1、2012-2013年山东济宁泗水一中高二 12月质量检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 双曲线 的右焦点的坐标为 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以右焦点坐标为 。 考点：本题考查双曲线的简单性质。 点评：直接考查双曲线的焦点坐标，属于基础题型。 若椭圆 的左、右焦点分别为 F1、 F2，线段 F1F2被抛物线 y2=2bx的焦点分成 5:3两段，则此椭圆的离心率为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以 ，又因为 a2-b2=c2， c=2b， 所以 5c2=4a2，所以 e= 。 考点：本题考查椭圆的简单性质；抛物线的简单性质。 点评：记准
2、椭圆与抛物线的焦点的坐标是做题的关键。 椭圆 上有 n个不同的点 :P 1 ,P2 ,P n, 椭圆的右焦点为 F，数列 |PnF|是公差大于 的等差数列 , 则 n的最大值是（ ） A 198 B 199 C 200 D 201 答案： C 试题分析：在椭圆 中， a=2， c=1， 椭圆上点到右焦点的最小距离是 a-c=1，最大距离是 a+c=3，因为数列 |PnF|是公差大于 的等差数列，所以要使 n 最大，应让 =a-c=1， =a+c=3，所以 d= ，所以 ，所以 n的最大值为 200。 考点：本题考查椭圆的简单性质；等差数列的简单性质。 点评：本题借助圆锥曲线的知识考查了等差数列
3、的通项公式，属于圆锥曲线与数列的综合题做本题的关键是分析出什么时候 n 最大，考查了学生分析问题、解决问题的能力。 已知双曲线 的离心率为 2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点 ,则此双曲线的渐近线方程是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：抛物线 y2=4x的焦点为（ 1， 0）所以 m+n=1又双曲线的离心率为 2，所以 ，所以 ，所以渐近线方程为。故选 A 考点：本题考查双曲线的简单性质；抛物线的简单性质。 点评：熟练掌握双曲线标准方程中 a， b和 c的关系是做本题的关键。 已知圆锥曲线 的离心率 e为方程 的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D
4、 4 答案： C 试题分析：因为方程 的两根为 。 当 e=2时，很显然圆锥曲线为双曲线，又由 得 ，所以 ，因为，所以 m=-12。此时满足条件的为一条。 当 e= 时，很显然圆锥曲线为椭圆，又由 得 ，若焦点在 x轴上，则，因为 ，所以 m=2。此时满足条 件的为一条。若焦点在 y轴上，则 ，因为 ，所以 m=8。此时满足条件的为一条。因此共三条。 考点：本题考查椭圆的标准方程及简单性质；双曲线的标准方程及简单性质。 点评：圆锥曲线 可能表示圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程。当 时，表示圆的方程；当 时，表示椭圆的方程； 当 时，表示双曲线的方程。 对于平面直角坐标系内的任意两点 ，定义
5、它们之间的一种 “距离 ”： 给出下列三个命题： 若点 C在线段 AB上，则 ; 在 中，若 C=90，则 ； 在 中， 其中真命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析： 若点 C在线段 AB上，设点 C（ x0， y0）那么 x0在 x1， x2之间 y0在 y1， y2之间，所以 |AC|+|CB|=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=|AB|正确； 平方后不能消除 x0， y0，命题不成立； 不妨假设 C角为直角，以 A为原点， AC所在直线为 x轴，作直角坐标，得A(0 , 0 )、 B( ）
6、，点 C( ， 0）。代入 式中得： + =+ ，所以 不成立。故选 B 考点：本题考查两点间的距离公式。 点评：本题是新运算与绝对值的结合，应注意点 C的不同位置。弄清新命题的运算规则，是本题的关键点；设出各点坐标，代入关系式计算，根据计算结果进行判断是做本题的基本前提。 在 中 , ， ,点 在 上且满足 ,则等于 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由题意易知： M是 BC的中点， P是三角形 ABC的重心，因为，所以 ， ，所以 =。故选 D. 考点：本题考查向量的加法运算；向量的数量积；三角形重心的性质。 点评：判断 P点是否是三角形的重心有如下几种办法： 定义：三条中线的
