1、2013届湖北省黄梅一中高三最后一次综合测试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 为虚数单位，则复数 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： 考点：复数运算 点评：复数运算时分子分母同乘以分母的共轭复数 已知函数 ，若 互不相等，且 ，则的取值范围是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：做出函数 图像，在 内是三角函数，恰好半个周期，在 内是对数函数，设 关于 对称，考点：函数图像与性质 点评：求解本题需采用数形结合法，借助于观察函数图像与三角函数对称性求和取值范围 设定义在 上的函数 ，若关于 的方程 有3个不同实数解 、 、 ，且 ，则下列说法中错误的是（ ） A B
2、C D 答案： C 试题分析：关于 的方程 有 3个不同实数解，只有 时 的值有三个，此时 ， ， ， 代入得 考点：函数性质与方程的根 点评：本题中由方程 有 3个不同的解得出 是求解的关键 已知实数 , , 构成一个等比数列 ,则圆锥曲线 的离心率为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： , , 构成一个等比数列 ，双曲线为 ， 考点：等比数列及双曲线性质 点评：若 成等比数列，则 ，在双曲线中有 ，离心率 设 ，且 ， ，则 等于（ ） A B C D 或 答案： A 试题分析： ， ，,两式平方相加得， 考点：三角函数化简求值 点评：求角的大小通常先求角的某一三角函数值，结合
3、角的范围求其值 如图是 2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：剩余数据为 84,84,84,86,87，平均数为 ，方差为 考点：茎叶图与平均数方差 点评：数据 的平均数 ， 方差 执行右边的程序框图 ,输出的结果是 ,则 处应填入的条件是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：程序执行过程中数据的变化如下：成立，输出 18，所以 考点：程序框图 点评：程序框图题关键是分析清楚循环结构执行的次数 如果数列 ， ， ， ， ， 是首项为 ，公
4、比为 的等比数列，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意知 ，各式相乘得 考点：等比数列通项 点评：等比数列 中，首项 ，公比 ，则通项为 已知条件 ： ，条件 ： ，则 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 答案： A 试题分析： ： ， ： 或 ，则 是 的充分 不必要条件 考点：充分条件与必要条件 点评：命题：若 则 是真命题，则 是 的充分条件， 是 的必要 条件 设全集 ，集合 ， ，则图中的阴影部分表示的集合为 A B C D 答案： B 试题分析：阴影部分表示 考点：集合的交并补运算 点评：集合 A补集是由属于
5、全集但不属于 A的元素构成的集合，交集是由两集合的相同元素构成的集合 填空题 对于任意实数 ，不等式 恒成立时，若实数 的最大值为 3，则实数 的值为 答案：或 -8 试题分析：不等式 恒成立时，若实数 的最大值为 3，所以的最小值为 3，可看做数轴上表示 x的点到 1的距离与到 的距离的 2倍之和最小为 3，当 时 到 1的距离为 3， ，当 时 到 1的距离为 3， ，所以实数 为 4或 -8 考点：绝对值不等式 点评：本题结合绝对值的几何意义求解较简便，几何意义： 表示数轴上 对应的点与 对应的点间的距离 在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 为参数， 以为极点， 轴正半轴为极轴，并取相同
6、的单位长度建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 当圆 上 的点到直线 的最大距离为 时，圆的半径 答案： 试题分析：圆 的参数方程为 化为直角坐标方程为，直线 的极坐标方程为 化为，圆心到直线的距离为 考点：参数方程与极坐标方程，直线与圆的位置关系 点评：参数方程化普通方程只需消去参数，极坐标 与直角坐标 的互化：，圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径 已知数列 是等比数列， 是其前 项和若 ，且 与 的等差中项为 ，则 答案： 试题分析：由 得 ， 与 的等差中项为 ，考点：等比数列通项求和 点评：等比数列通项公式 及 ，当 时 若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则此几何体的
7、体积是 答案： 试题分析：由三视图可知该几何体上半部分是圆台，两底面圆的半径分别为 2,4，高为 3，所以体积 ，下半部分是半球，体积，所以总体积为 考点：三视图和几何体体积 点评：先由三视图的特点得到几何体的形状，结合相应的几何体的体积公式计算求解 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，点是梯形 内（包括边界）的一个动点，点 是 边的中点，则 的最大值是 _ 答案： 试题分析： ， 可看作 在向量上的射影，结合图形可知当点 重合时，射影最大，此时 取得最大值，在 中 考点：向量的数量积 点评：本题首先要结合图形及向量的射影找到满足最大值的点 M的位置，在通过解三角形得到向量的模及其夹角，求出
