1、2013年上海市虹口区高考一模数学试卷与答案（带解析） 选择题 数列 满足 ，其中 ，设，则 等于 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由题意可知该数列依次为 ，可以计算出 推理可以得出考点：本小题主要考查归纳推理的应用，考查学生的归纳推理的能力 . 点评：在解答题中，通过归纳猜想出结论后还要用数学归纳法证明 . 定义域为 的函数 有四个单调区间，则实数满足（ ） AB C D 答案： C 试题分析：函数 的图形是将 轴的右边翻折到左边得到的，所以图形要有4个单调区间，在 轴的右边必须有 2个单调区间，即 轴的右边的图形必须有一条对称轴，也就是 . 考点：本小题主要考查二次函数配方法
2、研究其单调性，同时说明单调性与对称轴和开口方向有关 . 点评：解决本小题关键是根据函数的对称性画出函数的图象，看是否满足题意 . 已知 、 、 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A如果 ， 则 B如果 ， 则 、 、 共面 C如果 ， 则 D如果 、 、 共点则 、 、 共面 答案： A 试题分析： ， ，则则 、 、 可能共面也可能不共面，如三棱柱的三条侧棱；直线的垂直不具备传递性，所以 C 错误； 、 、 共点也可能异面，如三棱锥的三条侧棱，所以 D错误，只有 A正确 . 考点：本小题主要考查空间中直线之间的位置关系，考查学生的空间想象能力和推理能力 . 点评：考查空间中直线
3、、平面之间的位置关系，要紧扣相关的判定定理和性质定理，定理中要求的条件要缺一不可 . 若 是关于 的实系数方程 的一根，则该方程两根的模的和为（ ） A B C 5 D 10 答案： B 试题分析：因为 是关于 的实系数方程 的一根，所以 是该方程的另一个根，所以该方程两根的模的和为 . 考点：本小题主要考查实系数方程的复数根的性质和复数的模的运算，考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：实系数方程的两个复数根互为共轭复数 . 填空题 已知集合 ， ，则 答案： 试题分析：由题意知 ， ，所以 . 考点：本小题主要考查二次不等式和含绝对值的不等式的解法和集合的运算，考查学生的运
4、算求解能力 . 点评：集合的运算一般要借助数轴辅助求解 . 设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值等于 答案： 试题分析：点 在曲线 上，点 在曲线 上，而曲线与曲线 互为反函数，图象关于直线 对称，所以 的最小值等于曲线上的点到直线 的距离的最小值乘以 2即可，设，所以点 到直线 的距离所以 的最小值等于 . 考点：本小题主要考查互为反函数的两个函数的判定和反函数的性质的应用，考查学生对问题的转化能力和运算求解能力 . 点评：解决本小题的关键是分析出两个函数互为反函数，图象关于 对称 . 设定义在 上的函数 是最小正周期为 的偶函数，当 时，且在 上单调递减，在 上单调递增，则函数在
5、 上的零点个数为 答案 ： 试题分析：根据题意画出函数的简图，可知在每个周期上 与 都有两个交点，即函数 有两个零点，而 包括 10个周期，所以在 上的零点的个数为 20. 考点：本小题主要考查函数的性质的应用和函数零点个数的判断，考查学生数形结合思想的应用 . 点评：一般函数的零点个数问题都要转化为两个函数的交点个数问题，这就要求能根据题意画出符合要求的简图 . 等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 答案： 试题分析：因为 是等差数列，所以 , 所以 考点：本小题主要考查等差数列的性质的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：解题时灵活运用等差数列的性质，能简化运算过程 . 已知正实数 、
6、 满足 ，则 的最小值等于 答案： 试题分析：因为 ，所以，即 的最小值等于 9. 考点：本小题主要考查基本不等式的应用，考查学生转化问题的能力 . 点评：解决本小题的关键在于将已知条件转化，进而用 “1”的整体代换 . 在 中， ， 且 ，则 的面积等于 答案： 或 试题分析：在 中， ， 且 ，根据余弦定理可得：，代入数据计算可得 ,或 ，根据三角形的面积公式 可以求得 的面积等于 或 . 考点：本小题主要考查三角形中正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查学生转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：正弦定理和余弦定理在解三角形中应用十分广泛，具体用哪个公式，要根据题目灵活选择 .
