1、2013届北京市顺义区高三年级第二次统练理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ,则 A B C D 答案： A 试题分析： ， . 考点：一元二次不等式、交集的运算 设 ,若直线 与 轴相交于点 ,与 轴相交于点 ,且坐标原点 到直线 的距离为 ,则 的面积 的最小值为 A B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：原点 到直线 的距离 ，在直线 的方程中，令 可得 ，即直线 与 轴交于点，令 可得 ，即直线 与 轴交于点 ，当且仅当 时上式取等号，由于 ，故当 时， 面积取最小值 . 考点：原点 到直线 的距离 ， ，在直线 的方程中，令 可得 ，即直线 与 轴交于点 ，令可得
2、 ，即直线 与 轴交于点 ，当且仅当 时上式取等号，由于 ，故当 时， 面积取最小值 . 已知正三角形 的边长为 1,点 是 边上的动点 ,点 是 边上的动点 ,且 ,则 的最大值为 A B C D 答案： D 试题分析： ， ，而 ， ,， ，故当 时， 取最大值 . 考点：平面向量的减法、平面向量的数量积、二次函数 设变量 满足约束条件 ，则 的取值范围 A B C D 答案： C 试题分析：令 ，则 ，作可行域如右图所示，平移直线，由图象知，当直线 经过可行域的点 时，直线 在 轴上的截距最大，此时 取最小值，即 ；当直线 经过可行域的点，直线 在 轴上的截距最小，此时 取最大值，即，即
3、 ， ，故 的取值范围是. 考点：线性规划、指数运算 已知数列 中 , ,等比数列 的公比 满足 ,且 ,则 A B CD 答案： B 试题分析： ， ，即 ， 而 ，且 ，故数列 是以 为首项，以为公比的等比数列， . 考点：等比数列的定义、等比数列的前 项和 执行如图所示的程序框图 ,输出的 值为 A B C 4 D 5 答案： A 试题分析： 成立，执行第一次循环， ， ； 成立，执行第二次循环， ， ； 成立，执行第三次循环， ， ； 成立，执行第四次循环， ， ； 不成立，跳出循环体，输出 的值为 . 考点：算法与程序框图 在极坐标系中 ,直线 的方程为 ,则点 到直线 的距离为 A
4、 B C D 答案： B 试题分析：直线 的方程极坐标方程化为直角坐标方程为 ，即，将点 的极坐标化为直角坐标为 ，故点 到直线 的距离 . 考点：极坐标方程、点到直线的距离 复数 A B C D 答案： B 试题分析： . 考点：复数的除法 填空题 设定义在 上的函数 是最小正周期为 的偶函数 , 是 的导函数 .当 时 , ;当 且 时 , .则函数在 上的零点个数为 . 答案： 试题分析：考查函数 在区间 上的零点个数情况，即考查函数 与余弦函数的图象在 上的公共点个数：当 且时，由于 ，则当 时， ， 令，则函数 在 上单调递增，同理函数 在区间 上单调递减，又由于函数 是偶函数，如下
5、图可知，函数 的图象与余弦曲线在区间 有且仅有两个公共点，由于函数 的最小正周期为 ，则函数也是以 为最小正周期的周期函数，故函数 的图象与余弦曲线在区间 、 上均有两个公共点，故函数 的图象与余弦曲线在区间 共有 个公共点，故函数 在 上的零点个数为 . 考点：导数、函数的周期性、函数的零点、函数的图象 已知双曲线 的离心率为 ,顶点与椭圆的焦点相同 ,那么该双曲线的焦点坐标为 ,渐近线方程为 . 答案： ； . 试题分析：由于双曲线的顶点坐标为 ，椭圆 的焦点坐标为，则有 ， 设双曲线 的焦距为 ，则，故双曲线 是焦点坐标为， ，故双曲线 的渐近线方程为 . 考点：椭圆、双曲线以及双曲线的
6、渐近线 一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则. 答案： 试题分析：由三视图知，该几何体是一个四棱柱，且底面为直角题型，直角梯形的斜腰长为 ， 故该四棱柱的侧面积 ，底面积之和，故该四棱柱的表面积，解得 . 考点：三视图、棱柱的表面积 如图 ,已知圆中两条弦 与 相交于点 是 延长线上一点 ,且， ,若 与圆相切 ,且 ,则 . 答案： 试题分析：由相交弦定理得 ，即， ， 由于 与圆相切于点 ， 与圆相交于 、 两点，由切割线定理得，即 ，整理得 ，即 ，解得 或 （舍去） . 考点：相交弦定理、切割线定理 设 的内角 的对边分别为 ,且 ,则 , 的面积 . 答案： ； .
