1、2013届吉林省吉林市普通中学高三上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 = A B C D 答案： B 试题分析：因为 = ， ， 所以 = ， = = 。 故选 B. 考点：本题主要考查集合的运算，简单不等式的解法。 点评：简单题，利用交集、补集的定义。 是属于 R不属于 M的元素构成的集合。 设函数 的定义域为 D，若存在非零实数 使得对于任意 ，有 ，且 ，则称 为 M上的 高调函数 . 现给出下列命题： 函数 为 R上的 1高调函数； 函数 为 R上的 高调函数； 如果定义域为 的函数 为 上 高调函数，那么实数 的取值范围是 ； 函数 为 上的 2高
2、调函数。 其中真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案： D 试题分析：首先理解 “高调函数 ”的定义：函数 的定义域为 D，若存在非零实数 使得对于任意 ，有 ，且 ，则称为 M上的 高调函数 . 据此研究四个函数： 对于 ，即 f（ x） =( )x。 f（ x+l） =( )x+l，要使 f（ x+l） f（ x），需要( )x+l( )x恒成立，只需 l0；所以 函数 为 R上的 1高调函数；不对； 对于 ， f（ x+1） =sin2（ x+1） sin2x=f（ x），当 l=时恒成立；所以函数 f（ x） =sin2x为 R上的 高调函数， 所以 对 ; 对于 ， f
3、（ x+m） =（ x+m） 2， f（ x） =x2,令（ x+m） 2x2，即 2mx+m20在恒成立， m0且 2m（ -1） +m20，解得 m2，故 对 ; 对于 函数 ，若其为 2高调函数， 则由 ，在 恒成立， 得 在 恒成立，而此恒成立，所以 对 故正确的命题个数是 3个， 故选 D。 考点：本题主要考查学生的阅读能力， 常见函数的性质。 点评：新定义问题，具有 较强的综合性。关键是阅读理解新定义内容，应用知识分析解决问题，利用数形结合的方法，应用图象解决问题，属中档题 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 的图像如图，那么不等式 的解集是 A B C D 答案： B 试题分析：
4、因为 是定义在 上的奇函数，所以其图象关于原点对称，由于在（ 0,1）， f(x)0，所以在（ -3， -1）， f(x)0,结合 知其解集为 ，故选 B。 考点：本题主要考查函数的奇偶性，函数图象，不等式的图象解法。 点评：典型题，利用函数的奇偶性，函数图象关于原点对称，由于在（ 0,1），f(x)0可推断出（ -3,0）的图象形态。也可以通过画出 cosx的图象观察。 曲线 的焦点 恰好是曲线 的右焦点，且曲线 与曲线 交点连线过点 ,则曲线 的离心率是 A B C D 答案： D 试题分析：因为曲线 的焦点 恰好是曲线的右焦点，所以 =c，即 p=2c，则抛物线焦点是 F（ c,0），则
5、由两曲线交点之一 (c， 2c)在双曲线上，得：， b2=2ac c2-2ac-a2=0， ，解得 e= ，故选 D。 考点：本题主要考查抛物线的几何性质，双曲线的几何性质 点评：小综合题，涉及圆锥曲线的几何性质 a,b,c,e关系的题目，常常出现。一般的，要运用函数方程思想，建立方程。本题中通过确定双曲线上的点的坐标并代入，得到 e的方程，达到解题目的。 已知函数 在 上满足 ，则曲线 在 处的切线方程是 A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，令 t=2-x， 则 x=2-t,f(t)=2(2-t) -7(2-t)+6=2t -t,即 f（ x） =2x -x， ，函数在 即（ 1,
6、1）的切线斜率为 3， 由直线方程的点斜式得切线方程是 ，故选 C。 考点：本题主要考查函数的式，导数的几何意义。 点评：基础题，导数的几何意义，导数的应用均是高考必考题目。这类题解得思路明确，注意书写规范。 右图是一个几何体的正视图和侧视图。其俯视图是面积为 的矩形。则该几何体的表面积是 A 8 B C 16 D 答案： B 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，底面如侧视图所示，由俯视图是面积为 的矩形，其一条边长为 ，所以三棱柱的高为 4，故几何体表面积为 24+24+ 4+ = ，选 B。 考点：本题主要考查三视图，几何体的表面积计算。 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因