7、交点 性质： 。 坐标法： P 点坐标是三个顶点坐标的平均数 若方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为方程 表示双曲线，所以 ，解得：。 考点：本题考查双曲线的标准方程。 点评：椭圆与双曲线的标准方程都可以由二元二次方程表示，但要注意区分两者形式的不同；其次注意焦点位置不同时，参数 a、 b大小的不同 已知 F1， F2是椭圆 的两个焦点，过 F2的直线交椭圆于点 A、 B，若 ,则 （ ） A. 10 B. 11 C. 9 D.16 答案： B 试题分析：由椭圆定义知： |AF1|+|AF2|=8， |BF1|+|BF2|=8，两式相加得|
8、AB|+|AF2|+|BF2|=16，则 |AF1|+|BF1|=16-5=11，故答案：为： 11 考点：本题考查椭圆的定义。 点评：注意椭圆定义的灵活应用。 中心在原点，焦点在 y轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的方程是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：椭圆长轴的长为 18，即 2a=18，得 a=9，因为两个焦点恰好将长轴三等分， 2c= 2a=6，得 c=3，因此， b2=a2-c2=81-9=72，再结合椭圆焦点在 y轴上，可得此椭圆方程为 . 考点：本题考查椭圆的简单性质；椭圆的标准方程。 点评：本题给出椭圆的长轴长和焦点的位置，求椭圆的标准
9、方程，着重考查了椭圆的基本概念和标准方程等知识，属于基础题但要注意焦点在 x轴上与焦点在 y轴上椭圆标准方程形式的不同。 “AB0”是 “方程 表示椭圆 ”的 （ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：因为由 “ab 0”，不能判断 “方程 ax2+by2=1表示椭圆 ”，例如 a 0， b 0时， “方程 ax2+by2=1不表示椭圆 ”； “方程 ax2+by2=1表示椭圆 ” “ab 0”， “ab 0”是 “方程 ax2+by2=1表示椭圆 ”的必要不充分条件 考点：本题考查椭圆的标准方程。 点评：本题考查充分条件、必要条
10、件和充要条件，解题时要注意椭圆的定义和性质的灵活运用 命题 “存在 ,使 ”的否定是 （ ） A存在 ,使 B不存在 ,使 C对于任意 ,都有 D对于任意 ,都有 答案： D 试题分析：命题 “存在 ,使 ”是一个特称命题，其否定是一个全称命题，即命题 “存在 ,使 ”的否定是：对于任意 ,都有 。 考点：本题考查特称命题的否定。 点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“ x A， p（ A） ”的否定是 “ x A，非 p（ A） ”，是解答本题的关键 填空题 如图，边长为 a的正 ABC的中线 AF与中位线 DE相交于 G，已知AED是 AED绕 DE旋转过程中
11、的一个图形，现给出下列四个命题： 动点 A在平面 ABC上的射影在线段 AF上； 恒有平面 AGF 平面 BCED； 三棱锥 AFED 的体积有最大值； 异面直线 AE与 BD不可能互相垂直； 其中正确命题的序号是 答案： 试题分析：过 A作 AH 面 ABC，垂足为 H，因为 ABC为正三角形且中线AF与中位线 DE相交，所以 AG DE AG DE，又因为 AGAG=G，所以DE 面 AGA， 因为 DE 面 ABC，所以面 AGF 面 ABC且面 AGA面 ABC=AF 所以 H在 AF上，故恒有平面 AGF 平面 BCED，故 对 对 S 三棱锥 A-FED= S EFD AH，因为底
