1、2012-2013学年河南省扶沟县高级中学高二第三次考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 命题 “若 ，则 （ 、 、 ） ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为不知道 的正负，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题，同理其逆命题与否命题也是假命题 . 考点：本小题主要考查不等式的性质和四种命题真假的判断 . 点评：原命题与逆否命题互为等价命题，否命题与逆命题互为等价命题，互为等价命题的两个命题同真同假 . 过抛物线 上一定点 ，作两条直线分别交抛物线于 、 当 与 的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为（ ） A B C D无法
2、确定 答案： B 试题分析：设直线 斜率为 ，则直线 的方程为 ，与联立方程组消去 得： 由韦达定理得：；因为 与 的倾斜角互补，所以 的斜率为 ，同理可得：，所以 考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系、韦达定理、倾斜角与斜率的关系等知识，考查了学生分析问题、解答问题的能力和运算求解能力 . 点评： 与 的斜率存在且倾斜角互补 ,所以它们的斜率互为相反数，从而想到分别设它们的斜率为 和 ，从而使问题得到解决 . 若 、 是双曲线 的两焦点，点 在该双曲线上，且是等腰三角形，则 的周长为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：双曲线 可化为标准方程： ，所以因为点 在该双曲线上，且
3、是等腰三角形，所以 或 当 时，根据双曲线的定义有所以 的周长为 ；同理当时， 的周长为 考点：本小题主要考查双曲线中基本量的计算和双曲线上点的性质以及双曲线定义的应用，考查了学生对问题的转化能力和运算求解能力 . 点评：双曲线的定义在解题时有很重要的作用，要灵活应用 . 已知椭圆 ,过点 且被点 平分的椭圆的弦所在的直线方程是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设过点 且被点 平分的椭圆的弦为 ，设 ，所以有 又因为 两点均在椭圆上，所以两式作差得，即弦 所在的直线的斜率为 ，由直线方程的点斜式可得直线方程为 ，整理得 . 考点：本小题主要考查利用点差法求斜率进而求直线方程，考查学
4、生转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：只要涉及到弦以及弦的中点问题，首先应该想到用 “点差法 ”. 设等比数列 的前 项和为 ，且 成等差数列 .若 ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 成等差数列，所以 ，设等比数列 的公比为 ，又因为 ，所以 ，解得 ，所以考点：本小题主要考查等差数列和等比数列的混合应用和等比数列前 n项和的求法，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：等差数列和等比数列是高中阶段所学的最重要的两个数列，有时会结合在一起考查 . 椭圆 的两焦点为 、 ，以 为边作正三角形，若椭圆恰好平分该正三角形的另两边，则椭圆的离心率是（
5、） A B C D 答案： D 试题分析：以 为边作正三角形，则三角形的第三个顶点一定在 y轴上，又因为椭圆恰好平分该正三角形的另两边，所以另外两边的中点在椭圆上，因为，不妨设第三个顶点在 y轴的正半轴上，则第三个顶点的坐标为 ，所以中点 在椭圆上，代入椭圆方程得：，又因为 ，可以得到离心率为 . 考点：本小题主要考查椭圆上点的性质和椭圆的离心率的求法，考查学生的运算求解能力 . 点评：求椭圆的离心率，只要把 求出来就可以了，不必把 分别求出来 . 下列函数中，最小值是 4的函数是 ( ) A B ( ) C D 答案： C 试题分析：注意到应用基本不等式的条件 “一正二定三相等 ”， A中
6、不一定是正的，所以不正确； B中要取等号，需要 ，即 ，这显然是不成立的； D中 也未必是正的，所以也不正确，只有 C是符合要求的 . 考点：本小题主要考查基本不等式适用的条件和取等号的条件的考查 . 点评： “一正二定三相等 ”是应用基本不等式的三个条件，缺一不可 . 已知等差数列 的前项和为 ，若 三点共线， 为坐标原点，且(直线 不过点 )，则 等于 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： 三点共线，且 ，所以 ，因为是等差数列，所以 ，所以 考点：本小题主要考查向量共线的应用和等差数列性质的应用以及等差数列前n项和的求法 . 点评：由已知条件得出 是解决此题的关键 . .在 中
7、，已知 ，则角 为 ( ) A B C D 或 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，根据余弦定理有：，所以角 为 . 考点：本小题主要考查利用余弦定理求角，考查学生的运算求解能力 . 点评：正弦定理和余弦定理是两个比较重要的定理，要重点掌握，灵活应用 . “曲线 上的点的坐标都是方程 的解 ”是 “曲线 的方程是”的（ ）条件 A充要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分又不必要 答案： C 试题分析： “曲线 的方程是 ”包括 “曲线 上的点的坐标都是方程的解 ”和 “以方程 的解为坐标的点都在曲线 上 ”两个方面，所以 “曲线 上的点的坐标都是方程 的解 ”是 “曲线 的方程是”的必要
8、补充分条件 . 考点：本小题主要考查曲线的方程和方程的曲线的概念和充分条件、必要条件的判断 . 点评： “曲线 上的点的坐标都是方程 的解 ”和 “以方程 的解为坐标的点都在曲线 上 ”均满足时，才能说曲线 的方程是 或方程 的曲线是 . 全称命题 “ ”的否定是 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：本题中给出的命题是全称命题，它的否定是特称命题 . 考点：本小题主要考查全称命题的否定 . 点评：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，否定时既要否定量词，又要否定命题内容 . 若 a、 b、 c R， ，则下列不等式成立的是 ( ) A D 答案： C 试题分析：因为不知
