1、2012-2013学年四川省遂宁二中高一上学期期中考试数学试（带解析） 选择题 集合 可以表示为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，题目给出集合的描述法表示的集合 A，那么可知代表元素为 x，满足方程 ，即为一元二次方程的解集。那么由于，可知集合是个单元素集 ，故选 B. 考点：本试题考查了集合的描述法。 点评：对于集合的描述法的理解，关键是看代表元素是数集，还是点集，然后按照对应的条件写出所有的元素，属于基础题。 在 上既是奇函数，又为减函数 . 若 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由于根据条件可知， 考点：本试题考查了函数的奇偶性和单调性
2、的运用。 在 上既是奇函数，即可知 f(-x)=-f(x),因此又为减函数则可知 ，同时要满足提前条件 ,解不等式组可知 t的取值范围是 ，综上可知选 B. 点评：解决这类问题的关键是将所求的不等式，转换为两个不同变量函数值的不等关系式，然后借助于单调性和定义域来分析求解得到结论。属于中档题。 遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每 人推选一名代表，当各班人数除以 的余数大于 时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数与该班人数 之间的函数关系用取整函数 （ 表示不大于 的最大整数）可以表示为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：可以采用特殊值法，由于已知中当各班人数除以 的余数
3、大于 时再增选一名代表，比如当 x=56时，则可知被 10除的余数大于 5，因此 y=6,这样选项 A,B中代入得到的结论为 5，不符合题意。再看 x=55,那么可知，而 55被 10除的余数等于 5，因此得到 y=5，显然不成立，排除法选 C. 考点：本题主要考查给定条件求函数式的问题。 点评：要读 懂读明白题意，再根据数学知识即可得到答案：对于选择题要会选择最恰当的方法，属于中档题，考查了分析问题和解决问题的能力。 下列四个命题： (1)函数 在 时是增函数， 也是增函数，所以是增函数； (2)若函数 与 轴没有交点，则 且 ；(3) 的递增区间为 ； (4) 和 表示相等函数。 其中正确
4、命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： A 试题分析：对于命题逐一的进行分析 举一个例子 y=- ，当 x 0时，函数为增函数，当 x 0时，函数为增函数，但是在 x0时，函数不单调，所以错误； 由若函数 f（ x） =ax2+bx+2与 x轴没有交点，则 b2-8a 0且 a 0，或者 b2-8a 0且 a 0，或者 a=b=0；所以此命题错； 当 x0时， y=x2-2x-3，为对称轴为直线 x=1的开口向上的抛物线，所以 1，+）为函数的增区间；当 x 0时， y=x2+2x-3，为对称轴为直线 x=-1的开口向上的抛物线，所以 -1， 0为增区间，综上， y=x2
5、-2|x|-3的递增区间为 1， +）和 -1， 0，故 不正确； 因为 y=1+x和 =|1+x|表示的函数的式不同，故命题不正确 故答案：为 A 考点 ：本试题主要是考查了函数单调性和函数概念，以及图像与 x轴交点问题的运用。 点评：此题是一道综合题，要求学生掌握函数单调性的判断与证明和二次函数的性质，判断两个函数是否为同一函数，会利用举反例的方法说明一个命题是假命题 如果偶函数 ，当 时， ，则 在 上是（ ） A增函数，最大值为 B增函数，最小值是 C减函数，最大值为 D减函数，最小值是 答案： D 试题分析：利用函数的偶函数的对称性，可知在对称区间上单调性相反，因此当 时， ,可知是
6、 和 都是增函数，因此结合单调性的性质可知也是增函数，所以说明在 是减函数，因此有最小值f(-2)=f(2)=8-2=6,最大值 f(-3)=f(3)=18-3=15,可知正确的选项为 D. 考点：本试题考查了函数的奇偶性和单调性的运用。 点评：解决该试题的关键是能利用函数单调性的性质：增 +增 =增，减 -增 =减，增 -减 =增 减 +减 =减，的思想来分析求解。同时要注意利用对称性进行 -x和 x函数值之间的对应即可，属于中档题。 已知定义在 R上的函数 满足 ， ，若当时，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为根据已知条件，那么函数 满足 ，则，定义域为 R，因此是奇函
7、数，同时由于 ,即因此当 时，代入上式中，可知， -4，故选 A. 考点：本试题考查了函数的奇偶性的运用。 点评： 下列函数中，既是偶函数又在区间 单调递增的函数是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据函数奇偶性以及单调性的概念，那么可知 选项 A中， ，定义域关于原点对称，且有 是奇函数。不符合题意。 而选项 B中，由于 ， ，因此是偶函数， 当时利用复合函数单调性的判定可知，当 x0 时，外层函数递增，内层函数递减，则复合函数是递减的。错误。 选项 C中， 是奇函数， 不符合。 选项 D，作为二次函数，开口向上，对称轴为 y轴，显然是偶函数，同时也是定义域内增函数，因此成立。故
