1、2010年贵州省遵义市高三考前最后一次模拟测试数学（理）试题 选择题 （ ） A B C D 答案： D 定义函数 （定义域），若存在常数 C，对于任意 ，存在唯一的 ，使得 ，则称函数 在 D 上的 “均值 ”为 C，已知 ， ，则函数 在 上的均值为（ ） A B C D 10 答案： C 已知四棱柱 的底面为正方形，侧棱与底面边长相等， 在底面 内的射影为正方形 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（ ） A B C D 答案： D 过点 且与曲线 相切的直线方程是（ ） A B C D 或答案： D 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成 个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个
2、，其中恰有 个面涂有颜色的概率为 ( ) A B C D 答案： C 设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A B C D 答案： B 将函数 （ ）的图象按向量 平移后得到函数，则 的一个可能的值为（ ） A B C D 答案： A 若直线 经过点 ，则 ( ) A B C D 答案： C 若 ，则下列不等式成立的是 ( ) A B C D 答案： A 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 、 、三点共线（该直线不过原点 ），则 （ ） A B C D 答案： B 函数 （ ）的反函数为（ ） A （ ） B （ ） C （ ） D （ ） 答案： D 设集合 ，
3、 ，则 （ ） A B C D 答案： B 填空题 如图， 、 、 是表面积为 的球面上三点， ， ， 为球心，则直线 与截面 所成角的余弦值是 答案： 函数 在 处连续，则实数 a的值为 答案： 已知点 满足 ，则 的最小值是 答案： 展开式中 的系数为 答案： 解答题 （本小题满分 10分） 若函数 （ 1）求函数 的单调递减区间； （ 2）已知 的三边 、 、 对应角为 、 、 ，且三角形的面积为 ，若 ，求 的取值范围 答案：（ 1） （ 2） （本小题满分 12分） 有编号为 l， 2， 3， ， 的 个学生，入坐编号为 1， 2， 3， ， 的 个座位每个学生规定坐一个座位，设学生
4、所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ，已知 时，共有 6种坐法 （ 1）求 的值； （ 2）求随机变量 的概率分布列和数学期望 答案：（ 1） 4 （ 2）分布列见，期望是 3 （本小题满分 12分） 如图，在底面是正方形的四棱锥 中， 面 ， 交 于点， 是 中点， 为 上一点 （ ）求证： ； （ ）确定点 在线段 上的位置，使 /平面 ，并说明理由； （ ）当二面角 的大小为 时，求 与底面 所成角的正切值 答案：（ ）证明见 （ ） G为 EC中点，理由见 （ ） 证明（ ）： 面 ABCD，四边形 ABCD是正方形，其对角线 BD,AC交于点 E， BD,AC BD, BD 平
5、面 PAC, 3 分 FG 平面 PAC, BD FG 4 分 （ ）当 G为 EC中点，即 AG= AC时， FG/平面 PBD, 5分 理由如下： 连接 PE，由 F为 PC中点 ,G为 EC中点，知 FG/PE， 而 FG 平面 PBD, PE 平面 PBD, 故 FG/平面 PBD。 8 分 ( )：作 BH PC于 H,连结 DH, 面 ABCD，四边形 ABCD是正方形， PB=PD, 又 BC=DC,PC=PC, PCB PCD, DH PC,且 DH=BH, BHD就是二面角 B-PC-D的平面角， 9 分 即 BHD= ， 面 ABCD, PCA就是 PC与底面 ABCD所成
6、的角 10 分 连结 EH,则 EH BD, BHE= ,EH PC, tan BHE= ,而 BE=EC, , sin PCA= , tan PCA= , PC与底面 ABCD所成角 的正切值是 12 分 用向量方法： 解：以 A为原点， AB,AD,AP所在的直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方形 ABCD的边长为 1，则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0)， D(0,1,0),P(0,0,a)(a0),E( ),F( ),G(m,m,0)(0m ) 2 分 （ ） =（ -1， 1， 0）， =（ ）， =-m+ +m- +0=0, BD FG
7、4 分 （ ）要使 FG/平面 PBD，只需 FG/EP,而 =( ),由 = 可得，解得 =1， m= , 6 分 G（ ， ， 0）， ， 故当 AG= AC时， FG/平面 PBD 8 分 ( )设平面 PBC 的一个法向量为 =（ x,y,z），则 ，而 ， ，取 z=1,得 =（ a,0,1） ,同理可得平面 PDC的一个法向量为 =（ 0， a,1） , 设 ， 所成的角为 ，则 |cos |=|cos |= ,即 = ， ， a=1 11 分 面 ABCD, PCA就是 PC与底面 ABCD所成的角 , tan PCA= 12 分 （本小题满分 12分） 已知 是数列 其前 项和
8、，且 ， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，且 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数 答案：（ 1） （ 2） （ 1） 时， ， 3 分 又 ， ， 是一个以 2为首项， 8为公比的等比数列 5 分 6 分 （ 2） 8 分 10 分 ，所以最小正整数 12 分 （本小题满分 12分） 已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 、 ，其中 也是抛物线 的焦点， 是 与 在第一象限的交点，且 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）已知菱形 的顶点 、 在椭圆 上，顶点 、 在直线上，求直线 的方程 答案：（ 1） （ 2） （ 1）设 由抛物线定义， ， 2 分 在 上， ，又 或 舍去 5 分 椭圆 的方程为 6 分 （ 2） 直线 的方程为 为菱形， ，设直线 的方程为 7 分 、 在椭圆 上， 8 分 设 ，则 9 分 的中点坐标为 ，由 为菱形可知，点 在直线上， 11 分 直线 的方程为 ，即 12 分 （本小题满分 12分） 已知函数 其中 a为常数，且 （ ）当 时，求 在 （ e=2 718 28 ）上的值域； （ ）若 对任意 恒成立，求实数 a的取值范围 答案：（ ） （ ）