7、 试题分析： 为 的内角， 且，由正弦定理得 ， ，. 考点：两角和的三角函数、正弦定理、三角形的面积 的展开式中含 的项的系数为 (用数字作答 ). 答案： . 试题分析： 的展开式中第 项为，令 ，解得 ，故 的展开式中含 的项的系数为 . 考点：二项式定理 解答题 已知函数 . (I)求 的值 ; (II)求函数 的最小正周期及单调递减区间 . 答案：（ ） ；（ ）最小正周期为 ，单调递减区间为. 试题分析：（ 1）直接计算 的值，若式子的结果较复杂时，一般将函数式先化简再求值；（ 2）求函数 的最小正周期、单调区间等基本性质，一般先将函数式进行化简，即一般将三角函数式化为 的形式，然
8、后利用公式 即可求出函数 的最小正周期，利用复合函数法结合正弦函数的单调性即可求出函数 相应的单调区间，但首先应该求函数的定义域 . 试题：解（ ） 4分 （ ）由 故 的定义域为 因为 所以 的最小正周期为 因为函数 的单调递减区间为 ， 由 得 所以 的单调递减区间为 13分 考点：三角函数的周期、单调区间、辅助角变换 如图 ,在长方体 中 , , 为 的中点 , 为的中点 . (I)求证 : 平面 ; (II)求证 : 平面 ; (III)若二面角 的大小为 ,求 的长 . 答案：（ ）详见；（ ）详见；（ III） . 试题分析：（ ）证明 平面 ，就是证明 平面 ，只需证明 与平面
9、内的两条直线垂直，即可证明 平面 ；（ ）证明 平面 ，只需证明 与平面 的一条直线平行，这里采用证明平行四边形的目的来证明 与平面 的一条直线平行；（ III）借助空间向量法计算当 为 时 的长 . 试题： (I)证明 :在长方体 中 , 因为 平面 ,所以 . 因为 ,所以四边形 为正方形 ,因此 , 又 ,所以 平面 . 又 ,且 , 所以四边形 为平行四边形 . 又 在 上 ,所以 平面 . 4分 (II)取 的中点为 ,连接 . 因为 为 的中点 ,所以 且 , 因为 为 的中点 ,所以 , 而 ,且 , 所以 ,且 , 因此四边形 为平行四边形 , 所以 ,而 平面 ,来源 :Z,
10、xx,k.Com 所以 平面 . 9分 (III)如图 ,以 为坐标原点 ,建立空间直角坐标系 ,设 , 则 , 故 . 由 (I)可知 平面 ,所以 是平面 的一个法向量 . 设平面 的一个法向量为 ,则 , 所以 令 ,则 ,所以 . 设 与 所成的角为 相关试题 2013届北京市顺义区高三年级第二次统练理科数学试卷（带） 为增强市民的节能环保意识 ,某市面向全市征召义务宣传志愿者 .从符合条件的 500名志愿者中 随机抽取 100名志愿者 ,其年龄频率分布直方图如图所示 ,其中年龄分组区间是：. (I)求图中 的值并根据频率分布直方图估计这 500名志愿者中年龄在 岁的人数 ; (II)
11、在抽出的 100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20名参加中心广场的宣传活动 ,再从这 20名中采用简单随机抽样方法选取 3名志愿者担任主要负责人 .记这 3名志愿者中 “年龄低于 35岁 ”的人数为 ,求 的分布列及数学期望 . 答案：（ ） ； ；（ ）详见 . 试题分析：（ ）根据频率分布直方图中矩形面积之和为 来计算 的值，然后利用相应公式计算相应组中抽取的人数；（ ）先确定 “低于 35岁 ”和 “年龄不低于 35岁 ”相应的人数，然后利用排列组合中的相关方法计算随机变量 的概率分布列与数学期望 . 试题：解 :(I) 小矩形的面积等于频率 , 除 外的频率和为 0.70,
