . 考点：函数的奇偶性 函数的图象
4、变换 命题 的否定是 ( ) A ，使得 B ，使得 C ，都有 D ，都有 答案： B 试题分析：全称命题 的否定 是特称命题 .排除 C、 D,选择 B. 考点：命题的否定 全称命题与特称命题 复数 在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 试题分析：利用复数的除法法则，计算 ，对应的点 在第一象限 . 考点：复数的运算 复数的几何意义 填空题 已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：分段函数零点的判定，常借助于函数图像与 轴的位置来确定 .函数是由函数 的图像上下平移得到，当 ， 时，函数有一个零点；函数
5、的图像是一条开口向上的抛物线，当 ， ，即 时，有两个零点；因此，满足题设的实数 的取值范围是 . 考点：分段函数 指数函数 二次函数的图像与性质 函数零点的判定 已知向量 ， ， ，则 ， . 答案： , 试题分析：向量求模常用（ 1）定义法： ；（ 2）平方法 .，即 ，得 . 考点：向量模的定义 向量数量积及应用 等比数列 中， ，则 的前 项和为 . 答案： 试题分析：设公比为 ，由 ，得 ， ，得 , .所以， 的前 项和为 . 考点：等比数列的通项公式、前 项和公式 的值为 . 答案： 试题分析：任意角的三角函数求值的关键：是利用诱导公式将任意角转化为特殊角， . 考点：诱导公式
6、三角函数求值 已知 ，函数 的最小值 . 答案： 试题分析：因为 时， ，当且仅当 ，即时取等号 .所以函数 的最小值为 4. 考点：基本不等式 阅读程序框图，则输出的数据 为 _. 答案： 试题分析：，此时，. 考点：算法与程序框图 等比数列求和 解答题 已知函数 （ ）求 的最小正周期和单调递增区间； （ ）求函数 在 上的值域 . 答案：（ ） , （ ） 试题分析：这是一道三角函数的图像与性质、三角恒等变换的综合问题 .解题关键是利用三角公式将函数式化为 的形式，然后借助图像研究其性质 . （ ）先用 ， 化为同角，再逆用两角差的正弦公式便得 ，然后由周期公式及正弦函数 的单调增区间求
7、出；（ ）三角函数在闭区间上的值域，要借助于图像，从角 的范围一步一步地推出 . 试题：（ ） ， 3分 由 得 的最小正周期 , 单调增区间 ， 7分 （ ） , ， ， 8分 , 10分 在 上的值域是 . 12分 考点：三角函数的图像与性质 三角恒等变换 在 中，角 所对的边分别为 ，且 , （ 1）求 , 的值； （ 2）若 ，求 的值 . 答案：（ 1） ， （ 2） 试题分析：三角形中的求值问题，既要应用三角恒等变换技巧，又要考虑三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理、面积公式等的灵活运用 .（ 1）先由同角三角函数关系求出 ，再由内角和定理得 ，应用两角差的正弦公式求出 .（ 2
8、）先由正弦定理得 ,再与已知条件联立求出 . 试题：（ 1） , ， ，3分 所以 6分 （ 2）由（ 1）及正弦定理 ， 得 9分 又因为 ，所以 . 12分 考点：三角恒等变换 解三角形 已知 , （ ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （ ）若 在 处有极值，求 的单调递增区间； （ ）是否存在实数 ，使 在区间 的最小值是 3，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 . 答案：（ ） （ ） （ ） 试题分析：（ ）求曲线在一点处的切线方程，一要抓切点（ 1,2），一要抓导数的几何意义即切线的斜率 ，便求出切线方程 ；（ ）先利用极值求出系数 ，再利用 及定义域 ，求出单调递增区间
9、为 ；（ ）利用导数求某区间上的最值 ,要综合应用极值、单调性进行判定求解 ,特别对 的形式、 的根进行分类讨论 .多见于单调函数、单峰（谷）函数 . 试题：（ ）函数 的定义域为 ， 因为 ，所以当 时， ， ，所以 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . 3分 （ ）因为 在 处有极值，所以 ， 由（ ）知 ，所以 经检验， 时 在 处有极值 4分 所以 ，令 ,解得 或 ； 因为 的定义域为 ，所以 的解集为 ， 即 的单调递增区间为 . 6分 （ ）假设存在实数 ，使 在区间 上有最小值 3，由， 当 时， ， 在 上单调递减， ，解得 ，舍去 . 8分 当 即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， ，解得 ，满足条件 . 10分 当 即 时， ， 所以 在 上单调递减， ，解得 ，舍去 . 综上，存在实数 ，使 在区间 上的最小值是 3. 12分 考点：导数的几何意义 导数的应用 分类讨论思想