8、选 D. 考点：本试题考查了函数的奇偶性和函数单调性的概念。 点评：对于函数的奇偶性的判定，一般要抓住两点：定义域是否关于原点对称，同时式 f(-x)与 f(x)的和为零，还是差为零来得到判定，而单调性的问题，主要是熟悉常见的基本初等函数的单调性，结合性质来判定，属于基础题。 已知函数 定义域是，则 的定义域是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据函数的定义域的概念，那么由于函数 定义域是，可知 ,那么可知 ，因此可知 中表达式的范围即为【 -1， 4】 可得 可知答案：为 C 考点：本试题考查了函数的定义域。 点评：对于函数定义域的理解是解决该试题的关键。，定义域指的是自变量 x
9、的取值范围，不是一个表达式的范围。同时因为同一个对应法则下，变量整体的范围是相同的。属于基础题。 设 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据指数函数的值域和对数函数的值域，那么可知 ，除 0的零次幂无意义，任何数的零次幂都是 1，因此对于对数底数小于 1的函数，单调递减，因此 可知那么其大小关系为 ，故选 C. 考点：本试题考查了对数函数与指数函数的性质运用。 点评：结合指数函数和对数函数的值域，常用 0， 1 作为中间量来建立大小关系，进而比较，属于基础题。 下列式子正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据函数中的基本关系式，对数式和指
10、数式的运算法则，那么可知 选项 A中， ，因此错误。 选项 B中，由于 ，故成立。 选项 C中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此 ，故错误。 选项 D中， ，不成立，故错误。因此选 B. 考点：本试题考查了对数式和指数式的化简求值。 点评：解决该试题的关键是理解对数式和指数式的运算性质，然后借助于同底的对数和分数指数幂的四则运算法则来求解。属于基础题。 设函数 ，则 的表达式是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为函数 令 = ，那么则 ，故 ,也就是说明了 =。故选 B. 考点：本试题考查了函数的式的求解。 点评：利用函数式的对应相等关系，结合换元法的思想来求解函数的式。体
11、现了同一对应法则下，式的结构是一样的。无论变量是字母，还是表达式，对应的关系不变。属于基础题。 若全集 ，则集合 的真子集共有（ ） A 个 B 5个 C 7个 D 个 答案： C 试题分析：根据题意，结合补集的概念，以及全集 ，那么可知全集 ,因此集合中有 3个元素，那么共有真子集为个，故选 C. 考点：本试题考查了集合的真子集的概念运用。 点评：解决集合的子集个数，就看集合中有 m个元素，那么就有 个子集，真子集只有 -1个，非空真子集为 -2个。能熟练的利用这个结论来解答。属于基础题。 填空题 函数 的定义域为 ,若 ，且 时总有 ，则称 为单函数 .例如 是单函数，现给出下列结论： 函
12、数 是单函数； 函数 是单函数； 偶函数 ， （ ）有可能是单函数； 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的正确的结论是 （写出所有正确结论的序号） 答案： 试题分析：因为根据题意 为单函数，说明一个 x对应一个 y，反之呢，一个 y对应一个 x,因此根据对于概念的理解， 得到 命题 1中，函数是二次函数，显然不满足一个 y对应一个 x。舍去 命题 2中，是指数函数，在整个定义域内严格递增，那么满足单函数的定义，成立。 命题 3中，由于函数是抽象函数，且为偶函数 ， （ ）有可能是单函数，不能满足。因为 f(-m)=f(m),不同的变量也有同一个函数值。故错误 命题 4中，在定义域上具
13、有单调性的函数一定是单函数 显然符合定义，故成立，正确的命题序号为 考点：本试题考查了新定义的运用。 点评：理解这里的单函数实际上就是一一对应的函数，那么利用这一点逐项分析，结合指数函数和幂函数的性质来得到结论。属于中档题。 若 ，且 ，则函数 的单调递增区间是 _； 答案： 试题分析：根据二次函数的对称轴性质，可知函数值相等的两个变量关于对称轴 对称同时利用 ,说明了函数与坐标轴的交点横坐标为 1 和 2，因此那么可知 ,展开可知 b=3,c=2，因此,结合绝对值函数的性质，可知在 区间上递增，故答案：为 。 考点：本试题考查了函数的单调性的运用。 点评：解决该试题的关键是理解函数的关系式，
14、表示的含义，从而得到参数 b的值，进而得到式，然后利用分段函数的单调性来确定出单调区间即可。属于基础题。 已知函数 ，若 ，则 答案： 或 试题分析：根据题意，那么要使得 f(x)=10,则需要对于 x属于哪一段的变量进行讨论。 当 时，则 (舍 ) 当 时，则 ,综上可知满足题意的 x的取值有两个，且为或 。 考点：本试题考查了分段函数的式的运用。 点评：解决该试题的关键是理解，函数值的求解，需要对于 x进行分类讨论，来确定解集。同时要熟练一元二次方程的求解运用，属于基础题。 = 答案： 试题分析：因为结合指数幂与根式间的关系式可知 考点：本试题考查了根式的运算性质。 点评：熟练的理解并记忆
