1、2012-2013学年广东省汕头市金山中学高二下学期期中理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知实数 满足 那么 A B C D 答案： A 试题分析：因为，实数 满足 所以， a0,c0,由得， a 0, ，又函数 有小于 1的极值点，所以，故选 B。 考点：本题主要考查导数的计算，利用导数求函数极值。 点评：易错题，本题涉及到对数函数，因此要注意函数的定义域。据此得出。 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为 ，则 + + + =( ) A B C D 答案： B 试题分析：对点阵进行考察可以发现数列 的构成规律， =3(n-1)， 所
2、以 + + + + = ， 故选 B。 考点：本题主要考查归纳推理， “裂项相消法 ”。 点评：简单题，对点阵进行考察可以发现数列 的构成规律， =3(n-1)，进一步利用 “裂项相消法 ”求和。 设函数 的图象上的点 处的切线的斜率为 k，若，则函数 的图象大致为（ ）答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，即，其为奇函数，图象关于原点对称，由 0且接近 0是0可知，选 A。 考点：本题主要考查导数的计算，函数的奇偶性及函数图象。 点评：解答题，准确计算函数的导数是关键，利用函数的奇偶性可初步做出判断，结合函数值的情况，确定大致形态。 从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 ，则点 M
3、取自阴影部分的概率为 A B C D 答案： B 试题分析：阴影部分的面积为 ，所以，点 M取自阴影部分的概率为 = ，故选 B。 考点：本题主要考查定积分计算，几何概型概率的计算。 点评：解答题，几何概型概率的计算，关键是明确 “平面区域 ”的 “几何度量 ”，利用定积分解决面积计算问题。 如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为 2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 A B C D 答案： C 试题分析：该几何体是一正四棱锥，底面边长为 2，斜高为 2，所以四棱锥的高为 ，体积为 ，故选 C。 考点：本题主要考查三
4、视图，几何体特征，几何体体积计算。 点 评：基础题，认识几何体的特征是解答此类题的关键。 填空题 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 类比到空间，有两个棱长均为 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 答案： 试题分析： 同一个平面内有两个边长都是 a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心， 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ， 类比到空间有两个棱长均为 a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心， 则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ，故答案：为 考点：本
5、题主要考查归纳推理。 点评：简单题，注意结合图形，分析几何体体积的变化。 若关于 的不等式 存在实数解，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：关于 的不等式 存在实数解，即 能够成立，所以只需 |a|不小于 |x+1|+|x-2|的最小值即可，而其最小值为 3，所以|a| 3，即实数 的取值范围是 考点：本题主要考查绝对值的几何意义 点评：简单题，此类问题的一般解法是转化成求函数的最值问题。本题利用绝对值的几何意义，较直观地求得函数的最值。 函数 的单调递增区间是 答案： 试题分析：因为 ， ，所以由 得，故函数 的单调递增区间是 考点：本题主要考查导数的计算，利用导数研究函数的单调性，简单
6、不等式组的解法。 点评：典型题，函数为增函数时， 0，函数为减函数时， 0. 若直线 是曲线 的切线，则实数 的值为 . 答案： 试题分析：因为，直线 是曲线 的切线，且 的导数为，所以有 =2， =1， x=e， y=e，将（ e， e）代入直线方程得，m=-e。 考点：本题主要考查导数的几何意义。 点评：简单题，函数曲线的切线斜率，等于函数在确定的导函数值。 函数 在区间 内零点的个数为 答案： 试题分析：因为 ，所以 ， 从而 是增函数，且 f(-2)= -40 从而 在 (-2,1)内有唯一零点，设为 ，且 -20， f(x)是增函数 因为 f(-2)= +20， f( )0 从而 f
7、(x)在 (-2,1)上有两个零点 考点：本题主要考查函数零点的概念，导数的计算。 点评：中档题，本解法利用了导数知识，通过研究函数的单调性，认识函数零点的个数。利用零点存在性定理，进行猜测行动计算或结合函数图象，也可以使问题得解。 答案： 试题分析： 。 考点：本题主要考查定积分的计算，定积分的几何意义。 点评：简单题，在定积分计算中，灵活运用定积分的几何意义，可避免求原函数的麻烦。 解答题 已知函数 （其中 ， ， ）的最大值为 2，最小正周期为 . （ 1）求函数 的式； （ 2）若函数 图象上的两点 的横坐标依次为 ， 为坐标原点，求的值 . 答案：（ 1） . （ 2） . 试题分析
8、：（ 1）解： 的最大值为 2，且 ， . 1分 的最小正周期为 ， ，得 . 3分 . 4分 （ 2）解法 1： ， 5分 ， 6分 . 7分 . 10分 12分 解法 2： ， 5分 ， 6分 . 8分 . 10分 . 12分 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，数量积、夹角计算，三角函数的性质。 点评：中档题，将平面向量与三角函数结合在一起进行考查，是高考题的一个显著特点。往往要利用三角公式化简函数，再研究函数的性质或利用函数的性质解题。求向量的夹角，是常见题目，应熟练掌握公式。 数列 的前 项和为 ，且 （ 1）写出 与 的递推关系式 ，并求 , , 的值； （ 2）猜想 关于 的表
