1、2011届湖南省长沙市长望浏宁四县高三 3月调研考试数学理卷 选择题 设集合 ， ，则 A B C D 答案： C 下图展示了一个由区间 到实数集 R的映射过程：区间 中的实数对应数轴上的点 （如图 1）；将线段 围成一个圆，使两端点 、 恰好重合（从 到 是逆时针，如图 2）；再将这个圆放在平面 直角坐标系中，使其圆心在 y轴上，点 的坐标为 （如图 3），图 3中直线 与 x轴交于点 ，则 的象就是 ，记作 则下列命题中正确的是 A B 是奇函数 C 在其定义域上单调递增 D 的图象关于 轴对称 答案： C 图中的阴影部分由底为 ，高为 的等腰三角形及高为 和 的两矩形所构成设函数 是图中
2、阴影部分介于平行线 及 之间的那一部分的面积， 则函数 的图象大致为 答案： C 在 中， 是 的中点， ，点 在 上且满足 ，则 等于 A B C D 答案： A 在 中，若 ，则 的值为 A B C D 答案： D 求曲线 与 所围成图形的面积，其中正确的是 A B C D 答案： B 已知回归方程 则 A =1.5 -15 B 15是回归系数 a C 1.5是回归系数 a D x=10时， y=0 答案： A 下列说法中，正确的是 A命题 “若 ，则 ”的逆命题是真命题 B命题 “ ， ”的否定是： “ ， ” C命题 “ 或 ”为真命题，则命题 “ ”和命题 “ ”均为真命题 D已知
3、，则 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 答案： B 填空题 目标函数是单峰函数，若用分数法需要从 12个试验点中找出最佳点，则前两个试验点放在因素范围的位置为 答案： ， 已知曲线 C的极坐标方程为 ，则曲线 C上的点到直线为参数）的距离的最大值为 . 答案： 在平面直角坐标系 中， 为坐标原点 .定义 、 两点之间的 “直角距离 ”为 .若点 ，则 = ；已知点 ，点 M是直线 上的动点， 的最小值为 . 14.如图，半径为 2的 O 中， ， 为 的中点， 的延长线交 O 于点 ，则线段 的长为 答案： 已知等差数列 的前 n项和为 ，若 ， ，则 答案： 4 ， 把边长为 1的正方形 沿
4、对角线 折起形成三棱锥 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为 答案： 如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填 答案： 在平面直角坐标系 中，设 是由不等式组 表示的区域，是到原点的距 离不大于 1的点构成的区域，向 中随机投一点，则所投点落在 中的概率是 答案： 解答题 已知函数 （ 1）若 ，求 的最大值； （ 2）在 中，若 ， ，求 的值 答案：解：（ 1） 3分 ， 当 时，即 时， 的最大值为 6分 （ 2） ， 若 是三角形的内角，则 ， 令 ，得 ， 或 ， 解得 或 8分 由已知， 是 的内角， 且 ， ， ， 10分 又由正弦定理，得 12分 (本 小题满分
5、 12分 ) 某地区举办科技创新大赛，有 50件科技作品参赛，大赛组委会对这 50件作品分别 从 “创新性 ”和 “实用性 ”两项进行评分，每项评分均按等级采用 5分制，若设 “创新性 ”得分为 ， “实用性 ”得分为 ，统计结果如下表： 作品数量 实用性 1分 2分 3分 4分 5分 创 新 性 1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 1 0 9 3 4分 1 6 0 5分 0 0 1 1 3 （ 1）求 “创新性为 4分且实用性为 3分 ”的概率； （ 2）若 “实用性 ”得分的数学期望为 ，求 、 的值 答案：解：（ 1）从表中可以看出， “创新性为 分且实用性为
6、分 ”的作品数量为 件， “创新性为 分且实用性为 分 ”的概率为 4分 （ 2）由表可知 “实用性 ”得分 有 分、 分、 分、 分、 分五个等级， 且每个等级分别有 件， 件， 件， 件， 件 5分 “实用性 ”得分 的分布列为： 又 “实用性 ”得分的数学期望为 ， 10分 作品数量共有 件， 解得 ， 12分 (本小题满分 12分 ) 已知正方形 ABCD的边长为 1， 将正方形 ABCD沿对角线折起，使 ，得到三棱锥 ABCD ，如图所示 （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的余弦值 答案：解 : （ 1）证明：在 中， ， ， ， . 又 是正方形 ABCD的对角线， ， 又 .
