1、2014届上海市静安区高三上学期期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知三个正实数 a、 b、 c,则下列三个数 ， ， （ ） A都大于 2； B都小于 2 C至少有一个小于 2； D至少有一个不小于 2 答案： D 试题分析：事实上因此三个数， ， 至少有一个不小于 2(否则这三个数的和小于 6)选 D 考点：不等式的综合题 已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是 ( ) A ； B ； C ； D . 答案： C 试题分析：二次函数 的图象是开口向下的抛物线，最大值为 4，且在 时取得，而当 或 时， ，（也可考虑 在 是单调递增，在 上单调递减），故本题中 的取值范围是
2、. 考点：二次函数的的值域 . 已知命题 ：如果 ，那么 ；命题 ：如果 ，那么 ；命题 ：如果 ，那么 .关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 ( ) 命题 是命题 的否命题，且命题 是命题 的逆命题 . 命题 是命题 的逆命题，且命题 是命题 的否命题 . 命题 是命题 的否命题，且命题 是命题 的逆否命题 . A ； B ； C D 答案： A 试题分析：本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故 正确， 错误， 正确，选 A. 考点：四种命题 . 填空题 已知集合
3、 ， ，则 . 答案： 试题分析：本题中集合的元素是曲线上的点，因此 中的元素是两个曲线的交点，故我们解方程组 ，得 或 ，所以 考点：集合的运算 若 x0,y0,且 y= ,则 x+y的最小值为 答案：当 ， 时， 的最小值为 18. 试题分析：首先可确定 ，即 ，下面根据基本不等式就可得到结论 考点：基本不等式求最小值 已知数列 (n )的公差为 3，从 中取出部分项（不改变顺序）a1,a4,a10, 组成等比数列，则该等比数列的公比是 答案： 试题分析：本题可用基本量法求解， ， ，则由可得 ，因此 ，从而公比 考点：等差数列通项公式，等比数列的定义 椭圆 C的焦点在 轴上，焦距为 2，
4、直线 n:x-y-1=0与椭圆 C交于 A、 B两点， F1是左焦点，且 ，则椭圆 C的标准方程是 答案： 试题分析：这题考查标准方程，实质上是直线与椭圆相交问题，解决问题的方法是高椭圆方程为 (因为由已知 )，同时高 ，告诉我们 ， 即 ，化简为 ， ， 又在哪里出现呢？把直线代入椭圆方程并化简得 ， ， 就是这个方程的两根，故 ，由此我们可得 ，解得，故得椭圆方程 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆相交 设某抛物线 的准线与直线 之间的距离为 3，则该抛物线的方程为 . 答案： 或 试题分析：与直线 之间的距离为 3的直线有 和 ，而抛物线的准线方程是 ，因此有 或 ，即 或 考点：抛物线的标
5、准方程与准线 排一张 4独唱和 4个合唱的节目表，则合唱不在排头且任何两个合唱不相邻的概率是 （结果用最简分数表示） . 答案： 试题分析： 8个节目所有排法为 ，要求合唱不相邻，可先把 4个独唱排列，有 种排法，这里这 4个独唱节目形成 5个空档 (包含前后两个 )，由于合唱不排排头，故 4个合唱节目只有插进后面四个空档里，有 种排法，这样总共有排法 ，从而所求概率为 考点：古典概型 函数 的周期是 . 答案： 试题分析：函数的周期为 考点：三角函数的周期 函数 y= 的定义域是 答案： 试题分 析：定义域就是使函数式有意义的自变量的取值范围，本题中要求，即 考点：函数的定义域 当 时，函数
6、 的值恒大于 1，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：这应该是一个指数函数，当 时，函数值恒大于 1，则底数应该大于 1，即 ，从而有 考点：指数函数的性质 关于未知数 的实系数一元二次方程 的一个根是 （其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为 . 答案： 试题分析：根据的性质，实系数方程在复数范围的虚数根成对出现，因此方程还有一个根为 ，由此可知 ， 考点：实系数方程的复数解 方程 的解为 答案： 试题分析：对数方程一般要化为 或 的形式，然后根据对数的函数的性质化对数方程为代数方程，本题可化为，即 ，解得 考点：解对数方程 .不等式 的解集为 答案： 试题分析：解一元二次不等式，
7、应该求出对应方程 的根，然后可根据二次函数的图象写出不等式的解，当然解题时，可这样做：原不等式可化为 ，故不等式的解为 或 考点：解一元二次不等式 若 （其中 、 为有理数），则 . 答案： 试题分析：应用二项式定理把 展开化简即可得， 考点：二项式定理 解答题 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表 .其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 = （弦 矢 +矢 2） .弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中 “弦 ”指圆弧所对弦长， “矢 ”等于半径长与圆心到弦的距离之差 . 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差 .现有圆心角为，弦长等于 9米的弧田 .