12、面面积是个定值，所以当 AH为 AG时，三棱锥的面积最大，故 对；在 AED是 AED绕 DE旋转的过程中异面直线 AE与BD可能互相垂直，故 不对故答案：为：（ 1）（ 2）（ 3） 考点：本题考查平空间中点、线、面的位置关系；线面、面面垂直的判定定理与性质定理；异面直线所成的角；命题真假的判断。 点评：此类题型一般涉及多个知识点，综合性较强，但难度不大。对于错误的命题举出反例即可 已知以双曲线 C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为 ，则双曲线 C的离心率为 答案： 试题分析：设双曲线 C的焦点坐标是 F1和 F2，虚轴两个端点是 B1和 B2，则四边形 F1B1F2B
13、2为菱形 若 B2F1B1=60，则 B2F1F2=30由勾股定理可知 c=，故双曲线 C的离心率为 e= ； 若 F1B2F2=60，则 F1B2B1=30，由勾股定理可知 b= c，不满足 c b，所以不成立 综上所述，双曲线 C的离心率为 。 考点：本题考查双曲线的简单性质。 点评：解题时应该分 B2F1B1=60和 F1B2F2=60两种情况求出双曲线的离心率但要注意 a， b， c 中 c 最大，根据此条进行验根，避免出现不必要的错误 已知 满足 ，则 的最大值为 答案： 试题分析：画出可行域，找出满足条件的点，利用 的几何意义，即可得 的最大值为 1. 考点：本题考查线性规划的知识
14、。 点评：对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标函数除了我们常见的 这种形式外，还有常见的两种： ，第一种的几何意义为：过点 与点 (a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为：点 与点 (a,b)的距离。 已知函数 ，在区间 上随机取一个数 ，则使得 0的概率为 答案： 试题分析：因为在区 间 上随机取一个数 ，所以总的区间长度为，又由 0得 ，所以 ，所以 P= 。 考点：本题考查几何概型；对数函数的简单求值。 点评：几何概型的概率估算公式中的 “几何度量 ”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个 “几何度量 ”只与 “大小 ”有关，而与形状和位置无关 解答题 (本小题满分
15、 10分 ) 设命题 ，命题 ，若 “ ”为假命题， “ ”为真命题，求实数 的取值范围 答案： 。 试题分析：由 ，得 ，因此， 或 ， 由 ，得 因此 或 ， 因为 是 的必要条件，所以 ， 即 因此 解得 考点：本题考查命题真假的判断；含绝对值不等式的解法；一元二次不等式的解法；含参不等式的解法。 点评：我们做题时可以把充分、必要、冲要等条件转化为集合之间的子集、真子集的关系。 (本小题满分 12分 ) 设双曲线 与直线 交于两个不同的点 ，求双曲线 的离心率 的取值范围 . 答案： 。 试题分析：由 与 相交于两个不同的点，可知方程组 有两组不同的解， 消去 ，并整理得 解得 ， 而双
16、曲线 的离心率 = ， 从而 ， 故双曲线 的离心率 的取值范围为 。 考点：本题考查双曲线的简单性质；直线与双曲线的综合应用。 点评：此题是易错题。出错的主要地方是：把直线与双曲线方程联立消去 y，在限制 a的范围是只利用判别式大于 0而忽略了方程二次项系数不等于 0。 (本小题满分 12分 ) 如图椭圆 的上顶点为 A，左顶点为 B, F为右焦点 , 过 F作平行与 AB的直线交椭圆于 C、 D两点 . 作平行四边形 OCED, E恰在椭圆上。 （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）若平行四边形 OCED的面积为 , 求椭圆的方程 .答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析： (1) 焦点为 F(
17、c, 0), AB斜率 为 , 故 CD方程为 y= (x-c). 于椭圆联立后消去 y得 2x2-2cx-b2=0. CD的中点为 G( ), 点 E(c, - )在椭圆上 , 将 E(c, - )代入椭圆方程并整理得 2c2=a2, e = . (2)由 ( )知 CD的方程为 y= (x-c), b=c, a= c. 与椭圆联立消去 y得 2x2-2cx-c2=0. 平行四边形 OCED的面积为 S=c|yC-yD|= c = c , c= , a=2, b= . 故椭圆方程为。 考点：本题考查椭圆的简单性质。 点评：求椭圆的离心率是常见题型，其主要思路是：找出 a、 b、 c的一个关系