7、 在等比数列 中，已知 ， ，则 答案： 试题分析：因为 是等比数列，又 ， ，所以 ，因为 所以 ， 所以 所以 考点：本小题主要考查等比数列的性质的应用和基本量的求解和前 n 项和的计算以及极限的计算，考查学生的运算求解能力 . 点评：解决本小题时要注意 所以 . 已知向量 ， ， ， ，如果 ，则实数 答案： 试题分析： ， ，因为 ，所以考点：本小题主要考查向量的坐标运算 . 点评：两个向量垂直，则它们的数量积等于零 . 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是 答案： 试题分析：从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、
8、（乙，丁）、（丙，丁）六种取法，其中甲被选中有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）三种，所以甲被选中的概率为考点：本小题主要考查古典概型概率的求解 . 点评：求古典概型概率时，要保证每一个基本事件都是 等可能的 . 双曲线 的两条渐近线的夹角大小等于 答案： 试题分析：双曲线 的两条渐近线为 ，倾斜角分别为，所以两直线的夹角为 . 考点：本小题主要考查双曲线渐近线的求解和两直线的夹角的计算，考查学生的运算求解能力 . 点评：求两条直线的夹角时，要注意到两条直线的夹角的取值范围 . 已知 ，则 答案： 试题分析：由 可得 ，所以考点：本小题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，考查学生的运算求解能
9、力 . 点评：同角三角函数的基本关系式应用十分广泛，应用平方关系时要注意角的范围 . 在下面的程序框图中，输出的 是 的函数，记为 ，则答案： -1 试题分析：由程序框图知，该程序框图时条件结构，所以当输入 时，所以 考点：本小题主要考查程序框图的理解和应用以及反函数的求值 . 点评：读懂程序框图一般难度不大，认真理解即可，而 其实是求当函数值为 时输入的自变量的值，不必求反函数 . 关于 的方程 （其中 是虚数单位），则方程的解 答案： 试题分析： 考点：本小题主要考查三阶行列式的计算和复数的计算，考查学生的运算求解能力 . 点评：三阶行列式和复数的计算都是高考常考的 内容，要仔细计算，一般
10、难度较低 . 若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，所以 . 考点：本小题主要考查基本不等式的应用和恒成立问题的求解，考查学生转化问题的能力和运算求解能力。 点评：应用基本不等式要注意 “一正二定三相等 ”三个条件缺一不可，而恒成立问题，通常转化为求最值问题解决 . 解答题 （本题满分 12分）在正四棱锥 中，侧棱 的长为 ， 与所成的角的大小等于 （ 1）求正四棱锥 的体积； （ 2）若正四棱锥 的五个顶点都在球 的表面上，求此球 的半径 答案： (1) （立方单位） (2) 试题分析：（ 1）取 的中点 ，记正方形 对角线的交点为 ，连， ，
11、 ，则 过 ， ， 又 ， ，得 . 4 分 ， 正四棱锥 的体积等于 （立方单位） 8 分 （ 2）连 ， ，设球的半径为 ，则 ， ， 在 中有 ，得 。 12 分 考点：本小题主要考查正四棱锥体积的计算和正四棱锥的外接球的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评：对于此题，关键是找清楚边角之间的关系，套用公式计算即可 . （本题满分 14 分）已知函数 （ 1）求函数 的最小正周期，最大值及取最大值时相应的 值； （ 2）如果 ，求 的取值范围 答案：（ 1） 的最小正周期等于 ，当 时， 取得最大值 2 （ 2） 试题分析：（ 1）， 6 分 的最小正周期等于 当 ， 时，
12、 取得最大值 2. 10 分 （ 2）由 ，得 ， ， 的值域为 . 14 分 考点：本小题主要考查三角函数的化简和求值，以及三角函数的图象和性质的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：三角函数的化简和求值是高考中常考的内容，难度一般不大，要仔细运算，另外，写函数的单调区间时不要漏掉 （本题满分 14分）已知圆 （ 1）直线 ： 与圆 相交于 、 两点，求 ； （ 2）如图，设 、 是圆 上的两个动点，点 关于原点的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，如果直线 、 与 轴分别交于 和 ，问 是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由 答案：（ 1） （ 2）分别求出直线 、 ，令 可以
13、求得，进而求得 试题分析：（ 1）由圆心到直线的距离公式得 圆心 到直线 的距离 ，圆的半径 ， 4 分 （ 2）因为 ， ， 则 ， ， ， 8 分 ： ，得 ： ，得 12 分 . 14 分 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系的应用和直线方程的求解，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：当直线与圆相交求弦长时，要注意半径、半弦长和圆心到直线的距离构成一个直角三角形，利用这个三角形求解可以简化计算 . （本题满分 16分）数列 的前 项和记为 ，且满足 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求和 ； （ 3）设有 项的数列 是连续的正整数数列，并且满足： 问数列 最多
14、有几项？并求这些项的和 答案：（ 1） （ 2） （ 3）数列 最多有 9项，和为 63. 试题分析：（ 1）由 得 ， 相减得 ，即 又 ，得 ， 数列 是以 1为首项 2为公比的等比数列， 5 分 （ 2）由（ 1）知 . 10 分 （ 3）由已知得 又 是连续的正整数数列， 上式化为 12 分 又 ，消 得 ，由于 ， ， 时， 的最大值为 9. 此时数列的所有项的和为 . 16 分 考点：本小题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，以及公式法、分组法等求数列的前 n项的和，考查学生转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：由数列的递推公式求数列的通项公式有累加、累乘和构造新数列法，求
15、数列的前 n项和有公式法、分组法、错位相减法和裂项相消法等 . （本题满分 18分）如果函数 的定义域为 ，对于定义域内的任意，存在实数 使得 成立，则称此函数具有 “ 性质 ” （ 1）判断函数 是否具有 “ 性质 ”，若具有 “ 性质 ”求出所有 的值；若不具有 “ 性质 ”，请说明理由 （ 2）已知 具有 “ 性质 ”，且当 时 ，求在 上的最大值 （ 3）设函数 具有 “ 性质 ”，且当 时， 若与 交点个数为 2013个，求 的值 答案：（ 1） 具有 “ 性质 ”，其中 （ 2）当 时， ；当 时， （ 3） 试题分析：（ 1）由 得 ， 根据诱导公式得 具有 “ 性质 ”，其中 4 分 （ 2） 具有 “ 性质 ”， 设 ，则 ， ， 6 分 当 时， 在 递增， 时 ， 当 时， 在 上递减，在 上递增，且， 时 ， 当 时， 在 上递减，在 上递增，且， 时 综上所述： 当 时， ；当 时， . 11 分 （ 3） 具有 “ 性质 ”， ， ， ， 从而得到 是以 2为周期的函数 又设 ，则 ， 再设 （ ）， 当 （ ）， 则 ， ； 当