15、 ,同时要理解根式的含义，灵活的运用公式来求解。属 于基础题。 解答题 （本小题满分 12分） 已知集合 A a2， a 1， -3， B a-3， a2 1,2a-1，若 AB -3， （ ）求实数 a的值 （ ）设 ，求不等式 的解集。 答案：（ 1） a -1.（ 2） (-3,1) (3， ) 试题分析：（ ） AB -3， -3 B， 当 a-3 -3，即 a 0时， AB -3,1，与题设条件 AB -3矛盾，舍去； 当 2a-1 -3，即 a -1时， A 1,0， -3， B -4,2， -3， 满足 AB -3，综上可知 a -1.6 分 （ ） f(1) 3， 当 x0时，
16、由 f(x) f(1)得 x2-4x 63， x 3或 x 1.又 x0， x 0,1) (3， ) 当 x 0时，由 f(x) 3得 x 6 3 x -3， x (-3,0) 所求不等式的解集为： (-3,1) (3， ) 12 分 考点：本试题考查了集合的交集，一元二次不等式的求解。 点评：解决该试题的关键是要利用集合运算的特性：互异性来确定参数 a 的值。从 -3是公共的元素入手来分析，而对于分段函数的不等式的求解，需 要对 x进行分类讨论得到。属于中档题。 （本小题满分 12分） 设函数 的定义域为 A，函数 的值域为 B。 （ ）求 A、 B； （ ）求设 ,求 答案：（ 1） ，
17、（ 2） 试题分析：解：（ ）由 ，得 ， 3 分 又 ， ， 6 分 （ ） ， 10 分 , , 12 分 考点：本试题考查了函数的定义域和值域的求解运用。 点评：解决该试题的关键是对于带有偶次根式的表达式，以及对数式的函数的定义域的求解和值域的准确表示，并结合数轴法来求解交集和补集，属于基础题。易错点就是集合 A的求解，忽略了对数真数大于零。 （本小题满分 12分） 若函数 为奇函数，当 时， （如图） （ ）求函数 的表达式，并补齐函数 的图象； （ ）用定义证明：函数 在区间 上单调递增 答案：（ 1） （ 2）利用定义法，设变量，作差，变形，定号，下结论。 试题分析：解：（ ） 任
18、取 ，则 由 为奇函数， 则 4 分 综上所述， 5 分 补齐图象。（略） 6 分 （ ）任取 ，且 ， 7 分 则 8 分 10 分 又由 ，且 ，所以 ， ， ，即 11 分 函数 在区间 上单调递增。 12 分 考点：本试题考查了奇函数的定义以及函数单调性的证明。 点评：解决该试题利用奇函数关于原点的对称性求解函数图像，同时能利用单调性的定义法证明单调性。属于基础题。 （本小题满分 12分） 定义在 R上的偶函数 在 上递增，函数 的一个零点为 - 。 求满足 的 x的取值集合 答案： x| x2 试题分析： - 是函数的零点， ， 1 分 为偶函数， ， 2 分 在 (-， 0上递增，
19、 4 分 0 - ， 1x2， 7 分 为偶函数， 在 0， )上单 调减， 8分 又 ， 0 ， x1， x2.11 分 故 x的取值集合为 x| x2 12 分 考点：本试题考查了函数的零点以及对数不等式的求解运用。 点评：解决该试题的关键是利用函数的零点，转化为该数是方程的一个根，进而根据偶函数求解得到函数值为零的点，然后结合单调性来得到不等式的解集。属于中档题。 易错点是对数不等式的求解，忽略了单调性造成不等式符号的错误 。 （本小题满分 12分） 一片森林原来面积为 ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10年，为保护生态环境，森林面积至
20、少要保留原面积的 ，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 . （ ）求每年砍伐面积的百分比； （ ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （ ）今后最多还能砍伐多少年？ 答案： (1) (2) 已砍伐了 5年 (3) 今后最多还能砍伐 15年 （本小题满分 14分） 已知函数 ， ，记 。 （ ）判断 的奇偶性，并证明； （ ）对任意 ，都存在 ，使得 ， .若，求实数 的值； （ ）若 对于一切 恒 成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）奇函数 (2) (3) 试题分析：解：（ ）函数 为奇函数 2 分 现证明如下： 函数 的定义域为 ，关于原点对称。 3 分 由 5 分 函数 为奇函数 6 分 （ ）据题意知，当 时， ， 7 分 在区间 上单调递增， ，即 8 分 又 函数 的对称轴为 函数 在区间 上单调递减 ，即 9 分 由 ， 得 ， 10分 （ ）当 时， 即 ， ， 12 分 令 ， 下面求函数 的最大值。 ， 13 分 故 的取值范围是 14分 考点：本试题考查了函数的奇偶性和单调性的运用。 点评：解决该试题的关键是能熟练的运用指数函数和二次函数的性质得到最值，以及根据奇偶性的定义准确的证明，同时对于不等式的恒成立问题，能分离参数法来得到其取值范围。属于中档题。
