1、2011届江苏省常州市教育学会高三学生学业水平监测数学试卷与答案 填空题 若 （其中 为虚数单位），则 的值是 答案： 若对任意的 ,均有 成立，则称函数 为函数到函数 在区间 上的 “折中函数 ”已知函数，且 是 到 在区间 上的 “折中函数 ”，则实数 的取值范围为 答案： 在平面直角坐标系 中，若与点 的距离为 1且与点 的距离为 3的直线恰有两条，则实数 的取值范围为 答案： 已知实数 满足 ，则 的最大值为 答案： 给出下列四个命题： “直线 直线 ”的必要不充分条件是 “ 平行于 所在的平面 ”； “直线 平面 ”的充要条件是 “ 垂直于平面 内的无数条直线 ”； “平面 平面 ”
2、是 “ 内有无数条直线平行于平面 ”的充分不必要条件； “平面 平面 ”的充分条件是 “有一条与 平行的直线 垂直于 ” 上面命题中，所有真命题的序号为 答案： 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的焦点到一条渐近线 的距离为 4，若渐近线 恰好是曲线 在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 答案： 设 、 是夹角为 的两个单位向量，已知 ， ， ( 为实数 ) 若 是以 为直角顶点的直角三角形，则 取值的集合为 答案： 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 时， ，则 的值为 答案： 已知数列 的前 项的和为 ，若 ,则 的值为 答案： 如图所示的算法流程框图中，若输入 ，则最后 输出的 的值是
3、答案： 已知函数 ，则 答案： 某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出 了一个容量为 500的学生样本，已知他们的开销都不低于 20元且不超过 60元，样本的频率分布直方图如图所示， 则其中支出在 元的同学有 人 答案： 函数 的单调递增区间是 答案： 从集合 中任取两个不同的元素 ，则事件 “乘积 ”发生的概率为 答案： 解答题 （本小题满分 16分） 已知数列 满足 ，当 ， 时， 求数列 的通项公式； 是否存在 ，使得 时，不等式 对任意实数恒成立？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由 在 轴上是否存在定点 ，使得三点 、 、（其中 、 、 是互不相等的正整数且 ）到定点
4、 的距离相等？若存在，求出点 及正整数 、 、 ；若不存在，说明理由 答案： (1) (2) 5 (3) 不存在 （本小题满分 16分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的右焦点为 （ ， 为常数），离心率等于 0.8，过焦点 、倾斜角为 的直线 交椭圆于 、 两点 求椭圆 的标准方程； 若 时， ，求实数 ； 试问 的值是否与 的大小无关，并证明你的结论 答案： (1) (2) (3)略 （本小题满分 14分） 某公司 2009年 9月投资 14400万元购得上海世界博览会某种纪念品的专利权及生产设备，生产周期为一年已知生产每件纪念品还需要材料等其它费用 20元，为保证有一定的利润，公司决定
5、纪念品的销售单价不低于 150元，进一步的市场调研还发现：该纪念品的销售单价定在 150元到 250元之间较为合理（含150元及 250元）并且当销售单价定为 150元时，预测年销售量为 150万件；当销售单价超过 150元但不超过 200元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少 1万件；当销售单价超过 200元但不超过 250元时，预测每件纪念品的销售价格每增加 1元，年 销售量将减少 1.2万件 根据市场调研结果，设该纪念品的销售单价为 （元），年销售量为 （万件），平均每件纪念品的利润为 （元） 求年销售量为 关于销售单价 的函数关系式； 该公司考虑到消费者的利益，决定销
6、售单价不超过 200元，问销售单价 为多少时，平均每件纪念品的利润 最大？ 答案： (1) (2)x=180,利润最大为 40元 （本小题满分 14分） 如图，直四棱柱 的底面 是菱形，,点 、 分别是上、下底面菱形的对角线的交点 求证： 平面 ； 求点 到平面 的距离 答案： (1)略 (2) （本小题满分 14分） 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 求 的值； 若 ，求 及 的值 答案： (1) (2) ， 解： ， 为三角形内角， ， ， ， ， , 整理得 解得， ， （本小题满分 16分） 已知 为实数，函数 ，函数 ， 令函数 若 ，求函数 的极小值； 当 时，解不等式 ； 当 时，求函数 的单调区间 答案： (1) (2) (3)
