1、2012-2013学年江西省井冈山中学高二第四次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知空间三条直线 若 与 异面 ,且 与 异面 ,则（ ） A 与 异面 . B 与 相交 . C 与 平行 . D 与 异面、相交、平行均有可能 . 答案： D 试题分析：三条直线可从正方体的 12条棱里选取满足已知的位置，观察可得与 异面、相交、平行均有可能 考点：空间两条直线的位置关系 点评：空间想象力的考查 二面角 的平面角是锐角，点 C 且点 C不在棱 AB上， D是 C在平面 上的射影， E是棱 AB上满足 CEB为锐角的任意一点，则（ ） A CEB DEB B CEB= DEB C CEB
2、 DEB D CEB与 DEB的大小关系不能确定 答案： A 试题分析：作 ,垂足为 O，连接 OD, ,则 为二面角的平面角， , 考点：二面角平面角及解三角形 点评：本题的关键是将要比较的两个角转化为三角形内角 已知正三棱柱 ABCA 1B1C1中， A1B CB1，则 A1B 与 AC1所成的角为（ ） A 450 B 600 C 900 D 1200 答案： C 试题分析：取 AB中点 M， 中点 N，连接 ，底面为正三角形 平面平面 ,则 A1B与 AC1所成的角为 900 考点：异面直线所成角 点评：本题还可用空间向量来解，由已知两线垂直可求出底面边长与高的关系 如图， ABCA
3、1B1C1是正方体， E、 F分别是 AD、 DD1的中点，则面EFC1B和面 BCC1所成二面角的正切值等于 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：取 中点 M，连接 FM，则 平面 ，作 于 N，连接 MN，则 为二面角的平面角，设边长为 1，考点：二面角求解 点评：依图形作出二面角的平面角而后计算 将边长为 1的正方形 ABCD，沿对角线 AC 折起，使 BD= .则三棱锥 D-ABC的体积为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： D 到 OB 边的距离为 ，即 D到平面 ABC的距离为 ，所以三棱锥体积为 考点：三棱锥体积求解 点评：翻折问题关键是找到翻折前后不变的边
4、及不变的边的垂直关系 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一动点 P到直线 AB与直线 B1C1的距离相等，则动点 P所在曲线的形状为 ( ) 答案： C 试题分析： P到直线 的距离等于 P到 的距离，所以点 P满足 P到 AB的距离等于 P到 的距离相等，所以点 P的轨迹是抛物线，经验证 点满足要求 考点：求动点的轨迹及抛物线定义 点评：利用定义求动点的轨迹和轨迹方程是经常用到的方法 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中与 AD1成 600角的面对角线的条数是 ( ) A 4条 B 6条 C 8条 D 10条 答案： C 试题分析： 12条对角线中与之平行的
5、,与之垂直的 ，其余的所成角为 考点：两直线所成角 点评：两直线所成角包括相交角和异面角 若 是三个互不重合的平面， 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ） A若 B若 C若 的所成角相等，则 D若 上有两个点到 的距离相等，则 答案： B 试题分析： A项中有可能 ， C项中 有可能相交， D项中 与 可能相交 考点：空间线面的位置关系的判定 点评：基本知识点，空间想象力的考查 正方体的棱长为 ，由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：正方体体积 ，正方体四个顶点处三棱锥体积都为 ，所以所求体积为 考点：四棱锥体积 点评：正四面体与正方
