1、2013-2014学年浙江省杭州十四中高一下学期期中数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的最小值是 ( ) A 1 B -1 CD - 答案： 试题分析：根据正弦二倍角公式有 ,因为 ，所以 . 考点：正弦二倍角公式 . 在数列 中，若对任意的 均有 为定值，且，则数列 的前 100项的和 ( ) A 132 B 299 C 68 D 99 答案： 试题分析：根据已知 :对任意的 均有 为定值 , 可知该数列从首项起 ,三项一循环 .即 ; , 所以 . 考点：数列的判断 ;循环数列求和 . 在 中，已知 ，则 是 ( ) A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D最小内角大于 45的三
2、角形 答案： 试题分析：因为 ,所以在三角形中 , 都是锐角 .且 ,因为 ,所以 ,即,所以 ,则 为锐角 . 考点：切化弦 ;余弦和角公式 ;角的判断 . 已知函数 在 上有两个零点 ,则 的取值范围是( ) A (1,2) B 1,2) C (1,2 D l,2 答案： 试题分析：利用辅助角公式化简函数为,令 ,则 ,所以此时函数即为 .令 有 ,根据题意可知 在 上有两个解 ,根据 在函数图像可知 , . 考点：辅助角公式 ;零点的判断 ;函数图像 . 在 中， ，则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： 试题分析：根据正弦定理可将已知 化为,即 ,根据余弦定理有 .根据余弦函
3、数性质可知 . 考点：正弦定理 ;余弦定理 ,余弦函数性质 . 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ,若 、 、 成等比数列 ,且,则 ( ) A B C D 答案： 试题分析：根据 、 、 成等比数列 ,可知 ,根据 ,代入有 ,根据余弦定理有 ,将 , 代入有 . 考点：等比中项 ;余弦定理 . 已知 ,则 ( ) A B C D 答案： 试题分析：根据 ,可得 ,则 .根据正切和角公式有 考点：根据角度判断三角符号 ;正切和角公式 . 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则该数列的公差 ( ) A 2 B 3 C 6 D 7 答案： 试题分析：根据等差数列前 项和公式 展开 有,解该方
4、程组可得 . 考点：等差数列前 项和公式 ;解方程组 . 函数 是 ( ) A周期为 的偶函数 B周期为 2 的偶函数 C周期为 的奇函数 D周期为 2 的奇函数 答案： 试题分析：利用余弦和差角公式 ,化简函数式有, 所以周期为 .又因为 . 考点：余弦和差角公式 ;周期公式 . 公比为 2的等比数列 的各项都是正数，且 ，则 =( ) A 1 B 2 C 4 D 8 答案： 试题分析：根据等比中项可知 : 的等比中项是 ,所以 ,根据题意 ,又因为公比是 2，所以 . 考点：等比中项 ;等比定义 . 填空题 （ 1）已知数列 : 依它的前 10项的规律 ,这个数列的第 2014项 =_.
5、（ 2） _. 答案：（ 1） （ 2） 试题： （ 1）根据数列的前 10项，将其分为四组，分别为（ 1） （ 2） (3)(4) ,根据该规律可估计 (5) ,显然第几组就有几个数 ,并且每组中分母从 1开始递增到组数 ,分子从组数递减到 1.所以只需要知道第 2014项在第几组 ,是该组的第几个数即可推断该项 . 所以假设第 2014项在第 组 ,则 ，可得，因为 ，则当 时，有 ，所以第 2014项在第 62组，是该组的倒数第 3项，即 . （ 2）原式 考点：数列规律的分析 ;三角式的化简求值 . （写出所有正确命题的编号） 答案： 试题分析： 根据大边 对大角可知 ,如果 是钝角
6、,则此时 ,显然错误 . 当三角形是锐角三角形时 ,根据正弦函数性质可知 ; 当三角形是钝角三角形时 ,有 ,则 , 因为 ，所以 ,此时有 ,正弦函数性质可知,即 .正确 . 因为 ，即 ，所以 必有两解 .正确 . 根据正切和角公式 , 可得.则有根据诱导公式有 代入上式 , 则上式 若 是锐角 ,则 ; 此时 . 若 是钝角 ,则 ; 此时 .错误 . 考点：三角形中边角关系 ;三角函数性质 ;三角函数和角 ,诱导公式的使用 . 设当 时，函数 取得最大值，则 答案： 试题分析： 根据辅助角公式化简原函数得 ,其中. 显然当 时 ,原函数的最大值为 .此时 .所以 ,即 ,所以. 考点：
7、辅助角公式 ;诱导公式 . 在 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，若 ，则此三角形一定是 _三角形 答案：等腰 试题分析：根据正弦定理 有 , 根据三角形内角和有 , 利用正弦和角公式展开有 , 化简得 , 所以 .是等腰三角形 . 考点：正弦定理 ;正弦和角公式 . 函数 , 的值域是 答案： 试题分析：根据余弦二倍角公式可知 ,所以原函数为, 因为 ,所以 ,则函数的值域为 . 考点：二倍角公式、余弦函数的值域 若数列 的前 项和 ，则 答案： 试题分析：根据数列 的前 项和 ，可知该数列是等差数列 .所以根据等差中项有 .所以 ,所以 . 考点：等差数列的判断 ;等差中项 ; .
