1、2013-2014学年福建省三明市高二下学期期末考试数学理试卷与答案（带解析） 选择题 用三段论推理： “任何实数的平方大于 0，因为 是实数，所以 ”，你认为这个推理（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D是正确的 答案： A. 试题分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否正确，根据三个方 面都正确，才能得到结论在本题中，因为任何实数的平方大于 0，因为 是实数，所以 ，大前提为：任何实数的平方大于 0是不正确的， 0的平方就不大于 0故选 A. 考点：演绎推理的基本方法 . 黑白两种颜色的正方形地砖依照如图的规律拼成若干个图形，现将一粒豆子随机
2、撒在第 10个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是（ ） A B C D 答案： D. 试题分析：根据题意知：第一个图形黑色地板砖所占的比例为 ；第二个图形黑色地板砖所占的比例为 ；第一个图形黑色地板砖所占的比例为 ，则由归纳推理可知第 10个图形黑色地板砖所占的比例为 ，则此时第 10个图形白色地板砖所占的比例为 . 考点：几何概型 . 给出下列结论： 在回归分析中，可用相关指数 R2的值判断模型的拟合效果， R2越大，模型的拟合效果越好； 某工厂加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量； 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离
3、均值的平均程度越小； 甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件 A： “甲、乙中至少一人击中目标 ”与事件 B： “甲、乙都没有击中目标 ”是相互独立事件 其中结论正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B. 试题分析：（ 1）在回归分析中，可根据相关指数 R2越大，模型的拟合效果越好，所以（ 1）是正确的； （ 2）某工厂加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差不确定，不可能一一列举出来，因此不是离散型随机变量即（ 2）错误； （ 3）样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，它们越小，则随机变量偏离于均值的平均
4、程度越小，故（ 3）正确； （ 4）事件 A： “甲、乙中至少一人击中目标 ”与事件 B： “甲、乙都没有击中目标 ”是对立事件，但 A与 B不是相互独立事件，由于 A对 B发生的概率有影响，故（ 4）错误 . 考点：命题的真假 判断与应用 . 设 ，则的值是（ ） A 310 B 0 C 310 D 510 答案： C. 试题分析：在所给的等式中，令 ，可得 ；再令 ，可得，所以 . 考点：二项式定理；二项式系数的性质 . 将标号为 1， 2， 3， 4， 5， 6的 6张卡片放入 3个不同的信封中，若每个信封放 2张，其中标号为 1， 2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ） A 12
5、种 B 18种 C 36种 D 54种 答案： B. 试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号 1,2的卡片放入同一封信有 种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有 种，故选 B. 考点：排列与组合 直线 （ 为参数）被曲线 截得的弦长是（ ） A B 2 C D 2 答案： D. 试题分析：首先将直线 （ 为参数）代入曲线方程 中得，整理得 ，所以 设直线与双曲线的交点分别为 A、 B，由直线参数方程 的几何意义知 ，即为所求 . 考点：直线的参数方程；弦长公式 . 已知具有线性相关的两个变量 ， 之间的一组数据如下： 0 1 2 3 4 2.2 4.3
6、4.5 4.8 6.7 且回归方程是 ，则当 时， 的预测值为（ ） A 8.0 B 8.1 C 8.2 D 8.3 答案： D. 试题分析：由已知得， ，因为回归方程是 过样本中心点，即 ，所以 ，故回归方程是 当时， 的预测值为 ，故选 D. 考点：线性回归分析 在二项式 的展开式中，含 的项的系数是（ ） A 10 B 10 C 5 D 5 答案： B. 试题分析：由二项式定理知，二项式 的展开式通项为：，令 ，得 ，则 的项的系数为： . 考点：二项式定理与性质 . 两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品