6、体间的联系：正四面体的边长是正方体的面对角线 已知二面角 是直二面角， P为棱 AB上一点， PQ、 PR分别在平面 、 内，且 ，则 为（ ） A 45 B 60 C 120 D 150 答案： B 试题分析：作 于 C，连接 RC,则 ,设 ,则考点：求两线夹角 点评：本题先将题目中的角转化为三角形内角，再通过解三角形求其大小 填空题 已知直线 m、 n及平面 ，其中 m n，那么在平面 内到两条直线 m、 n距离相等的点的集合可能是：（ 1）一条直线；（ 2）一个平面；（ 3）一个点；（ 4）空集其中正确的是 _。 答案：（ 1）（ 2）（ 4） 试题分析：当直线 m、 n都在平面 时，
7、平面内动点的轨迹是一条直线；当直线 m、 n一条在平面内，一条在平面外时，动点的集合为空集；当直线 m、 n都平行于平面 ，且在平面 的两侧，到平面 的距离相等时，动点的集合是平面 考点：点线面间的空间距离 点评：本题考查空间想象力 正方形 ABCD所在平面与正方形 ABEF所在平面成 60的二面角，则对角线 A与对角线 BF 对所成角的余弦值是 _。 答案： 试题分析：在平面 ABCD内取点 G,H使 A,B,G,H构成正方形 ,对角线A与对角线 BF 对所成角为 ,设正方形边长为 1， 中， 由余弦定理得 考点：异面直线所成角及二面角 点评：先由已知条件作出二面角与异面直线所成角，而后解三
8、角形求其角的余弦 锐角 A为 60，边长为 a的菱形 ABCD沿 BD折成 60的二面角，则 A与 C之间的距离为 _。 答案： 试题分析：取 BD中点 O，连接 OC,OA,则 ，二面角的平面角 ， 考点：二面角及解三角形 点评：先做出二面角的平面角，而后找到与 AC 边的联系 A-BCD是各条棱长都相等的三棱锥 .，那么 AB和 CD所成的角等于 _。 答案： 试题分析：取 CD中点 O，连接 AO,BO,由于各条棱长都相等，所以 平面 ,AB和 CD所成的角等于 考点：异面直线所成角 点评：将此正三棱锥看作是正方体中截取 4个顶点得到的来求解会更加简单 三条平行直线可以确定平面 _个。
9、答案：个或 3个 试题分析：当三条直线都在同一平面时确定一个平面，当三条直线不在同一平面时，由任意两条可以确定一个平面，共可确定三个平面 考点：确定平面的方法 点评：两条平行线或相交线确定一个平面 解答题 设函数 （ 1）设 的内角，且为钝角，求 的最小值； （ 2）设 是锐角 的内角，且 求 的三个内角的大小和 AC 边的长。 答案：（ 1） （ 2） ， 试题分析：（ 1） 3 分 角 A为钝角， 4 分 取值最小值，其最小值为 6分 （ 2）由 8 分 , 10 分 在 中，由正弦定理得： 12 分 考点：三角函数公式及解三角形 点评：解三角形一般都会用到正余弦定理 图形 P-ABCD中
10、，底面 ABCD是正方形， PA 底面 ABCD， PA AB， Q是 PC中点 AC， BD交于 O 点 （ 1）二面角 Q-BD-C的大小： （ 2）求二面角 B-QD-C的大小 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：连 QO，则 QO PA且 QO PA AB PA 面 ABCD QO 面 ABCD 面 QBD过 QO， 面 QBD 面 ABCD 故二面角 Q-BD-C等于 90 （ ）解：过 O 作 OH QD，垂足为 H，连 CH 面 QBD 面 BCD， 又 CO BD CO 面 QBD CH在面 QBD内的射影是 OH OH QD CH QD 于是 OHC是二面角的平面角 设正方形
11、 ABCD边长 2， 则 OQ 1， OD ， QD OH QD OQ OD OH 又 OC 在 Rt COH中： tan OHC OHC 60 故二面角 B-QD-C等于 60 考点：二面角求解 点评：本题还可用空间向量的方法求二面角 已知双曲线 C的中心在原点，抛物线 的焦点是双曲线 C的一个焦点，且双曲线经过点 ，又知直线 与双曲线 C相交于 A、 B两点 . （ 1）求双曲线 C的方程； （ 2）若 ，求实数 k值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）抛物线的焦点是（ ），则双曲线的.1 分 设双曲线方程： 2 分 解得： 5 分 （ 2）联立方程： 当 7 分（未写 扣