7、此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。 已知某产品的广告费用 万元与销售额 万元的统计数据如表所示： （万元） 0 1 3 4 （万元） 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图分析， 与 线性相关，且 ，则据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A. 2.6万元 B. 8.3万元 C. 7.3万元 D. 9.3万元 答案： B 试题分析：因为回归直线 必过（ ），且 ，所以由4.5=0.952+ 得 =2.6，所以 ，将 x=6代入计算得 8.3，故选 B。 考点：本题主要考查回归直线方程。 点评：中档题，作为新增内容，统计类型的题目逐渐多了起来，涉及
8、回归直线方程的意义及应用问题，往往不难。注意回归直线必过点（ ）。 设 是正实数，函数 在 上是增函数，那么 的最大值是 A B 2 CD 3 答案： A 试题分析：因为 x ， ， 又函数 f（ x)=2sinx的增区间为 且 解得： 0 的最大值为 ，选 A。 考点：本题主要考查正弦函数的性质，简单不等式组的解法。 点评：简单题，作为选择题，我们可以利用将选项代入检验的方法。这里从y=sinx的单调区间入手考虑求解。 在 中， ，面积 ，则 等于 A 13 B C 7 D 答案： B 试题分析： A=60， b=3，面积 ， S= bcsinA= 3c = = ， c=4， 由余弦定理得
9、a2=b2+c2-2bc cosA=32+42-34=13， 开方得： a= 或 a=- （舍去）， 故选 B 考点：本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理，特殊角的三 角函数值。 点评：基础题，熟练掌握公式及定理是解本题的关键。利用函数方程思想，建立了 a的方程达到解题目的。 设 ， ， 均为直线，其中 ， 在平面 内， “ ”是 “ 且 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：因为 ， 在平面 内，所以 时， l 垂直于平面内的任何直线，且 ； 反之，若 ， 在平面 内，且 且 ，那么 不一定成立，因为m,n不一定是相交直线；
10、 即 “ ”是 “ 且 ”的充分不必要条件，故选 A。 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，充要条件的概念。 点评：基础题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。 已知 ， ，则下列结论正确的是 A B C 与 垂直 D 与 的夹角为 答案： C 试题分析：因为 ， ，不符合对应坐标成比例， A不对； ，所以 B不对； 因为 =（ 1， -1），（ ） =（ 1， -1） （ 1,1） =1-1=0，所以 与 垂直，选 C。 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量模的概念，平面
11、向量的夹角。 点评：简单题，本题较为综合地考查平面向量的基础知识。 若复数 满足 ，则 的虚部为 A B C D 答案： C 试题分析：由 得 ，所以 z的虚部为1，选 C。 考点：本题主要考查复数的代数运算 ,复数的概念。 点评：简单题，高考必考题型，往往比较简单。细心计算即可。 填空题 若关于 的方程 有四个不同的实数解，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：由于关于 x的方程 有四个不同的实根， x=0是此方程的 1个根， 故关于 x的方程 有 3个不同的非零的实数解 即方程 有 3个不同的非零的实数解， 即函数 y= 的图象和函数 g（ x） = 的图象有 3个交点， 画出函数 g（
12、 x）的图象，如图所示： 故 ， 的取值范围是 。 考点：本题主要考查函数图象，函数方程思想。 点评：中档题，涉及函数方程问题，有时利用数形结合法，通过画出函数图象，往往能形象直观的得出结论。本题关键是能认识到方程 有3个不同的非零的实数解。本题用代数方法讨论，比较繁琐。 已知 A、 B、 C三点在曲线 y= 上，其横坐标依次为 0， m,4(0 m 4)，当 ABC的面积最大时 ，折线 ABC与曲线 y= 所围成的封闭图形的面积为 . 答案： 试题分析： AC边长一定， 当点 B到直线 AC距离最大时， ABC的面积S最大 A（ 0， 0）， C（ 4， 2）， 直线 AC方程为 x-2y=
