1、2013-2014学年广东省惠州市东江高级中学高二 3月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 是可导函数，且 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为所以 ，故选 B. 考点：导数的概念 . 设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时，且 ，则不等式 的解集是（ ） A B CD 答案： D 试题分析：构造函数 ，因为当 时，即 ，所以函数 在单调递增，又 、 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，所以为奇函数，从而 时 为增函数且，故不等式 的解集为 ，故选 D. 考点： 1.函数的奇偶性； 2.导数在单调性上的应用； 3.函数的图像 . 设 ， ， ，则 的大小关系是
2、 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： ， ，因为 ，所以 ，故选 B. 考点：定积分的计算 . 如图所示，阴影部分的面积是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：直线 与抛物线 解得交点为 和 ，所以图中阴影部分的面积为 ，又因为 所以 ，故选 C. 考点：定积分在几何中的应用 . 曲线 在 处的切线的倾斜角是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以所求切线的斜率为即 （ 为倾斜角），所以切线的倾斜角为 ，故选 C. 考点：导数的几何意义 . 用反证法证明命题 “若实系数一元二次方程 有有理根，那么 中至少有一个是偶数 ”时，下列假设正确的是 ( ) A假设
3、 都是偶数 B假设 都不是偶数 C假设 至多有一个是偶数 D假设 至少有两个是偶数 答案： B 试题分析：根据反证法的解题思路，首先是假设原命题的结论不成立即原结论的否定成立，因为原结论为 “ 中至少有一个是偶数 ”，所以应假设 中没有一个是偶数 即 都不是偶数，故选 B. 考点：反证法 . 定积分 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，故选A. 考点：定积分的运算 . 是 的导函数， 的图像如右图所示，则 的图像只可能是（ ） 答案： D 试题分析：根据导函数图像可知，导数值始终为大于等于零的数，说明原函数在 单调递增，并且导数值随着 的增大，先变大，再变小，结合
4、选项可知，A选项，导数值一直随 的增大而增大，不符合要求； B选项却是一直随 的增大而减小，不符合要求；而 C选项，导数值先随 的增大而减小，后随 的增大而增大，不符合要求；而 D选项，导数值随着 的增大，先变大，再变小，符合要求，故选 D. 考点： 1.导数的几何意义； 2.函数的单调性与导数 . 填空题 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： .设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用 表示三个侧面面积， 表示截面面积，那么类比得到的结论是 答案： 试题分析：建立从平面图形
5、到空间图形的类比，于是可猜想 : ，故答案：为 .对 的证明如下： 设 ，则由 两两垂直可得 在 中，由余弦定理可得 即 所以 所以 即. 考点：合情推理中的类比推理 . 如果函数 的导函数的图像如图所示，给出下列判断： 函数 在区间 内单调递增； 函数 在区间 内单调递减； 函数 在区间 内单调递增； 当 时，函数 有极大值； 当 时，函数 有极大值； 则上述判断中正确的是 . 答案： 试题分析：观察导函数的图像可得，当 或 时， ，而当 或 时， ，所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ，所以 正确， 错误；由 在单调递增，在 单调递减，所以当 时，函数 有极大值，所以 正确，由
6、在 单调递增，所以 不是极值点，故 错误，综上可知 正确 . 考点： 1.函数的单调性与导数； 2.函数的极值与导数 . 从如图所示的长方形区域内任取一个点 ，则点 取自阴影部分的概率为 . 答案： 试题分析：由定积分的几何意义可知，点 取自阴影部分的面积为，总的区域面积为矩形面积 ，那么比值为 . 考点： 1.定积分的几何意义； 2.几何概型 . 曲线 在点 处的切线方程是 答案： 试题分析：因为 ，所以所求切线的斜率 ，所以在点处的切线方程为 即 . 考点：导数的几何意义 . 定积分 . 答案： 试题分析：因为 ，其中 ，表示以原点为圆心， 1为半径的 圆的面积，所以，所以 . 考点： 1
7、.定积分的运算； 2.定积分的几何意义 . 函数 的导数是 答案： 试题分析：根据乘法的导数法则 及常见函数的导数公式 可得 . 考点：导数的运算 . 解答题 已知函数 . （ 1）求函数的极小值； （ 2）求函数的递增区间 . 答案：（ 1）极小值为 ；（ 2）函数的单调递增区间为 ， . 试题分析：（ 1）先确定函数的定义域并求出函数的导数 ，然后确定 、的 的取值范围，最后根据可导函数的极小值点的左侧导数小于 0，右侧大于 0，从而确定函数的极小值；（ 2）由 ，即可求出函数的单调递增区间 . 试题：（ 1） 3分 所以当 时， ；当 或 时， 6分 当 时，函数有极小值 8分 （ 2）