8、数量积 若 满足条件 ，则目标函数 的最大值是 答案： 试题分析：可行域是由三条直线 的交点围成的三角形，平移直线 可知当过直线 的交点 时目标函数取得最大值 12 考点：线性规划求最值 点评：线性规划问题出现最值的点在可行域的边界或顶点处 解答题 在 ABC中 ,角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c,且 ( )求 的值 ; ( )若 ,且 ,求 的值 . 答案： ( ) ( ) 试题分析： ( )由正弦定理 ,得 , 2分 所以 , 即 4分 所以 ,又 . 所以 5分 因为 ,所以 6分 ( )由 ,得 , 由 ( )知 ,所以 8分 又因为 ,即 , 所以 10分 由 式解得
9、12分 考点：正余弦定理解三角形 点评：在解三角形的题目中常用正弦定理 ，余弦定理实现边与角的互相转化 为丰富高三学生的课余生活，提升班级的凝聚力，某校高三年级 6个班（含甲、乙）举行唱歌比赛比赛通过随机抽签方式决定出场顺序 求：（ 1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率； （ 2）比赛中甲、乙两班之间的班级数记为 ，求 的分布列和数学期望 答案：（ 1） （ 2） 0 1 2 3 4 试题分析：（ 1）设 “甲、乙两班恰好在前两位出场 ”为事件 ，则 所以 甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为 4分 （ 2）随机变量 的可能取值为 . ， ， ， 10分 随机变量 的分布列为： 0 1 2 3
10、4 因此 ， 即随机变量 的数学期望为 . 12分 考点：概率与分布列期望 点评：求分布列的主要步骤： 1，找到随机变量可以取的值， 2，求出各随机变量值对应的概率， 3汇总成分布列，其中求概率考查的是古典概型概率 如图所示，在四面体 中， ， ， 两两互相垂直，且 （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）求二面角 的大小； （ 3）若直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长度 答案：（ 1） ， ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1） ， ， 平面 又 平面 ， 平面 平面 4分 （ 2） ， ， 平面 是二面角 的平面角 6分 在 中， ， 二面角 的大
11、小为 8分 （ 3）过点 作 ，垂足为 ，连接 平面 平面 ， 平面 ， 为 与平面 所成的角 10分 在 中， ， 又 在 中， ， ， 在 中， 12分 考点：空间线面垂直的判定和性质及二面角线面 角 点评：面面垂直的判定主要利用垂直的判定定理和性质定理，本题中的二面角线面角求解时现根据定义做出相应的角，再通过解三角形求出角的大小 已知函数 （ 1）证明函数 的图像关于点 对称 ; （ 2）若 ，求 ； （ 3）在（ 2）的条件下，若 ， 为数列 的前 项和，若 对一切 都成立，试求实数的取值范围 答案：（ 1）函数 的定义域为 ，设 、 是函数图像上的两点 , 其中 且 ,则有，因此函数
12、图像关于点 对称（ 2） （ 3） 试题分析：（ 1） 证明：因为函数 的定义域为 ， 设 、是函数 图像上的两点 , 其中 且 , 则有 因此函数图像关于点 对称 4分 （ 2）由（ 1）知当 时， + 得 8分 （ 3）当 时， 当 时， ， 当 时， = （ ） 又 对一切 都成立，即 恒成立 恒成立，又设 , 所以 在上递减 ,所以 在 处取得最大值 ，即 所以 的取值范围是 12分 考点：函数对称性，求最值与数列求和 点评：证明函数 关于点 对称只需证明 ，第二问数列求和结合通项的特点采用倒序相加法，第三问将不等式恒成立转化为求函数最值，进而可借助于导数求解 已知中心在坐标原点焦点在
13、 轴上的椭圆 C,其长轴长等于 4,离心率为 ( )求椭圆 C的标准方程 ; ( )若点 (0,1), 问是否存在直线 与椭圆 交于 两点 ,且？若存在 ,求出 的取值范围 ,若不存在 ,请说明理由 . 答案： ( ) ( ) 存在这样的直线 ,其斜率 的取值范围是 试题分析： ( )由题意可设椭圆的标准方程为 1分 则由长轴长等于 4,即 2a=4,所以 a=2 2分 又 ,所以 , 3分 又由于 4分 所求椭圆 C的标准方程为 5分 ( )假设存在这样的直线 ,设 , 的中点为 因为 所以 所以 (i)其中若 时 ,则 ,显然直线 符合题意 ; (ii)下面仅考虑 情形 : 由 ,得 ,
14、,得 7分 则 8分 代入 式得 ,即 ,解得 11分 代入 式得 ,得 综上 (i)(ii)可知 ,存在这样的直线 ,其斜率 的取值范围是 13分 考点：椭圆方程性质及直线与椭圆的位置关系 点评：直线与椭圆相交时常将直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理找到根与系数的关系，进而将 转化为点的坐标表示，其中要注意条件 不要忽略 已知函数 . （ 1）若 在 上的最大值为 ，求实数 的值； （ 2）若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）在（ 1）的条件下，设 ，对任意给定的正实数 ，曲线 上是否存在两点 、 ，使得 是以 （ 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 轴上？请说明理由。 答案：（ 1） （ 2） （ 3）对任意给定的正实数 ，曲线 上总存在两点 ，使得 是以 （ 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 轴上 试题分析：（ 1）由 ，得 ， 令 ，得 或 列表如下： 0 0 0 极小值 极大值 ， ， ， 即最大值为 ， 4分 （ 2）由 ，得 ，且等号不能同时取， ， 恒成立，即 令 ，求导得， ， 当 时， ，从而 相关试题 2013届湖北省黄梅一中高三最后一次综合测试数学试卷（带）