13、0 点 B（ m， ）到直线 AC距离 d= 0 m 4， 0 2，即 =1， m=1时， d最大，此时 ABC的面积 S最大 所以，折线 ABC与曲线 y= 所围成的封闭图形的面积为- = 。 考点：本题主要考查直线方程，点到直线的距离公式，换元法，二次函数的性质，定积分计算，面积公式。 点评：中档题，本题具有较强的综合性，考查知识点多。通过定积分计算得出曲边梯形的面积，利用间接法求得折线 ABC与曲线 y= 所围成的封闭图形的面积。 按右流程图，能够输出结果的概率是 . 答案： - 试题分析：可行域是由四条直线围城的正方形，其边长为 ，面积为 2； 按程序框图输出的点（ x， y）构成图形
14、是可行域挖去圆面 ， 面积为 2- =2- ； 由几何概型概率的计算公式得输出结果的概率是 =1- 。 考点：本题主要考查平面区域，程序框图，几何概型概率计算。 点评：小综合题，拼凑而成的小综合题，解的思路明确， 主要看对平面区域、程序框图、几何概型概率计算等基础知识的掌握情况。 已知数列 的前 n项和为 ， ，则 。 答案：； 试题分析：因为 ，所以 3； 当 时， =2n+1， 数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 3 =3（ 3+42）=33. 考点：本题主要考查 的关系，等差数列通项公式及其性质。 点评：简单题，等差数列是高考必考内容，特别是等差数列的性质，散见在例题、练习
15、题中，应注意总结汇总。 解答题 （本小题满分 10分） 已知函数 （ ）求函数 的最小正周期； （ ）确定函数 在 上的单调性并求在此区间上 的最小值 . 答案： ； （本小题满分 12分）已知数列 是等比数列， ，且 是的等差中项 . （ ） 求数列 的通项公式 ； （ ）若 ,求数列 的前 n项和 . 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）设数列 的公比为 q （ 1分） 是 的等差中项 解得 q =2 又因为 所以 （ 6分） 考点：本题主要考查等差中项、等比数列的的基础知识， “分组求和法 ”。 点评：中档题，本题综合考查等差数列、等比数列的基础知识，本解答从确定通项公式入
16、手，明确了所研究数列的特征。 “分组求和法 ”、 “错位相消法 ”、 “裂项相消法 “是高考常常考到数列求和方法。 （本小题满分 12分） 如图：四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是平行四边形， ACB 90，平面PAD 平面 ABCD， PA=BC=1， PD=AB= ,E、 F分别为线段 PD和 BC的中点 ( ) 求证： CE 平面 PAF； ( ) 在线段 BC上是否存在一点 G，使得平面 PAG和平面 PGC所成二面角的大小为 60？若存在，试确定 G的位置；若不存在，请说明理由 答案：（ 1）取 PA中点为 H，连结 CE、 HE、 FH，证出 HE AD, 由 ABCD是平行
17、四边形，且 F为线段 BC的中点 推出 FC AD, ， 从而进一步得出 CE 平面 PAF； （ 2）线段 BC上存在一点 G，使得平面 PAG和平面 PGC所成二面角的大小为60点 G即为 B点 试题分析：证明（ 1）取 PA中点为 H，连结 CE、 HE、 FH， 因为 H、 E分别为 PA、 PD的中点，所以 HE AD, , 因为 ABCD是平行四边形，且 F为线段 BC的中点 所以 FC AD, 所以 HE FC, 四边形 FCEH是平行四边形 所以 EC HF 又因为 所以 CE 平面 PAF 4 分 （ 2）因为四边形 ABCD为平行四边形且 ACB 90， 所以 CA AD
18、又由平面 PAD 平面 ABCD可得 CA 平面 PAD 所以 CA PA 由 PA=AD=1， PD= 可知， PA AD5 分 所以可建立如图所示的平面直角坐标系 A-xyz 因为 PA=BC=1， AB= 所以 AC=1 所以 假设 BC上存在一点 G，使得平面 PAG和平面 PGC所成二面角的大小为 60， 设点 G的坐标为（ 1， a， 0）， 所以 设平面 PAG的法 向量为 则 令 所以 又 设平面 PCG的法向量为 则 令 所以 9 分 因为平面 PAG和平面 PGC所成二面角的大小为 60，所以所以 又 所以 11 分 所以线段 BC上存在一点 G，使得平面 PAG和平面 P
19、GC所成二面角的大小为60点 G即为 B点 12 分 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤。本题利用向量简化了证明过程。把证明问题转化成向量的坐标运算，这种方法带有方向性。 （本小题满分 12分） 某校共有 800名学生，高三一次月考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表： 组号 第 一 组 第 二 组 第 三 组
