1、2013届吉林省吉林市高三三模（期末）文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： . 考点：复数代数形式的乘法、除法运算 . 已知 ，并设： ， 至少有 3个实根； 当 时，方程 有 9个实根； 当 时，方程 有 5个实根 . 则下列命题为真命题的是 ( ) A B C仅有 D 答案： A 试题分析：由题可得 : 命题中，若 时，命题为假命题，则 为真命题； 命题中，若 ， ，所以为假命题； 为真命题，所以选项A为真命题 . 考点：函数图象应用，逻辑连接词 “或 ”“且 ”的应用 . 下列说法错误的是 ( ) A 是 或 的充分不必要条件 B若命
2、题 ，则 C线性相关系数 的绝对值越接近 ，表示两变量的相关性越强 . D用频率分布直方图估计平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之和 . 答案： D 试题分析： A选项中举例 ； B选项是全称命题的否定； C中描述正确； D还需要乘上频数才可以 . 考点：命题真假的判定 . 中心为 , 一个焦点为 的椭圆 ,截直线 所得弦中点的横坐标为 ，则该椭圆方程是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，设椭圆方程为： ，联立方程得， ，由韦达定理：，所以椭圆方程为 . 考点：椭圆标准方程的表示，韦达定理在中点弦中的应用 . 为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ） A向右平移
3、 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 答案： B 试题分析： ,由 ，只需向右平移 个单位长度 . 考点：函数图象的平移 . 若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：直线平分圆周，则直线过圆心 ，则 ，. 考点：直线与圆的位置关系；基本不等式 . 某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：该几何体是有两个全等的正四棱锥组成，故体积为. 考点：三视图下空间几何体的体积计算 . 若程序框图如图所示 ,则该程序运行后
4、输出 的值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 答案： A 试题分析： 为奇数，则 为偶数，则 为偶数，则 为偶数，则 为偶数，则 满足条件，输出 考点：程序框图之循环结构、条件结构的应用 . 已知点 在不等式组 表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 画出不等式表示的平面区域，确定该区域边界的交点坐标分别是，代入目标函数 得范围是 . 考点：线性规划条件下求目标函数最优解问题 . 集合 ，集合 ,则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，. 考点：集合的交集、补集运算 . 双曲线 的渐近线为（ ） A B C D 答案： B 给出下
5、列函数 ，其中是奇函数的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为函数是减函数，所以满足 即可，代入验证 . ,所以为奇函数； ，所以为奇函数， 为偶函数 为非奇非偶函数 . 考点：给定函数的奇偶性的判断 . 填空题 在 中，角 所对的边分别为 满足 ，, ,则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：由 得 ， 得 为钝角，故，由正弦定理可知：， ，所以. 考点：正余弦定理，辅助角公式 . 下列命题中正确的是 （填上你认为所有正确的选项） 空间中三个平面 ，若 ，则 空间中两个平面 ，若 ,直线 与 所成角等于直线 与 所成角 , 则 . 球 与棱长为 正四面体各面都相切，则该球的表面
6、积为 ； 三棱锥 中， 则 . 答案： 试题分析： ； 同理； 中可得球半径为 ； 中由得到 在底面 的投影为 的垂心，故 . 考点：空间几何体下命题真假的判定 . 今年 “3 5”，某报社做了一次关于 “什么是新时代的雷锋精神？ ”的调查，在A、 B、 C、 D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收 1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为 150的样本，若在 B单位抽 30份，则在 D单位抽取的问卷是 份 . 答案： . 试题分析：由题可设 A、 B、 C、 D四个单位各抽取 ，则，所以 D单位抽取的问卷为 60份 . 考点：抽样方法；等差数列求某项 . 与 共线，
7、则 . 答案： 试题分析： 所以 . 考点：向量共线的坐标运算 . 解答题 极坐标系中椭圆 C的方程为 以极点为原点，极轴为 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度 . （ ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为 ，求 的取值范围； （ ）若椭圆的两条弦 交于点 ，且直线 与 的倾斜角互补， 求证 : . 答案：（ ） （ ）详见 试题分析：将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果 . 试题： ( )该椭圆的直角标方程为 ， 2分 设 ， 所以 的取值范围是 4分 （ ）设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ， 则直线
8、 的参数方程为 （ 为参数），（ 5分） 代入 得： 即 7分 同理 9分 所以 （ 10分） 考点：极坐标、参数方程，换元法应用 . 如图，设 AB， CD为 O 的两直径，过 B作 PB垂直于 AB，并与 CD延长线相交于点 P，过 P作直线与 O 分别交于 E， F两点，连结 AE， AF 分别与CD交于 G、 H （ ）设 EF 中点为 ，求证： O、 、 B、 P四点共圆 （ ）求证 :OG =OH. 答案：（ ）详见 ;（ ）详见 . 试题分析：利用对角互补得到四点共圆，利用相似得到边长相等 . 试题：证明： ( ) 易知 ， 所以 四点共圆 . 3分 （ ）由 ( ) 过 作 于
