1、2013届山东省济南市高三 3月高考模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，则 A B C D 答案： C 试题分析： ， ， ,选 C 考点：本题考查了集合的运算 点评：求解集合运算问题可应用数轴或韦恩图来描述 “交 ”“并 ”“补 ”运算 .，从而使抽象问题形象化，增加计算的准确性 . 设 ,则下列关系式成立的是 A B C D 答案： C 试题分析： ， ， ， ， 。因为 ， ，所以 。 ，所以 ，即 ，所以 ，选 C 考点：本题考查了定积分的运用及指数幂的运算 点评：熟练掌握定积分的运算及指数幂的运算法则是解决此类问题的关键，属基础题 一个几何体的三视图
2、如右图所示，则它的体积为 A B C D 答案： B 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个放到的四棱锥， 其中四棱锥的底面是主视图，为直角梯形，直角梯形的上底为 1，下底为 4，高为 4.棱锥的高位 4，所以四棱锥的体积为 ，选 B. 考点：本题考查了三视图的运用 点评：解决三视图问题的关键是还原空间几何体，然后再利用相关公式求解即可 右图是函数 在区间 上的图象为了得到这个函数的图象，只需将 的图象上所有的点 A向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 C向左平移 个单位长度，再把所得
3、各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 答案： A 试题分析：由图象知 , ， ，所以 。所以。由 ，得 ，所以。所以为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标 缩短到原来的 倍，纵坐标不变，选 A. 考点：本题考查了三角函数图象的变换 点评：熟练掌握三角函数图象的变换法则是解决此类问题的关键，属基础题 已知直线 与圆 相交于 两点，且 则 的值是 A B C D 0 答案： A 试题分析：在三角形 中， ，所以，所以 ,选 A 考点：本题考查了直线与圆的位置关系 点评
4、：利用几何法解决直线与圆的相交问题是此类问题的常用方法，属基础题 二项式 的展开式中常数项是 A 28 B -7 C 7 D -28 答案： C 试题分析： 二项式 的展开式的通项公式为，由 得 ， 常数项为，选 C 考点：本题考查了二项式展开式的运用 点评：二项式内容主要有四点： (1)考查二项式定理的展开式中的项及通项公式；（ 2）二项展开式系数的性质；（ 3）二项式定理的应用（如整除问题、近似值问题）；（ 4）二项式和其他知识的交汇 . 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 A B C D 答案： D 试题分析：第一次循环， ；第二次循环，；第三次循环， ；第四次循环，；第五
5、次循环， ；第六次循环，不满足条件 输出 ，选 D. 考点：本题考查了程序框图的运用 点评：读懂程序结构，然后利用相关的知识去处理是解决程序框图问题的关键 函数 的图象是 A B C D 答案： B 试题分析： ，排除 A. 无意义，排除 D. ,排除 C,选 B. 考点：本题考查了函数的图象 点评：处理函数图象问题时，往往利用排除法解决，属基础题 “ ”是 “函数 在区间 上为增函数 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析： 函数 的单调增区间为 ，减区间为 ， 当 时，增区间为 ，所以在 上也递增。当 在区间 上为增函数，则有 ，
6、所以 不一定成立，所以 “ ”是 “函数 在区间上为增函数 ”的充分不必要条件，选 A 考点：本题考查了函数的单调性及充要条件的判断 点评：通过集合的包含或相等关系来确定充分、必要条件。当 M N 时，为充分不必要条件；当 N M时，为必要而不充分条件；当 M=N 时，为充要条件 已知实数 满足 ，则目标函数 的最小值为 A B 5 C 6 D 7 答案： A 试题分析：由 得 。作出不等式 对应的平面区域 BCD, 平移直线 ，由平移可知，当直线 经过点 C时，直线的截距最大，此时 最小。由 ，解得 ，即 ,代入 得最小值为 ，选 A. 考点：本题考查了线性规划的运用 点评：正确作出可行域是
7、解决此类问题的关键，另外还要掌握常见线性规划问题的解法 某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数 、 和中位数 进行比较，下面结论正确的是 A B C D 答案： B 试题分析：从茎叶图可知，甲的数据集中在 20到 30之间，乙的数据集中 在 30到 40之间，所以 。甲的中位数为 ，而乙的中位数为，所以 ，选 B. 考点：本题考查了茎叶图的运用 点评：掌握茎叶图的概念及熟练求解平均数、中位数是解决此类问题的关键，属基础题 已知复数 （ 是虚数单位），它的实部和虚部的和是 A 4 B
8、 6 C 2 D 3 答案： C 试题分析： ， 实部为 ，虚部为 ，实部和虚部的和为 ，选 C. 考点：本题考查了复数的运算 点评：掌握复数的概念及运算是解决这类问题的关键 .复数乘除运算是运算复数的难点，也是复数考查的必考内容，在乘法运算中，类比多项式的乘法，但要注意 i的幂的性质 填空题 已知 则函数的零点个数为 答案： 试题分析：由 ，即 ，解得 。又，解得 或 。当 时，解得 或 ，当 时，解得 或 ，由，所以 。由 ，所以。由 ，所以 。 由 ，所以 。所以共有 8个零点。 考点：本题考查了函数的零点 点评：研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法、单调性分析法 函数 的部