7、的概率为（ ） A B C D 答案： B. 试题分析：根据题意知，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，若记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 ，即仅第一个实习生加工一等品为事件 与仅第二个实习生加工一等品为事件 ，而两个零件是否加工为一等品相互独立，由互斥事件与独立事件的概率计算公式得 . 考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式 . 已知随机变量 服从正态分布 ， ，则（ ） A 0.21 B 0.58 C 0.42 D 0.29 答案： D. 试题分析：根据随机变量 服从正态分布 知，这组数据对应的正态曲线的对称
8、轴为 ，即正态曲线关于 对称又因为 ，所以，所以 . 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 . 填空题 设点 C在线段 AB上（端点除外），若 C分 AB的比 ，则得分点 C的坐标公式 ，对于函数 上任意两点 ，线段 AB必在弧 AB上方由图象中的点 C在点 C正上方，有不等式成立对于函数 的图象上任意两点 ，类比上述不等式可以得到的不等式是 _ 答案： . 试题分析：根据函数 的图像可知，函数 上任意两点 A（ a， a2）， B（ b， b2），线段 AB必在弧 AB上方，设 C分 AB的比，则得分点 C的坐标公式 由图像中点 C在点 C上方可得 成立 .据此我们从图像可以看出：函数
9、 的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数 的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是 . 考点：类比推理 从一副不含大小王的 52张扑克牌中不 放回地抽取 2次，每次抽一张，已知第一次抽到 A，则第二次也抽到 A的概率为 _ 答案： . 试题分析：由于第一次抽到 A,则第二次抽牌时，还有 3张 A，共 51张牌，而每张牌被抽到的概率是相等的，故第二次也抽到 A的概率为 . 考点：相互独立事件的概率乘法公式 已知随机变量 ，且 ，则 _ . 答案： . 试题分析：根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，即，且 ，所以 ，且 ，解得 ，即为所求 . 考点
10、：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 . 曲线 C： 经过伸缩变换 后，得到的曲线方程是_ 答案： . 试题分析：由伸缩变换 得 ，将此式代入曲线 C的方程中得，即 . 考点：参数方程化成普通方程 . 若复数 （ 是虚数单位）， 的共轭复数记为 ，则 _ 答案： . 试题分析：由共轭复数的定义知 ，然后根据复数的乘法法则进行化简即可得出结论即 . 考点：复数代数形式的乘除运算 . 在 的展开式中，把 ， ， ， ， 叫做三项式的 次系数列 （ ）例如三项式的 1次系数列是 1， 1， 1，填空： 三项式的 2次系数列是 _ ； 三项式的 3次系数列是 _ （ ）二项式 的展开式中，系数可用杨
11、辉三角形数阵表示，如下 当 时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的 次系数列的数阵表； 由杨辉三角形数阵表中可得出性质： ，类似的请用三项式的次系数表示 （无须证明）； （ ）试用二项式系数（组合数）表示 答案：（ ）三项式的 2次系数列是 1,2,3,2,1；三项式的 3此系数列是1,3,6,7,6,3,1. （ ） 三项式的 次系数的数阵表如下： 观察得： . （ ） . 试题分析：（ ）由 ，求得 2次系数列 同理根据，求得 3次系数列（ ） 如图所示：根据三项式的 2次系数列和 3次系数列的定义，可得结论 （ ）根据三项式的 2次系数列和 3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可
12、用二项式系数表示 试题：（ ）三项式的 2次系数列是 1,2,3,2,1；三项式的 3此系数列是1,3,6,7,6,3,1. （ ） 三项式的 次系数的数阵表如下： 观察得： . （ ）因为 ，由（ ） 得， ， ， ， ， 所以 ，又 ， 所以由 得， . 所以有 ， ， ， ，所以将 个式子累加得. 又 ，所以 . 考点：二项式系数的性质 解答题 已知复数 ， 是实数， 是虚数单位 （ 1）求复数 ； （ 2）若复数 所表示的点在第一象限，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由 ，化简.根据 是实数，可得 ，求得 的值，可得 的值；（ 2）化简 ，根据该复