8、 （ 1）计算弧田的实际面积； （ 2）按照九章算术中弧田面积的经验公式计算所得结果与（ 1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数） 答案： (1) ( )； (2)少 试题分析： (1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式 来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积 对应三角形面积 (2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得 试题： (1) 扇形半径 ， 2分 扇形面积等于 5分 弧田面积 = （ m2） 7分 （ 2）圆心到弦的距离等于 ，所以矢长为 .按照上述弧田面积经验公式计算得 （弦 矢 +矢 2） = . 10分 平方米 12分 按照弧田面积经验公式计算结果
9、比实际少 1.52平米 . 考点： (1)扇形面积公式； (2)弧田面积的经验计算公式 求证： (1) (2) 答案：证明见 试题分析：三角恒等式的证明也遵循从繁化简的原则，当然三角函数还有函数名称的转化与角的转化 (1)本题从左向右变化，首先把左边分子用两角差的正弦公式展开，就能证明，当然也可从右向左转化 (切化弦 )，； (2)这个证明要求我们善于联想，首先左边的和怎么求？能否变为两数的差 (利用裂项相消的思想方法 )？这个想法实际上在第 (1)小题已经为我们做了，只要乘以 (因为每个分母上的两角的差都是 )，每个分式都化为两数的差，而且恰好能够前后项相消 试题：证明：（ 1） 3分 6分
10、 （ 2）由（ 1）得 （ ） 8分 可得 10分 12分 即 . 14分 考点：两角差的正弦公式，同角三角函数关系 已知双曲线 x2-y2=2若直线 n的斜率为 2 ，直线 n与双曲线相交于 A、 B两点，线段 AB的中点为 P， (1)求点 P的坐标（ x,y)满足的方程（不要求写出变量的取值范围）； (2)过双曲线的左焦点 F1，作倾斜角为 的直线 m交双曲线于 M、 N两点，期中， F2是双曲线的右焦点，求 F2MN的面积 S关于倾斜角 的表达式。 答案： (1) (可以写出范围： 或 )，不写也不扣分 )； (2) 试题分析： (1) 这类问题基本方法是设直线方程为 ，代入双曲线方程
11、化简后可得 ，同时设中点 坐标为 ，则有 ，又，即 ，再代入 即得出所求中点轨迹方程；对于求圆锥曲线中点轨迹方程，我们还可以采取设而不求的方法，即设 ，中点 ，只要把 两点坐标代入圆锥曲线方程，所得两式相减，即可得出 与 的关系，前者是直线 的斜率，后者正是 点坐标的关系，由此可很快得到所求轨迹方程； (2) 设 ， ，由于，因此 ，而 可以用直线 方程与双曲线方程联立方程组，消去 可得 的一元二次方程，从这个方程可得 ，从而得三角形面积，但要注意当直线 斜率不存在时需另外求 试题：（ 1）解法 1：设直线 方程为 ， 代入双曲线方程得： ， 2分 由 得 .设 、 两点坐标分别为 、 ，则有
