1、2010年北京市崇文区高三下学期二模数学（文）试题 选择题 已知 ，那么 “ ”是 “ ”的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 答案： A 设 为坐标原点， ，若点 满足 ，则的最小值为 A B 2 C 3 D 答案： C 已知命题 :对 ， 恒成立命题 : ,使 成立 则下列命题中为真命题的是 A B C D 答案： D 将石子摆成如图的梯形形状称数列 为 “梯形数 ”根据图形的构成，数列的第 10项 A B C D 答案： C 已知椭圆 的离心率 ，则 的值为 A 3 B 或C D 或 3 答案： D 把函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，
2、再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为 A B C D 答案： B 设函数 若 ， ，则 A 0 B C 1 D 2 答案： A 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 A BC D 答案： D 填空题 已知圆的方程 ，过 作直线 与圆交于点 ，且关于直线 对称，则直线 的斜率等于 答案： 若 ，则下列不等式中， 正确的不等式有 （写出所有正确不等式的序号） 答案： ， 向量 满足 ， 与 的夹角为 ， 答案： 甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击 20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5
3、 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 分别表示甲、乙、丙三名运动员的这次测试成绩的平均数，则的大小关系是 ； 分别表示甲、乙、丙三名运动员的这次测试成绩的标准差，则 的大小关系是 答案： ； 若复数 （其中 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 的取值范围为 答案： 函数 的定义域为 答案： 解答题 答案：（ ）由已知得： 为锐角 -6分 （ ） 为锐角， ， -12分 （本小题共 14分） 正方体 的棱长为 ， 是 与 的交点， 为 的中点 （ ）求证：直线 平面 ； （ ）求证： 平面 ； （ ）
4、求三棱锥 的体积 答案：（ ）连接 ，在 中， 为 的中点， 为 的中点， 又 平面 直线 平面 -4分 （ ）在正方体 中， 平面 ， 平面 且 同理可证 平面 . -9分 （ ） -14分 （本小题共 13分） 在平面直角坐标系 中，平面区域 中的点的坐标满足 ，从区域 中随机取点 （ ）若 ， ，求点 位于第四象限的概率； （ ）已知直线 与圆 相交所截得的弦长为 ， 求 的概率 答案：（ ）若 ， ，则点 的个数共有个，列举如下： ； ； 当点 的坐标为 时，点 位于第四象限 故点 位于第四象限的概率为 - 6分 （ ）由已知可知区域 的面积是 因为直线 与圆 的弦长为 ， 如图，可求
5、得扇形的圆心角为 ， 所以扇形的面积为 ， 则满足 的点 构成的区域的面积为 ，所以的概率为 - 13分 (本小题共 14分） 已知函数 在 与 处都取得极值 （ ）求 的值及函数 的单调区间； （ ）若对 ，不等式 恒成立，求的取值范围 . 答案：（ ） ，由题意： 即 解得 ， 令 ，解得 ； 令 ，解得 或 ， 的减区间为 ；增区间为 ， .-5分 （ ）由（ ）知， 在 上单调递增； 在 上单调递减； 在 上单调递增 . 时， 的最大值即为 与 中的较大者 . ； 当 时， 取得最大值 . 要使 ，只需 ，即：解得： 或 . 的取值范围为 . -14分 （本小题共 14分） 已知椭圆的
6、中心在原点，焦点在 轴上，经过点且离心率 过定点 的直线与椭圆相交于 ，两点 （ ）求椭圆的方程； （ ）在 轴上是否存在点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存 在，请说明理由 . 答案：（ ）设椭圆方程为 由已知可得 ，解得 所求椭圆的方程为 -5分 （ ）设 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， ， 是与 无关的常数， ，即 此时， 当直线 与 轴垂直时，则直线 的方程为 此时点 的坐标分别为 当 时， 亦有 综上，在 轴上存在定点 ，使 为常数 - 14分 (本小题共 13分 ) 已知数列 的前 项和为 ，且满足， （ ）求证 : 是等差数列； （ ）求数列 的通项公式； （ ）若 ，求证 : 答案：（ ）由 ，得， 所以 ，故 是等差数列 - 4分 ( ) 由 ( )知 , ，所以 所以 - 9分 （ ） 所以 -1 3分