9、分图象如图所示，设 是图象的最高点，是图象与 轴的交点，则 答案： 试题分析： 函数的最大值是 1，周期 ,则 , ,则 ， 考点：本题考查了三角函数与三角形的运用 点评：熟练掌握两角和差公式是解决此类问题的关键，属基础题 已知抛物线 的焦点 恰好是双曲线 的右顶点，且渐近线方程为 ，则双曲线方程为 答案： 试题分析： 抛物线的焦点坐标为 ，即 。双曲线的渐近线方程为，即 ， 双曲线的方程为 考点：本题考查了圆锥曲线的性质 点评：熟练掌握圆锥曲线的性质是解决此类问题的关键，属基础题 若点 在直线 上，其中 则 的最小值为 答案： 试题分析： 点 在直线 上， ，即 ， ，当且仅当，即 时取等号
10、。所以 的最小值为 2. 考点：本题考查了基本不等式的运用 点评：此题不能直接应用基本不等式，要注意 “ ”的代换，注意三个条件：正数、定值、等号成立的条件 解答题 已知 ， ，且 （ 1）将 表示为 的函数 ，并求 的单调增区间； （ 2）已知 分别为 的三个内角 对应的边长，若 ，且 ， ，求 的面积 答案：（ 1）增区间为 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由 得 , 2分 即 4分 ， 5分 ，即增区间为 6分 （ 2）因为 ，所以 ， ， 7分 8分 因为 ，所以 9分 由余弦定理得： ，即 10分 ，因为 ，所以 11分 . 12分 考点：本题考查了三角函数的性质及正余弦的定理 点
11、评：此类问题综合性强，要求学生熟练掌握有关正余弦定理及其变形的运用外，还要灵活运用三角函数的性质求最值 已知四棱锥 的底面 是等腰梯形， 且 分别是的中点 （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的余弦值 答案：（ 1）利用线面垂直证明线线垂直；（ 2） 试题分析：（ 1） 分别是 的中点 . 是 的中位线， 2分 由已知可知 - 3分 -4分 -5 分 -6分 （ 2）以 所在直线为 x轴， y轴， z轴，建系 由题设， ， 7分 8分 设平面 的法向量为 可得 ， -10分 平面 的法向量为 设二面角 为 ， -12分 考点：本题考查了空间中的线面关系 点评：高考中常考查空间中平行关系与垂直
12、关系的证明以及几何体体积的计算，这是高考的重点内容 .证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理 数列 的前 项和为 ， ， ，等差数列 满足 （ 1）分别求数列 ， 的通项公式； （ 2）设 ，求证 答案：（ 1） （ 2）因为 ，所以，所以 试题分析：（ 1）由 - 得 - ， 得 ， 2分 ； 3分 4分 6分 （ 2）因为 8分 所以 9分 所以 10分 11分 所以 12分 考点：本题考查了数列通项公式及前 n项和 点评：数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也
13、是一种趋势随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前 n项的和等等 某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加 A、 B、 C、 D、 E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的，该生参加 A、 B、 C、 D四项考试不合格的概率均为 ，参加第五项不合格的概率为 （ 1）求该生被录取的概率； （ 2）记该生参加考试的项数为 ，求 的分布列和期望 答案：（ 1） P= （ 2） 2 3 4 5 试题分析：（ 1）若该生被录取，则前四项
14、最多有一项不合格，并且第五项必须合格 记 A=前四项均合格 ， B=前四项中仅有一项不合格 则 P(A)= 2分 P(B)= 4分 又 A、 B互斥，故所求概率为 P=P(A)+P(B)= 5分 （ 2）该生参加考试的项数 可以是 2， 3， 4， 5. ， ， 9分 2 3 4 5 10分 12分 考点：本题考查了随机变量的概率与期望 点评：本题考查了随机事件的概率及随机变量的分布列、期望的综合运用，考查了学生的计算能力及解决实际问题的能力，掌握求分布列的步骤及期望公式是解决此类问题的关键 设函数 . （ 1） 求 的单调区间与极值； （ 2）是否存在实数 ，使得对任意的 ，当 时恒有成立若
15、存在，求 的范围，若不存在，请说明理由 答案： (1) 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 . 极小值 = (2) . 试题分析： (1) .令 ，得 ； 1分 列表如下 - 0 + 极小值 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 . 4分 极小值 = 5分 (2) 设 ，由题意，对任意的 ，当 时恒有 ，即 在 上是单调增函数 . 7分 8分 , 令 10分 若 ，当 时， ， 为 上的单调递增函数， ,不等式成立 . 11分 若 已知椭圆 的离心率为 ,且过点 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）四边形 ABCD的顶点在椭圆上，且对角线 A C、 BD过原点 O，若, （ i） 求 的最值 （
16、 ii） 求证：四边形 ABCD的面积为定值； 答案： (1) . (2)(i) 的最大值为 2. (ii).即 ,四边形 ABCD的面积为定值 试题分析： (1)由题意 ， ，又 ， 2分 解得 ,椭圆的标准方程为 . 4分 (2)设直线 AB的方程为 ，设 联立 ，得 - 6分 7分 = 8分 9分 (i) 当 k=0(此时 满足 式 ),即直线 AB平行于 x轴时， 的最小值为 -2. 又直线 AB的斜率不存在时 ，所以 的最大值为 2. 11分 (ii)设原点到直线 AB的距离为 d，则 . 即 ,四边形 ABCD的面积为定值 13分 考点：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系 点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式 .