9、道 的正负，所以 A,B不成立；因为 可能为 0，所以 C 不正确；因为 肯定成立，所以 C正确 . 考点：本小题主要考查不等式的性质，考查学生的逻辑推理能力 . 点评：解决此类问题时，一定要注意不等式成立的条件，尤其是正负、是否为0等 . 填空题 若直线 与曲线 只有一个公共点，则 的取值范围是_. 答案： 或 试题分析： 表示椭圆 的上半部分，直线 过点时直线与曲线只有一个交点，此时 ，当直线过点 时，直线开始和曲线有两个交点，此时 ，所以 ；联立直线和曲线的方程可以求得当 时，直线与曲线相切，也是只有一个交点，所以的取值范围是 或 . 考点：本小题主要考查曲线方程、椭圆与直线的位置关系，
10、考查学生数形结合解决问题的能力 . 点评：注意到本小题曲线表示的是半个椭圆，而不是一个完整的椭圆 . 若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 ，则 . 答案： -4 试题分析：实数 成等差数列，可得 ； 成等比数列，可得，再与 联立可得 考点：本小题主要考查等差数列和等比数列的混合运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：等差数列和等比数列是两类最重要的数列，一定要牢固掌握，灵活应用 . 在 中， ， ， ，则 =_. 答案： 或 75 试题分析：在 中，利用正弦定理可得 ，所以 等于 15或 75. 考点：本小题主要考查在三角形中利用正弦定理解三角形 . 点评：利用正弦定理解三角形时，
11、一定要注意解的个数问题，判断的依据是 “大边对大角 ”. 设变量 、 满足约束条件 ，则 的最大值为 _. 答案： 解答题 已知 ： ， ： 若 “ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围 . 答案： 试题分析： 真： ， 真： ， 3 分 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 是 的充分不必要条件， 5 分 ， 8分 解之，得 . 10 分 考点：本小题主要考查一元二次不等式的解法和充分条件、必要条件的应用，考查学生数形结合解决问题的能力和推理运算能力 . 点评：应用充分条件、必要条件等求参数范围时，要借助数轴进行，尤其要注意端点处能不能取到 . 如图，已知抛物线 ，焦点为 ，顶点为 ，
12、点 在抛物线上移动，是 的中点， 是 的中点，求点 的轨迹方程 答案： 试题分析：设 ， ， ， 易求 的焦点 的坐标为（ 1， 0） , 2 分 是 的中点， ， 6 分 又 是 的中点， ， 10 分 P在抛物线 上， ， 所以 M点的轨迹方程为 . 12 分 考点：本小题主要考查利用相关点法求轨迹方程 . 点评：求轨迹方程时本着 “求谁设谁 ”的原则，方法主要要相关点法、代人法等 . 已知 中， ， ， (1)求 的面积关于 的表达式 (2)求 的面积的最大值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： (1)由正弦定理，得 6 分 (2)由 (1)知 ， 故 的面积的最大值为 . 12 分
13、考点：本小题主要考查利用正弦定理求三角形中的边和角、特殊角的三角函数值、两角和与差的三角函数和辅助角公式的应用等，考查学生的综合运算求解能力 . 点评：本题表示出三角形的面积后，不要忘记 的取值范围；利用辅助角公式求解最值时也不要忘记 的取值范围 . 为了竖一块广告牌，要制造三角型支架，三角形支架如图所示，要求， 长度大于 米，且 比 长 米，为了广告牌的稳固，要求的长度越短越好，求 最短为多少？ 答案： 最短为 米 试题分析：设 ，则 ， 在 中，由余弦定理 ， 得 ， 5 分 化简得： ， 10分 当且仅当 ，即 时， 有最小值为 ， 所以， 最短为 米时，广告牌最稳固 . 12 分 考点
14、：本小题主要考查余弦定理和基本不等式求解实际问题中的最值，考查学生由实际问题向数学问题转化的能力和运算求解能力 . 点评：解决实际问题，关键是将实际问题向数学模型转化；利用基本不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件 . 已知数列 的前 项和为 ，对一切正整数，点 都在函数的图像上 (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前项和 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： (1)由题意， ， 时， ， 当 时， ，符合上式， 数列 的通项公式为 . 5 分 (2) 10 分 . 12 分 考点：本小题主要考查由 求 和错位相减法求数列的前 项的和 . 点评：由 求 时不要忘记验证 时的情况
15、；错位相减法求和整理时容易出错，要仔细运算 . 已知椭圆中心在原点，焦点在 轴上，椭圆短轴的端点和焦点组成的四边形为正方形，且 . (1)求椭圆方程； (2)直线 过点 ，且与椭圆相交于 、 不同的两点，当 面积取得最大值时，求直线 的方程 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： (1)由题意知 ： 又 故椭圆方程为 . 4 分 (2)易知直线 的斜率存在，设为 ，直线 方程： ，则 , 设 ，则 ， 又 , 7 分 所以 ， 又点 到直线 的距离 ， . 10 分 令 ，则 , 当且仅当 即 时，取 “ ”, 此时 的方程为 . 12 分 考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系的应用、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式和利用基本不等式求最值等知识的综合应用，考查学生综合运用知识解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：直线与圆锥曲线的关系问题时高考时重点考查的题型，一般是压轴题，难度较大，运算比较复杂，要多加练习，牢固掌握 .