9、达式，并用数学归纳法证明 答案：（ 1） （ 2）猜想 ，用数学归纳法证明： 试题分析：（ 1）由 得： ， 即 ， . 可得 （ 2）由（ 1）可猜想 ，下面用数学归纳法证明： (i) 当 时， ,猜想成立 (ii)假设当 时， 成立， 则当 时， 故当 时， ，猜想成立 . 由（ i） (ii)可得， 对一切正整数 都成立 . 关于 的表达式为. 考点：本题主要考查归纳推理及数学归纳法。 点评：中档题，在高考命题中，单独考查数学归纳法已不多见，但 ”归纳、猜想、证明 ”的思想方法，确实是一种重要的方法，因此，应注意熟练掌握。 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的
10、中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 立方米，且 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知 圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元，半球形部分每平方米建造费用为 千元，设该容器的建造费用为 千元 （ 1）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域； （ 2）求该容器的建造费用最小时的 答案：（ I）（ II）当 时，建造费用最小时 ；当 时，建造费用最小时试题分析：（ I）设容器的容积为 ，由题意知 ，又 ， 故 ，由于 ，因此 所以建造费用 （ II）由（ I）得 由于 ，所以 ，令 ，得 （ 1）当 即 时， 所以 是函数的极小值点，也是最小值点 （ 2）当 即 时，
11、函数单调递减， 所以 是函数的最小值点， 综上所述，当 时，建造费用最小时 ；当 时，建造费用最小时 考点：本题主要考查函数模型，利用导数确定函数的单调性及极值。 点评：典型题，这是山东考题，意在考查函数的应用以及导数的应用。从解题方法看，确定好函数式，主要运用几何体体积公式，而求最值，主要运用导数知识，由于要进行分类讨论，所以，不少考生在此失分。 如图，四边形 与 均为菱形， ，且. （ 1）求证： ； （ 2）求证： ； （ 3）求二面角 的余弦值 答案：（ ）连结 FO.由四边形 ABCD为菱形，得 ，且 O 为 AC中点 . 根据 FA=FC，得到 . . （ ）由四边形 与 均为菱形
12、， 得到 得出 平面 ， . （ ）二面角 A-FC-B的余弦值为 . 试题分析：（ ）证明：设 AC 与 BD相交于点 O，连结 FO. 因为四边形 ABCD为菱形，所以 ，且 O 为 AC 中点 . 又 FA=FC，所以 . 2分 因为 ， 所以 . 3分 （ ）证明：因为四边形 与 均为菱形， 所以 因为 所以 又 ， 所以平面 又 所以 . 6分 （ ）解：因为四边形 BDEF为菱形，且 ，所以 为等边三角形 因为 为 中点，所以 由（ ）知 ，故 . 由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 . 设 AB=2因为四边形 ABCD为菱形， ，则 BD=2，所以 OB=1，. 所以 .
13、 8分 所以 . 设平面 BFC的法向量为 则有 所以 取 ，得 . 12分 易知平面 的法向量为 . 由二面角 A-FC-B是锐角，得 . 所以二面角 A-FC-B的余弦值为 . 14分 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几 何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了 “以算代证 ”，对计算能力要求较高。 已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 ， ，点在椭圆 上，过点
14、的直线 与抛物线 交于 两点，抛物线 在点 处的切线分别为 ，且 与 交于点 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 是否存在满足 的点 若存在，指出这样的点 有几个（不必求出点 的坐标） ; 若不存在，说明理由 . 答案： (1) . (2)满足条件的点 有两个 . 试题分析： (1)解法 1：设椭圆 的方程为 , 依题意 : 解得 : 2分 椭圆 的方程为 . 3分 解法 2：设椭圆 的方程为 ， 根据椭圆的定义得 ，即 ， 1分 ， . 2分 椭圆 的方程为 . 3分 (2)解法 1：设点 , ，则 ， ， 三点共线 , . 4分 , 化简得： . 5分 由 ,即 得 . 6分 抛物线 在
15、点 处的切线 的方程为 ，即 . 同理，抛物线 在点 处的切线 的方程为 . 8分 设点 ，由 得： ， 而 ，则 . 9分 代入 得 ， 10分 则 ， 代入 得 ，即点 的轨迹方程为. 11分 若 ，则点 在椭圆 相关试题 2012-2013学年广东省汕头市金山中学高二下学期期中理科数学试卷（带） 已知 ， ， （ 1）若对 内的一切实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （ 2）当 时，求最大的正整数 ，使得对 （ 是自然对数的底数）内的任意 个实数 都有成立； （ 3）求证： 答案：（ 1） （ 2） 的最大值为 （ 3）证明（法一）：先得到 时， ，即 令 ，得 ， 化简得 ，
16、 （法二）数学归纳法： 试题分析：（ 1）由 得 ， ， 要使不等式 恒成立，必须 恒成立 设 ， ， ， 当 时， ，则 是增函数， ， 是增函数， ， 因此，实数 的取值范围是 5分 （ 2）当 时， ， ， 在 上是增函数， 在 上的最大值为 要对 内的任意 个实数 都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值， 当 时不等式左边取得最大值， 时不等式右边取得最小值 ，解得 因此， 的最大值为 9分 （ 3）证明（法一）：当 时，根据（ 1）的推导有， 时， 即 10分 令 ，得 ， 化简得 ， 13分 14分 （法二）数学归纳法：当 时，左边 = ，右边 = ， 根据（ 1）的推导有， 时， ，即 令 ，得 ，即 因此， 时不等式成立 10分 （另解： ， ， ，即 ） 假设当 时不等式成立，即 ， 则当 时 , ， 要证 时命题成立，即证