9、 ,交 于 连结 由 , 所以 所以 四点共圆 . 6分 所以 ,由此 , 8分 是 的中点， 是 的中点，所以 ，所以 OG =OH 10分 考点：四点共圆证明；相似证明 . 已知 ， , 在 处的切线方程为 （ ）求 的单调区间与极值； （ ）求 的式； （ III）当 时， 恒成立，求 的取值范围 . 答案： ( ) 的增区间为 ，减区间为 ， . ( ) ，（ III） . 试题分析：利用导数求函数的单调性、极值，根据导数的几何意义求函数的式；利用导数判定最值的方法求参数的取值范围 . 试题： ( )令 ，得 ， 1分 当 时， ；当 时， . 的增区间为 ，减区间为 ， ， 3分 (
10、 ) ， ，所以 . 又 ， 所以 6分 （ III）当 时， ，令 当 时， 矛盾， 8分 首先证明 在 恒成立 令 ， ，故 为 上的减函数， ，故 10分 由（ ）可知 故当 时， 综上 12分 考点：导数的应用，导数的几何意义，导数最值的应用 . 已知 为抛物线 的焦点，抛物线上点 满足 （ ）求抛物线 的方程； （ ） 点的坐标为 ( , )，过点 F作斜率为 的直线与抛物线交于 、 两点， 、 两点的横坐标均不为 ，连结 、 并延长交抛物线于 、两点，设直线 的斜率为 ,问 是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由 . 答案：（ ） ，（ ） 试题分析：（ ）利用抛物线的定义得到
11、 ，再得到方程；（ ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算 的值 . 试题：（ ）由题根据抛物线定义 ， 所以 ，所以 为所求 2分 （ ）设 则 ，同理 4分 设 AC 所在直线方程为 ， 联立 得 所以 ， 6分 同理 (8分 ) 所以 9分 设 AB所在直线方程为 联立 得 ， 10分 所以 所以 12分 考点：抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用 . 如图，已知三棱锥 中， ， ， 为 中点，为 中点，且 为正三角形。 （ ）求证： /平面 ； （ ）求证：平面 平面 ； （ III）若 ， ，求三棱锥 的体积 . 答案：（ ）、（ ）详见（
12、III） . 试题分析：（ ）利用中位线性质得到线线平行，根据线面平行的判定判定直线与平面平行；（ ）利用正三角形中点得到线线垂直，根据平行推得线线垂直，利用直线与平面垂直判定面面垂直；（ ）利用三棱锥的体积公式计算体积 . 试题：（ ） M为 AB中点， D为 PB中点， MD/AP， 又 MD 平面 ABC DM/平面 APC 3分 （ ） PMB为正三角形，且 D为 PB中点 MD PB 又由（ 1） 知 MD/AP， AP PB 又已知 AP PC AP 平面 PBC， AP BC， 又 AC BC 7分 BC 平面 APC， 平面 ABC 平面 PAC， （ ） AB=20 MB=1
13、0 PB=10 又 BC=4， . . 又 MD . VD-BCM = VM-BCD = . 12分 考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定，三棱锥体积计算 . 已知某校在一次考试中， 5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生的编号 i 1 2 3 4 5 数学成绩 x 80 75 70 65 60 物理成绩 y 70 66 68 64 62 （ ）若在本次考试中，规定数学成绩在 70以上（包括 70分）且物理成绩在65分以上（包括 65分）的为优秀 . 计算这五名同学的优秀率； （ ）根据上表，利用最小二乘法，求出 关于 的线性回归方程 ， 其中 （ III）利用（ ）中的线性回归方
14、程，试估计数学 90分的同学的物理成绩 .（四舍五入到整数） 答案：（ ）所以这五名学生的优秀率为 40% ；（ ） ；（ III） 分 . 试题分析：（ ）概率计算；（ ）利用最小二乘法求得数学、物理成绩的平均分，进而求得线性回归方程 （ III）利用线性回归方程求值 . 试题：（ ）这五名学生中共有 2名数学成绩在 70以上且物理成绩在 65分以上 所以这五名学生的优秀率为 40% 3分 （ ） 5分 7分 ， 9分 所以 ， 10分 （ III）试估计数学 90分的同学的物理成绩为 分 12分 考点：概率计算，最小二乘法求线性回归方程 . 设等比数列 的前 项和为 ，已知对任意的 ，点
15、，均在函数 的图像上 . （ ）求 的值； （ ）记 求数列 的前 项和 . 答案：（ ） ，（ ） . 试题分析：（ ）利用数列前 n项和求通项得到 ，利用 计算得到； （ ）利用对数运算性质得到 ；进而得到 ，再利用裂项相消法求其前 n项和 . 试题：（ ）依题 1分 当 时 , , 2分 当 时 , , 4分 又因为 为等比数列 , 5分 所以 . 6分 （ ）另解： 1分 当 时 , , 2分 . 当 时 , , 4分 解得 6分 （ ）由（ 1） 7分 9分 所以 12分 考点：数列利用前 n项和求通项，裂项相消法求和 . 设 （ ）求函数 的定义域； （ ）若存在实数 满足 ，试求实数 的取值范围 . 答案：（ ） ， ，（ ） (-， -2) ， ) 试题分析：先将绝对值函数去绝对值，再求定义域，利用图像解不等式 . 试题：（ ） f(x) |x-3| |x-4| 2分 作函数 y f(x)的图象，它与直线 y 2交点的横坐标为 和 ，由图象知 不等式 的定义域为 ， 5分 （ ）函数 y ax-1的图象是过点 (0， -1)的直线 当且仅当函数 y f(x)与直线 y ax-1有公共点时，存在题设的 x 由图象知， a取值范围为 (-， -2) ， ) 10分 考点：含绝对值式，求定义域，图像法解不等式 .