12、 ；又由韦达定理知： ， 4分 所以 ，即得点 的坐标 所满足的方程 . 5分 注： 或 ，点 的轨迹为两条不包括端点的射线 . 解法 2：设 、 两点坐标分别为 、 ，则有 ，两式相减得： （ *） . 2分 又因为直线 的斜率为 2，所以 ，再由线段 中点 的坐标 ，得 . 4分 代入（ *）式即得点 的坐标 所满足的方程 . 5分 （ 2） ， ，直线 与 轴垂直时， ，此时， 的面积 = . 6分 直线 与 轴不垂直时，直线 方程为 ， 7分 设无穷数列 的首项 ，前 项和为 （ ），且点在直线 上（ 为与 无关的正实数） （ 1）求证：数列 （ ）为等比数列； （ 2）记数列 的公比
13、为 ，数列 满足 ，设 ，求数列 的前 项和 ； （ 3）若（ 2）中数列 Cn的前 n项和 Tn当 时不等式 恒成立，求实数 a的取值范围。 答案： (1)证明见； (2) ； (3) . 试题分析： (1)把已知条件变形为 ，要化为数列项的关系，一般方法是用 代 得 ，两式相减，得，从而得前后项比 为常数，只是还要注意看看是不是有 ，如有则可证得 为等比数列； (2)由 定义可知数列是等差数列， ( 是数列 公差 )，从而数列 也是等差数列，其前 和易得，这说明我们在求数列和时，最好能确定这个数列是什么数列； (3) 恒成立，即 的最大值，下面我们要求 的最大值，由 (2) 是关于 的二次
14、函数，我们只要应用二次函数知识 (配方法 )就可求出基最大值了，但要注意 是范围是正整数 试题：（ 1）由已知，有 ， 当 时， ； 2分 当 时，有 ， 两式相减，得 ，即 ， 综上， ，故数列 是公比为 的等比数 列； 4分 （ 2）由（ 1）知， ，则 于是数列 是公差 的等差数列，即 ， 7分 则 = 10分 （ 3）不等式 恒成立，即 恒成立，又在 上递减，则 14分 16分 考点： (1)数列的前 项和 与 的关系，等比数列的定义； (2)等差数列的前项和； (3)不等式恒成立与二次函数在给定范围内的最值 已知函数 是奇函数，（其中 ) (1)求实数 m的值； (2)在 时，讨论函
15、数 f(x)的增减性； (3)当 x 时， f(x)的值域是（ 1， ），求 n与 a的值。 答案： (1) ； (2) 与 上都是增函数； (3) 试题分析： (1)奇函数对应的是 ，由此可求出 ； (2)对函数，判断它的单调性，应先求出定义域 ，然后在定义域的两个区间 与 上分别用单调性的定义来说明函数的单调性，这里可以先讨论对数的真数 的单调性，如设 ，判断出这个差是正数后，即得，而由于 ，则有 ，于是可得函数在上是递增的； (3)已知条件是函数的值域是 ，因此我们可以由值域来求自变量的取值范围，即 ，由于 ，不等式可转化为 ，故 ，这就应该是已知的范围 ，从而有 ， ，可得结论 试题：（ 1） 4分 （ 2）由（ 1） ，定义域为 . 5分 讨论在 上函数的单调性 . 任取 、 ，设 ，令 ，则 ， 所以 因为 ， ， ，所以 ， ， 所以 . 7分 又当 时， 是减函数，所以 .由定义知在上函数是增函数 . 8分 又因为函数 是奇函数，所以在 上函数也是增函数 . 9分 （ 3）当 时，要使 的值域是 ，则 ，所以 ，即 ， 11分 而 ，上式化为 ，又 ，所以当时， ；当 时， ； 13分 因而，欲使 的值域是 ，必须 ，所以对上述不等式，当且仅当时成立，所以 解得 ， 相关试题 2014届上海市静安区高三上学期期末考试文科数学试卷（带）