7、 4分 （ 2）由（ II）知 ，则 OC， OA， OD两两互相垂直，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系 . 则 ， 是平面 的一个法向量 . 7分 ， ， 设平面 的法向量 ,则 ， . 即 ， 10分 所以 且 令 则 ， ，解得 . 11分 从而 ，二面角 的余弦值为 12分 (本小题满分 13分 ) 某电视生产企业有 A、 B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放 A、B两种型号电视机的价值分别为 a、 b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为 万元（ m 0且为常数）已知该企业投放总价值为 10万元的A、 B两种型号的电视机，且 A、 B两种型号的投放金额都不低于 1万
8、元 （ 1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域； （ 2）求当投放 B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？ 答案：解：（ 1）设投放 B型电视机的金额的 x万元，则投放 A型电视机的金额为（ 10 x）万元，农民得到的总补贴4分（没有指明 x范围的扣 1分） （ 2） ， 令 y=0得 x=10m 1 6分 1若 10m11即 0 m ，则 f（ x）在为减函数， 当 x=1时， f（ x）有最大值； 2若 1 10m1 9即 ，则 f（ x）在是增函数 , 在是减函数，当 x=10m1时， f（ x）有最大值； 3若 10m19即 m1，则
9、 f (x)在是增函数， 当 x=9时， f（ x）有最大值 10分 因此，当 0 m 时，投放 B型电视机 1万元；当 时， 投放 B型电视机（ 10m1）万元，当 m1时，投放 B型电视机 9万元 农民得到的总补贴最大。 13分 (本小题满分 13分 ) 给定椭圆 0 ，称圆心在原点 ，半径为 的圆是椭圆的 “准圆 ”。若椭圆 的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 的距离为 。 （ 1）求椭圆 的方程和其 “准圆 ”方程； （ 2）点 是椭圆 的 “准圆 ”上的一个动点，过点 作直线 ，使得 与椭圆都只有一个交点。求证： . 答案：解：（ 1）因为 ，所以 2分 所以椭圆的方程为 ， 准圆
10、的方程为 . 4分 （ 2） 当 中有一条无斜率时，不妨设 无斜率， 因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 或 ， 当 方程为 时，此时 与准圆交于点 此时经过点 （或 且与椭圆只有一个公共点的直线是 (或 ，即 为 (或 ，显然直线 垂直； 同理可证 方程为 时，直线 垂直 . 7分 当 都有斜率时，设点 其中 ， 设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ， 则 ，消去 得到 ， 即 ， ， 经过化简得到： ， 9分 因为 ，所以有 ， 设 的斜率分别为 ，因为 与椭圆都只有一个公共点， 所以 满足上述方程 ， 所以 ，即 垂直 . 13分 (本小题满分 13分 ) 已知函数 ， 为正常数 （ 1）若 ，且 ，求函数 的单调增区间； （ 2）若 ，且对任意 ， ，都有 ，求 的的取值范围 答案： . 解： ， 2 分 ，令 ，得 ，或 ， 函数 的单调增区间为 ， 。 6分 ， ， ， 8分 设 ，依题意， 在 上是减函数。 当 时， ， ， 令 ，得： 对 恒成立， 设 ，则 ， ， ， 在 上是增函数，则当 时， 有最大值为 ， 。 10分 当 时， ， ， 令 ，得： ， 设 ，则 ， 在 上是增函数， ， ， 12分 综上所述， . 13分