12、1 分） 由韦达定理： 8 分 设 代入可得： ，检验合格 .12分 考点：双曲线方程及直线与双曲线的位置关系 点评：第一小题利用定义首先求出 2a也比较简单 如图，已知正方形 ABCD的边长为 1， FD 平面 ABCD， EB 平面 ABCD，FD=BE=1， M为 BC 边上的动点 .试探究点 M的位置，使 FAEM 为直二面角 . 答案： M为 BC 的中点 试题分析：以 D为坐标原点，分别以 DA、 DC、 DF 所在直线为 x、 y、 z轴，建立空间直角坐标 D-xyz， 依题意，得 D(0， 0， 0)， A(1， 0， 0)， F(0， 0， 1)， C(0， 1， 0)， B
13、(1， 1， 0)，E(1， 1， 1)， 设 M(， 1， 0)，平面 AEF的法向量为 =(x1， y1， z1)，平面 AME的法向量为 =(x2， y2， z2) =(0， 1， 1)， =(-1， 0， 1)， 取 z1=1，得 x1=1， y1=-1 =(1， -1， 0) 又 =(-1， 1， 0) ， =(0， 1， 1)， 取 x2=1得 y2=1-， z2=-1 =(1， 1-， -1) 若平面 AME 平面 AEF，则 =0， 1-(1-)+(-1)=0，解得 = ， 此时 M为 BC 的中点 . 所以当 M在 BC 的中点时，平面 AME 平面 AEF. 12 分 考点
14、：空间向量法求解两面垂直 点评：空间向量解立体几何题目首要的是找到坐标系合适的位置，写出相关点的坐标 如图，四棱锥 的侧面 垂直于底面 ， ， 在棱 上，是 的中点，二面角 为 求 的值；答案： 试题分析：建立坐标系 ，其中 ， ， ， ， ， 。 设 ，则 ， 于是 ， 设 为面 的法向量，则 ， ， 取 ， 又 为面 的法向量，由二面角 为 ， 得 ， 解得 故 。 考点：二面角 点评：利用空间向量在求解点的位置问题上简单明了 已知梯形 ABCD中， AD BC， ABC = BAD = ， AB=BC=2AD=4，E、 F分别是 AB、 CD上的点，且 EF BC。设 AE = ， G是
15、 BC 的中点沿EF 将梯形 ABCD翻折，使平面 AEFD 平面 EBCF （如图） （ 1）当 =2时，求证： BD EG ； （ 2）若以 F、 B、 C、 D为顶点的三棱锥的体积记为 ，求 的最大值； （ 3）当 取得最大值时，求二面角 D-BF-E的余弦值 答案：（ 1）建立空间坐标系 E-xyz, B（ 2， 0， 0） D（ 0， 2， 2） E（ 0， 0，0） G（ 2， 2， 0） , （ -2， 2， 2） （ 2， 2， 0） 0 （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）方法一： 平面 平面 ， AE EF， AE 平面 ， AE EF， AE BE， 又 BE EF，故
16、可如图建立空间坐标系 E-xyz ，又 为 BC 的中点， BC=4， 则 A（ 0， 0， 2）， B（ 2， 0， 0）， G（ 2， 2， 0）， D（ 0， 2， 2）， E（ 0， 0， 0）， （ -2， 2， 2）， （ 2， 2， 0）， （ -2， 2， 2） （ 2， 2， 0） 0， 4 分 方法二： 作 DH EF 于 H，连 BH， GH， 由平面 平面 知： DH 平面EBCF， 而 EG 平面 EBCF，故 EG DH 为平行四边形， 且， 四边形 BGHE为正方形， EG BH， BH DH H， 故 EG 平面 DBH， 而 BD 平面 DBH， EG BD 4 分 （或者直接利用三垂线定理得出结果） （ 2） AD 面 BFC，所以 =VA-BFC，即 时 有最大值为 8 分 （ 3）设平面 DBF的法向量为 ， AE=2， B（ 2， 0， 0）， D（ 0， 2， 2）， F（ 0， 3， 0）， 9 分 （ -2， 2， 2）， 则 ，即 ， 取 ， ， 面 BCF一个法向量为 ， 则 cos= ， 14 分 考点：两线垂直的判定及求解二面角大小 点评：本题用向量方法求解比较简单