8、由 或 11分 函数的递增区间是 ， 12分 . 考点： 1.函数的极值与导数； 2.函数的单调性与导数 . 在边长为 的正方形铁皮的四切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 答案 ：当箱底边长为 时，箱子容积最大，最大容积是 . 试题分析：设箱底边长为 ，则无盖的方底箱子的高 ，其体积为 ，从而可得 ，通过求导，讨论导数的正负得函数的增减性，根据函数的单调性可求体积的最大值 . 试题：设箱底边长为 ，则无盖的方底箱子的高 ，其体积为则 令 ，得 ，解得 ( 舍去 ) 当 时， ；当 时， 所以 时， 单调递增； 时
9、， 单调递减，所以函数在 时取得极大值， 结合实际情况，这个极大值就是函数 的最大值 . 故当箱底边长为 时，箱子容积最大，最大容积是 . 考点：导数在实际中的运用 . 已知函数 ，且 是函数 的一个极小值点 . （ 1）求实数 的值； （ 2）求 在区间 上的最大值和最小值 . 答案： (1) ； (2)当 或 时， 有最小值 ；当 或时， 有最大值 . 试题分析： (1)先求函数的导函数，因为 是函数 的一个极小值点，所以 ，即可求得 的值 .(2)由 (1)知， ，求导，在令导数等于 0，讨论导数的正负可得函数的单调区间，根据函数的单调区间可求其最值 . 试题：（ 1） . 2分 是函数
10、 的一个极小值点， . 即 ，解得 . 4分 经检验，当 时， 是函数 的一个极小值点 . 实数 的值为 5分 （ 2）由（ 1）知， . . 令 ，得 或 . 7分 当 在 上变化时， 的变化情况如下： 相关试题 2013-2014学年广东省惠州市东江高级中学高二3月月考理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路3号启航商务大厦5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息 (2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 设函数 的图像与直线 相切于点 . （
11、1）求 的值； （ 2）讨论函数 的单调性 . 答案： (1) (2)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，. 试题分析：（ 1）先求出 ，结合题中所给的切线与切点可得方程组 ，从而求解方程组即可得到 的值；（ 2）由（ 1）中所求得的 ，确定 ，从而由 ，可求出函数 的单调增区间，由 ，可求出函数 的单调减区间 . 试题： (1) 求导得 ，又因为 的图像与直线相切于点 所以有 即 解得 (2)由 得 当 或 时， ， 的单调递增区间为 ， 当 时， ， 的单调递减区间为 . 考点： 1.导数的几何意义； 2.函数的单调性与导数 . 在区间 上给定曲线 ，试在此区间内确定点 的值，使图中所给阴
12、影部分的面积 与 之和最小 答案： . 试题分析：先由定积分的几何意义分别求出， ，从而，然后通过导数确定函数 的极值，并求出端点值，比较极值与端点值的大小，最小的就是最小值，问题就解决了 . 试题：设 当 时， 阴影部分的面积为 ，令 可得 或 由 ， 可知当 时， 有最小值 . 考点： 1.定积分的几何意义； 2.函数的最值与导数 . 已知 （ 1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （ 2）若 求函数 的单调区间 . 答案：（ 1） ；（ 2）当 时， 的单调递减区间为，单调递增区间为 ， ；当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， . 试题分析：（ 1）当 时，先求出 ，根据导
13、数的几何意义可得切线的斜率 ，进而计算出 确定切点坐标，最后由点斜式即可写出切线的方程并化成直线方程的一般式；（ 2）先求导并进行因式分解，求出 的两个解 或 ，针对两根的大小进行分类讨论即分 、 两类进行讨论，结合二次函数的图像与性质得出函数 的单调区间，最后再将所讨论的结果进行阐述，问题即可解决 . 试题：（ 1） 2分 ， 又 ，所以切点坐标为 所求切线方程为 ，即 5分 （ 2） 由 得 或 7分 当 时，由 ， 得 ，由 ， 得 或 9分 此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 10分 当 时，由 ，得 ，由 ，得 或 12分 此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 13分 综上：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，；当 时， 的单调递减区间为 单调递增区间为 ，14分 . 考点： 1.导数的几何意义； 2.函数的单调性与导数； 3.分类讨论的思想 .