18、式即可。此题就是根据点斜式表示出直线 CD的方程，代入椭圆方程，进而可表示出 CD的中点的坐标，则 E点的坐标可得，代入椭圆方程即可求得 a、 b和c的关系式求得离心率 e (本小题满分 12分 ) 已知数列 和 满足： , 其中为实数， 为正整数 （ 1）对任意实数 ，证明数列 不是等比数列； （ 2）试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论； （ 3）设 , 为数列 的前 项和是否存在实数 ，使得对任意正整数 ，都有 若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由 答案：（ 1）见；（ 2）见；（ 3） 。 试题分析：（ 1）证明：假设存在一个实数 ，使 是等比数列， 则有,即 矛盾 所以
19、不是等比数列 (2)解：因为 又 ，所以 当 ， ，此时 当 时， ， ， 此时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 (3)要使 对任意正整数 成立， 即 得 （ 1） 令 ，则当 为正奇数时， 的最大值为 , 的最小值为 , 于是，由（ 1）式得 当 时，由 ，不存在实数满足题目要求 当 存在实数 ，使得对任意正整数 ，都有 ,且 的取值范围是。 考点：本题考查等比数列的简单性质。 点评：本题属于数列综合运用题，考查了由所给的递推关系证明数列的性质，对所给的递推关系进行研究求数列的递推公式以及利用数列的求和公式求其和，再由和的存在范围确定使得不等式成立的参数的取值范围，难度较大，综合性很
20、强，对答题者探究的意识与探究规律的能力要求较高，是一道能力型题 (本小题满分 12分 ) 已知圆 C1的方程为 (x-2)2+(y-1)2= ，椭圆 C2的方程为 ， C2的离心率为 ，如果 C1与 C2相交于 A、 B两点，且线段 AB恰为圆 C1的直径，试求： （ 1）直线 AB的方程；（ 2）椭圆 C2的方程 . 答案：（ 1） y= -x+3；（ 2） + =1。 试题分析：（ 1）由 e= ，得 = ， a2=2c2,b2=c2。 设椭圆方程为 + =1。又设 A(x1,y1),B(x2,y2)。由圆心为 (2,1)，得x1+x2=4,y1+y2=2。 又 + =1， + =1，两式
21、相减，得 + =0。 直线 AB的方程为 y-1= -(x-2)，即 y= -x+3。 （ 2）将 y= -x+3代入 + =1，得 3x2-12x+18-2b2=0 又直线 AB与椭圆 C2相交， =24b2-720。 由 |AB|= |x1-x2|= = ,得 = 。 解得 b2=8，故所求椭圆方程为 + =1。 考点：本题考查椭圆的简单性质；圆与椭圆的综合应用。 点评：一般情况下，遇到弦中点的问题可以优先考虑点差法。利用点差法可以减少很多的计算，因此在解有关的问题时用这种方法比较好。点差法适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题。 (本小题满分 12分 ) 已知焦点在 轴上的双曲线 C的两
22、条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心， 1为半径的圆相切，又知 C的一个焦点与 A关于直线 对称 （ 1）求双曲线 C的方程； （ 2）设直线 与双曲线 C的左支交于 A， B两点，另一直线 经过 M（ -2， 0）及 AB的中点，求直线 在 轴上的截距 b的取值范围 答案： (1) ；（ 2） . 试题分析：（ 1）设双曲线 C的渐近线方程为 y=kx，则 kx-y=0 该直线与圆 相切， 双曲线 C的两条渐近线方程为 y=x 故设双曲线 C的方程为 又双曲线 C的一个焦点为 ， ， 双曲线 C的方程为 : . （ 2）由 得 令 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f(x)=0在 上有两个不等实根 因此 ，解得 又 AB中点为 ， 直线 l的方程为： 令 x=0，得 ， ， . 考点：本题考查双曲线的标准方程；双曲线的性质；直线与双曲线的综合应用；二次函数在某区间上的值域。 点评：研究直线与双曲线的综合问题，通常的思路是：转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与双曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题。
