1、2011届北京市高三起点考试理科数学卷 选择题 已知复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的实部与虚部 之和为（ ） A 0 BC 1 D 2 答案： C 给出定义：若 （其中 为整数），则 叫做离实数 最近的整数，记作 。在此基础上给出下列关于函数 的四个命题： ； ； ； 的定义域是 R，值域是 ；则其中真命题的序号是 （ ） A B C D 答案： B 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为 ，第二次出现的点数为 ，则方程组 只有一个解的概率为 （ ） A B C D 答案： B 已知双曲线 的右顶点为 E，过双曲线的左焦点且垂直于 轴的直线与该双曲线相交 A、 B两点，若
2、 ，则该双曲线的离心率 是（ ） A B 2 C D不存在 答案： B 函数 的最小正周期为 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象 （ ） A关于点 对称 B关于直线 对称 C关于点 对称 D关于直线 对称 答案： D 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ） A B C D 答案： C 在 同，点 P在 BC上，且 ，点 Q是 AC的中点，若（ ） A（ -6， 21） B（ -2， 7） C（ 6， -21） D（ 2， -7） 答案： A 设 是两条直线， 是两个 平面，则下列命题中错误的是 （ ） A若 B若 C若 D若 答案： D 统
3、计某校 1000名学生水平 测试成绩，得到样频率分布直方图如图所示，若满分为 100分，规 定不低于 60分为及格，则及格率是 （ ） A 20% B 25% C 6% D 80% 答案： D 设 是两个简单命题，若 的充分不必要条件，则 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 已知数列 是等比数列，且 的公比 为 （ ） A 2 BC -2 D答案： C 已知集合 等于 （ ） A -1， 0， 1 B 1 C -1， 1 D 0， 1 答案： B 填空题 从 10名 大学毕业生中选 3个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1人入选，而丙没有入
4、选的不同选法的种数为 。 答案： 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是 。 答案： 展开式按 的升幂排列，则第 3项的系数为 。 答案： 在 中，三边 所对的角分别为 A， B， C，若，则角 C的大小为 。 答案： 解答题 （本小题满分 10分） 已知函数 为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为 （ 1）求 的式； （ 2）若 的值。 答案：（ 1） （ 2） （本小题满分 12分） 某品牌的汽车 4S店，对最近 100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分 3期付款的频率为 0.2，
5、4S店经销一辆该品牌的汽车 ，顾客分 1期付款，其利润为 1万元，分 2期或 3期付款其利润为 1.5万元；分 4期或 5期付款，其利润为 2万元，用 表示经销一辆汽车的利润。 付款方工 分 1期 分 2期 分 3期 分 4期 分 5期 频数 40 20 10 （ 1）求上表中的 值； （ 2）若以频率作为概率，求事件 A： “购买该品牌汽车的 3位顾客中，至多有1位采用 3期付款 ”的频率 P（ A）； （ 3）求 的分布列及数学期望 E 。 答案：（ 1） , （ 2） （ 3） 1 1.5 2 P 0.4 0.4 0.2 的数学期望（万元） （万元） （本小题满分 12分） 如右图，正方
6、形 ABCD所在平面与圆 O所在平面相交于 CD，线段 CD为圆 O的弦， AE垂直于圆 O所在平面，垂足 E是圆 O上异于 C、 D的点， AE=3，圆O的直径为 9。 （ 1）求证：平面 ABCD 平在 ADE； （ 2）求二面角 DBCE 的平面角的正切值； 答案：（ 1）略 （ 2）二面角 DBCE 的平面角的正切值为 （本题满分 12分） 已知函数 的图象经过点 A（ 1， 1）、 B（ 2， 3）及 C（ ），为数列 的前 项和。 （ 1） 求 及 ； （ 2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 。 答案：（ 1）当 ， （ 2） （本小题满分 12分） 已知椭圆 的左、右两个焦点
7、分别为 F1、 F2，离心率为 ，且抛物线 与椭圆 C1有公共焦点 F2（ 1， 0）。 （ 1）求椭圆和抛物线的方程； （ 2）设 A、 B为椭圆上的两个动点， ，过原点 O作直线 AB的垂线OD，垂足为 D，求点 D为轨迹方程。 答案：（ 1）椭圆的方程为 =1，抛物线的方程为 （ 2）点 D的轨迹方程为 （本小题满分 12分） 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 ，（其中 是自然对数的底， ） （ 1）求 的式； （ 2）设 ，求证：当 时， （ 3）是否存在实数 ，使得当 时， 的最小值是 3？如果存在，求出实数 的值；如果不存在，请说明理由。 答案：（ 1） （ 2）略 （ 3）存在实数 ，使得 时， 有最小值 3