12、. 3分 500名志愿者中 ,年龄在 岁的人数为 (人 ). (II)用分层抽样的方法 ,从中选取 20名 ,则其中年龄 “低于 35岁 ”的人有 12名 ,“年龄不 低于 35岁 ”的人有 8名 .故 的可能取值为 0,1,2,3, , , , , 故 的分布列为 0 1 2 3 所以 . 13分 考点：频率分布直方图、离散型随机变量的概率分布列与数学期望 已知函数 ,其中 为正实数 , . (I)若 是 的一个极值点 ,求 的值 ; (II)求 的单调区间 . 答案：（ ） ；（ ）详见 . 试题分析：（ ）由 为函数 的一个极值点，得到 便可求出的值，但在求得答案：后注意 处附近左、右两
13、侧导数符号相反，即成为极值点的必要性；（ ）求含参函数的单调区间的求解，一般要对导数方程在函数的定义域内是否有根以及有根时根的大小进行分类讨论，并结合导数值的正负来确定函数 的单调区间 . 试题：解 : . (I)因为 是函数 的一个极值点 , 所以 ，因此 ,解得 . 经检验，当 时， 是 的一个极值点，故所求 的值为 . 4分 (II) 令 得 (i)当 ,即 时 ,方程 两根为 . 此时 与 的变化情况如下表 : 0 0 极大值 极小值 所以当 时 , 相关试题 2013届北京市顺义区高三年级第二次统练理科数学试卷（带） 已知椭圆 的两个焦点分别为 ,且 ,点在椭圆上 ,且 的周长为 6
14、. (I)求椭圆 的方程 ; (II)若点 的坐标为 ,不过原点 的直线与椭圆 相交于 两点 ,设线段的中点为 ,点 到直线的距离为 ,且 三点共线 .求 的最大值 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）根据题中条件确定 、 、 的值，进而确定椭圆 的方程；（ ）对直线 的斜率存在与否进行分类讨论，并在相应的情况下求出的最大值，并作出比较，尤其是在处理直线 的斜率存在，一般将直线 的方程设为 ，借助韦达定理，确定 与 之间的关系，然后将 化为自变量为 或 的函数，借助函数的最值来求取，但要注意相应自变量的取值范围 . 试题：解 :(I)由已知得 且 , 解得 ,又 , 所以椭圆 的方
15、程为 . 3分 (II)设 . 当直线与 轴垂直时 ,由椭圆的对称性可知 ,点 在 轴上 ,且与 点不重合 , 显然 三点不共线 ,不符合题设条件 . 故可设直线的方程为 . 由 消去 整理得 . 则 , 所以点 的坐标为 . 因为 三点共线 ,所以 , 因为 ,所以 , 此时方程 为 ,则 , 所以 , 又 , 所以 , 故当 时 , 的最大值为 .来源 :学科网 ZXXK 13分 考点：椭圆的方程、韦达定理、点到直线的距离 已知函数 ,其中 为大于零的常数 ,函数 的图像与坐标轴交点处的切线为 ,函数 的图像与直线 交点处的切线为 ,且 . (I)若在闭区间 上存在 使不等式 成立 ,求实
16、数 的取值范围 ; (II)对于函数 和 公共定义域内的任意实数 ,我们把的值称为两函数在 处的偏差 .求证 :函数 和 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2. 答案：（ ） ；（ ）详见 . 试题分析：（ ）利用参数分离法将不等式问题转化为 ，等价转化为处理，于是问题的核心就是求函数 ，利用导数求解，但同时需要注意题中的隐含条件将 的值确定下来； （ ）先确定函数 与函数 的式，然后引入函数 ，通过证明，进而得到 ，得到 ，于是就说明原结论成立 . 试题：解（ ）函数 的图象与坐标轴的交点为 ， 又 函数 的图象与直线 的交点为 ， 又 由题意可知， 又 ，所以 3分 不等式 可化为 ，即 令 ，则 ， 又 时， ， ， 故 ， 在 上是减函数 即 在 上是减函数 因此，在对任意的 ，不等式 成立， 只需 所以实数 的取值范围是 8分 （ ）证明： 和 的公共定义域为 ，由（ ）可知 ， 令 ，则 ， 在 上是增函数 故 ，即 令 ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 有最大值 ，因此 由 得 ，即 又由 得 ，由 得 故函数 和 在其公共定义域的所有偏差都大于 2 &nb