20、第 四 组 第 五 组 第 六 组 第 七 组 第 八 组 合计 分组 频数 4 6 20 22 18 10 5 频率 0.04 0.06 0.20 0.22 0.15 0.10 0.05 1 ( ) 李明同学本次数学成绩为 103分，求他被抽中的概率 ； ( ) 为了了解数学成绩在 120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取 6名学生的成绩，并在这 6名学生中在随机抽取 2名由心理老师张老师负责面谈，求第七组至少有一名学生与张老师面谈的概率； ( ) 估计该校本次考试的数学平均分。 答案：（ 1）每位学生成绩被抽取的机会均等 ； （ 2） 抽取 2个的方法有 a
21、b ac ad aE aF bd bc bE bF cd cE cF dE dF EF， 共 15种。 至少含 E或 F的取法有 9种，概率为 ； （ 3）估计平均分为 110.4分。 试题分析：因为频率和为 1 所以 （ 1分） 因为频率 =频数 /样本容量 所以 （ 3分） （ 1）每位学生成绩被抽取的机会均等 （ 5分） （ 2） 在第六、七、八组共有 30个样本，用分层抽样方法抽取 6名学生的成绩，每个被抽取的概率为 。第七组被抽取的样本数为 。 将第六组、第八组抽取的样本用 a,b,c, d表示，第七组抽出的样本用 E,F表示。 抽取 2个的方法有 ab ac ad aE aF bd
22、 bc bE bF cd cE cF dE dF EF， 共 15种。 至少含 E或 F的取法有 9种，概率为 （ 9分） （ 3）75x0.04+85x0.06+95x0.2+105x0.22+115x0.18+125x0.15+135x0.1+145x0.05=110.4 估计平均分为 110.4分 （ 12分） 考点：本题主要考查抽样方法，频率的概念及计 算，古典概型概率的计算。 点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于 “树图法 ”，做到不重不漏。 （本小题满分 12分） 设函数 (
23、 ) 当 时，求函数 的最大值； ( )当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 的值 答案： (1) 的极大值为 ，此即为最大值； (2) 。 试题分析： (1)依题意，知 的定义域为 (0， )，当 时， 2 分 令 0，解得 ( ) 当 时， ，此时 单调递增；当 时， ，此时单调递减 所以 的极大值为 ，此即为最大值 4 分 (2)因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解， 设 ，则 令 ， 因为 ， ， 所以 (舍去 )， ， 6分 当 时， ， 在 (0， )上单调递减， 当 时， ， 在 ( ， )单调递增 当 时， 0， 取最小值 则 既 10 分 所以 ，因为 ，所以 (*)
24、设函数 ，因为当 时， 是增函数，所以 至多有一解 因为 ，所以方程 (*)的解为 ，即 ，解得12 分 (直接看出 x=1时， m=1/2但未证明唯一性的给 3分 ) 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及方程解的情况。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得出方程解的存在情况。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。 （本小题满分 12分） 已知 ， ， O为坐标原点，动点 E满足 : （ ） 求点 E的轨迹 C的方程； （ ）过曲线 C上的动点 P向圆 O： 引两条切线 PA、 PB，切点分别为 A、 B，直线 AB与 x轴、 y轴分别交于 M、 N两点，求 MON面积的最小值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： ， ， ， 考点：本题主要考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，基本不等式的应用。 点评：中档题，本题以平面向量为工具，利用向量模的几何意义，明确了点的轨迹是椭圆，并运用椭圆的定义及几何性质求得椭圆标准方程。往往通过联立圆的方程，得到公共弦方程，为进一步解题奠定了基础。利用函数思想，得到三角形面积表达式，利用基本不等式求得面积的最值。