8、 答案： 试题分析： 考点：诱导公式 . 解答题 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 1，两两夹角为 ；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 ；依此规律得到 级分形图 . （ 1） 级分形图中共有 条线段； （ 2） 级分形图中所有线段长度之和为 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： （ 1）显然当 时，有 3条线段， 当 时 ,3条线段的另一端各增加 2条线段 ,所以新增线段 条 ,故此时共有条线段 ; 当 时 ,在 时新增的线段的另一端各增加 2条线段 ,所以新增线段 条 ,故此时共有 条
9、线段 ; 依次类推 ,每次都是在上一次的新增线段的另一端各增加 2条线段 ,所以推断出 级分形图中 ,有线段 条 . （ 2）设 级分形图中所有线段长度之和为 ,根据题意 , 显然 , 构成一个首项为 3,公比 为 的等比数列的和 . 所以 . 考点：观察图像 ,总结规律 ,找到数列 ,等比数列求和公式 ;类比法 . 等差数列 中， ， . （ 1）求 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： （ 1）根据等差数列的通项公式 ,可知需要求出首项和公差 ,利用已知 , 展开联立可得首项和公差 ,从而得到数列的通项公式 . （ 2）将（ 1）中结果代
10、入 ,根据其特点 ,分裂该通项为 ,然后求和 ,可以抵消除去首项和末项的所有项 ,从而求得数列的和 . 试题 : （ 1）设等差数列 的公差为 d，则 . 因为 ,所以 . 解得 . 所以 的通项公式为 . （ 2） . 所以 . 考点：等差数列求通项 ;裂项相消法求数列前 项和 . 已知函数 , . （ 1）设 是函数 的一个零点 ,求 的值； （ 2）求函数 的单调递增区间 . 答案：（ 1） （ 2） ( ) 试题分析： （ 1）要求 的值 ,得先找到 的值 ;根据 是函数 的一个零点 ,所以令函数,显然得先将函数化简 ,根据函数式的结构特点 ,利用余弦二倍角公式将其化简 .而后求零点
11、,求 的值 . （ 2）首先化简函数 式 ,利用辅助角公式将其化简 .而后根据正弦函数的增区间 ,解得函数 的增区间 . 试题： （ 1）根据余弦二倍角公式有 因为 是函数 的一个零点，所以 . 即 ,解得 . 所以 . （ 2）根据题意有 当 , 即 ( )时 , 函数 是增函数 , 故函数 的单调递增区间是 ( ) 考点：余弦二倍角公式 ,辅助角公式化简三角函数式 ;三角函数的单调性 . 在 中 ,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，满足 . （ 1）求角 ； （ 2）求 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： （ 1）要求角 ,只能从 入手 ,利用正弦定理 ,将角化为边
12、,得,进而可得三边关系 ,利用余弦定理即可求角 . （ 2）从 入手 ,欲找三边关系 ,用正弦定理将其化简为 ,将（ 1）的结论利用起来 ,代入 ,同时将 代入 ,使得 中只含有 ,进而根据 ,讨论 的范围 . 试题： （ 1）根据正弦定理有 : ,化简得 , 根据余弦定理有 , 所以 . （ 2）根据正弦定理将 化简 ,同时将（ 1）代入 ,化简为 因为 , , 所以 . 故 , 的取值范围是 考点：正弦定理的应用 (角化边 );余弦定理 ;正弦差角 ;辅助角公式求范围 . 已知数列 的前 项和为 ， ， 是 与 的等差中项（ ） . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）是否存在正整数 ，
13、使不等式 恒成立，若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1） （ 2）存在 ,11 试题分析： （ 1）解法一：根据 是 与 的等差中项，利用等差中项得到 ，（ ） , 当 时有 ,则 - 可得 ，从而可得数列通项 . 解法二 :根据 是 与 的等差中项，利用等差中项得到 ，（ ） ,根据该式的结构特征 ,利用构造法 ,可构造出等比数列 ,从而求得 ,进而利用得到数列的通项 . （ 2）根据（ 1）的结论可知 ,数列是等比数列 ,所以可以得到其前 项和 ;代入化简 ,讨论 的奇偶发现 , 为奇数时 ,恒成立 ; 为偶数时 ,可将其转化为二次函数在固定区间恒成立问题 ,利用
14、单调性可判断是否存在这样的正整数 . 试题：（ 1）解法一：因为 是 与 的等差中项， 所以 （ ），即 ，（ ） 当 时有 - 得 ，即 对 都成立 又根据 有 即 ，所以 所以 . 所以数列 是首项为 1,公比为 的等比数列 . 解法二： 因为 是 与 的等差中项， 所以 （ ），即 ，（ ） 由此得 （ ）， 又 ，所以 （ ）， 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 . 得 ，即 （ ）， 所以，当 时， ， 又 时， 也适合上式，所以 . （ 2）根据（ 1）的结论可知 , 数列 是首项为 1,公比为 的等比数列 , 所以 数列 满足 , . （ 1）求证 : 为等差数列，并求出 的通项公式； （ 2）设 ,数列 的前 项和为 ,对任意 都有 成立，求整数的最大值 . 答案：（ 1） （ 2） 18 试题分析：（ 1）要证明 是等差数列 ,只需证明 是常数 ,所以根据题意 ,利用 ,化简 ,即可证明 . （ 2）将（ 1）中结论代入 ,而后设出 ,根据题意只需找到 的最小值 ,令最小值大于 .所以得判断数列 的增减性 ,利用 ,放缩判断其与 0的大小关系 .而后根据 ,可得结论 . 试题：（ 1） 为首次为 -2,公差为 -1的等差数列 （ 2） 令 = = 为单调递增数列 又 所以 的最大值为 18 考点：等差数列的证明 ;放缩法判断数列的增减性 .