13、数所表示的点在第一象限，可得 ，解不等式组求得实数 的取值范围 . 试题： (1)因为 ，所以 ，又 是实数，所以 ，即 ，所以 . （ 2）由（ 1）得 ，所以 ， 又因为复数 所表示的点在第一象限，所以 ，得 . 所以实数 的取值范围是 . 考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O处，极轴与 轴的正半轴重合，且长度单位相同直线 的极坐标方程为： ，曲线 C：（ 为参数），其中 （ ）试写出直线 的直角坐标方程及曲线 C的普通方程； （ ）若点 P为曲线 C上的动点，求点 P到直线 距离的最大值 答案： 试题分析：（ ）直接利用极坐标与直角坐标
14、的互化，以及消去参数，即可取得直线 的直角坐标方程及曲线 C的普通方程；（ ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加半径即可求出点 P到直线 距离的最大值 试题：（ ）因为 ，所以 ，则直线 的直角坐标方程为 .曲线 C： ，且参数 ，消去参数 可知曲线 C的普通方程为 . （ ）由（ ）知，曲线 C是以（ 0,2）为圆心，半径为 2的圆，则圆心到直线的距离 ，所以点 P到直线 的距离的最大值是 . 考点：参数方程化成普通方程 数列 的前 项和记为 ，已知 （ ）求 ， ， 的值，猜想 的表达式； （ ）请用数学归纳法证明你的猜想 答案：（ ） ；（ ）假设当 时，猜想成立，即 .那么当
15、时， ， 所以当 时，猜想成立 . 试题分析：（ ）根据题设条件，可求 ， ， 的值，猜想 的表达式（ ）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明 试题：（ ）因为 ，所以 ， ，. 所以猜想 ；（ ）证明：（ 1）当 时， ，猜想成立 . （ 2）假设当 时，猜想成立，即 .那么当 时， ， 所以当 时，猜想成立 . 考点：数学归纳法；数列递推式 为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚为了了解市民的态度，在普通行人中随机选取了 200人进行调查，得到如下数据： 处罚金额 （元） 0 5 10 15 20 会闯红灯的人数 80 50 40 20 10 若用表中数据所得频率代替概
16、率现从这 5种处罚金额中随机抽取 2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验 （ ）求这两种金额之和不低于 20元的概率； （ ）若用 X表示这两种金额之和，求 X的分布列和数学期望 答案：（ I） ；（ ）根据条件， X 的可能取值为 5， 10， 15，20， 25， 30， 35，分布列为： 5 10 15 20 25 30 35 . 试题分析：（ I）确定从 5种金额中随机抽取 2种，可得总的抽选方法，满足金额之和不低于 20元的有 6种，即可求得概率；（ II）确定 X的可能取值，结合概率，即可求得 X的分布列和数学期望 试题：（ ）设 “两种金额之和不低于 20元 ”的事件为 A，
17、从 5种金额中随机抽取 2种，总的抽选方法共有 种，满足金额之和不低于 20元的有 6种，故所求概率为 ； （ ）根据条件， X的可能取值为 5， 10， 15， 20， 25， 30， 35，分布列为： 5 10 15 20 25 30 35 . 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 为了检验 “喜欢玩手机游戏与认为作业多 ”是否有关系，某班主任对班级的30名学生进行了调查，得到一个 22列联表： 认为作业多 认为作业不多 合计 喜欢玩手机游戏 18 2 不喜欢玩手机游戏 6 合计 30 （ ）请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程）； （
18、）能否在犯错误的概率不超过 0.005的前提下认为 “喜欢玩手机游戏 ”与 “认为作业多 ”有关系？ （ ）若从不喜欢玩手机游戏的人中随机抽取 3人，则至少 2人认为作业不多的概率是多少？ 答案：（ ） 认为作业多 认为作业不多 合计 喜欢玩手机游戏 18 2 20 不喜欢玩手机游戏 4 6 10 合计 22 8 30 （ ）在犯错误的概率不超过 0.005的前提下，认为 “喜欢玩手机游戏 ”与“认为作业多 ”有关 . （ ） . 试题分析：（ ）根据所给数据，画出列联表；（ ）根据公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，即可得到结论；（ ）认为作业不多的人数为 ，则 试题：（ ） 认为作业多 认为作业不多 合计 喜欢玩手机游戏 18 2 20 不喜欢玩手机游戏 4 6 10 合计 22 8 30 （ ）假设 “喜欢玩手机游戏 ”与 “认为作业多 ”无关 . 则由上表数据得：， 又 ，有 8.527.879. 故在犯错误的概率不超过 0.005的前提下，认为 “喜欢玩手机游戏 ”与 “认为作业多 ”有关 . （ ）设认为作业不多的人数为 ，则所求的概率为. 考点：独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
