1、2010-2011年福建省福州八县一中高二下学期期中考试理数 选择题 复数 的值是 （ ） A 2i B -2i C 2 D -2 答案： B . 已知 都是定义在 R上的函数，且 ， ，则 的值为（ ） A B C D 2 答案： A 若 的大小关系 ( ) A B C D与 x的取值有关 答案： D 已知函数 的图象如右图所示 (其中 是函数 的导函数 )，下面四个图象中 图象大致是（ ） 答案： C 方程 x3-6x2+9x-10=0的实根个数是 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 答案： C 设 是定义在正整数集上的函数，且 满足： “当 成立时，总可推出 成立 ” 那么，下列命题
2、总成立的是（ ） A若 成立，则 成立 B若 成立，则 成立 C若 成立，则当 时，均有 成立 D若 成立，则当 时，均有 成立 答案： D 设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( ) 答案： D 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（ ） A C4H9 B C4H10 C C4H11 D C6H12 答案： B 如图直线 和圆 C，当 从 开始在平面上绕点 P按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过 900）时， 它扫过的圆内阴影部分的面积 S是时间 的函数，这个函数的图象大致是 答案： D 用反证法证明命题 “ ，如果 可
3、被 5整除，那么 ， 至少有 1个能被 5整除 ”则假设的内容是 （ ） A ， 都能被 5整除 B ， 都不能被 5整除 C 不能被 5整除 D ， 有 1个不能被 5整除 答案： B 考点：反证法与放缩法 分析：反证法证明是否定原命题的结论不成立，直接写出假设的内容即可 解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证 命题 “m， n N， mn可被 5整除，那么 m， n中至少有一个能被 5整除 ”的否定是 “m， n中都不能能被 5整除 ” 故选 B 一质点做直线运动，由始点经过 后的距离为 ，则速度为的时刻是（ ） A B C 与 D 与 答案：
4、 C 填空题 下列命题中 正确的有 （填上所有正确命题的序号） 若 取得极值； 若 ，则 f(x)0在 上恒成立； 已知函数 ，则 的值为 ； 一质点在直线上以速度 运动，从时刻 到 时质点运动的路程为 。 答案： 已知复数 ，则 答案： 复数 具有如下的性质： ，所以分子前 2008项和为 0， 即 ，所以原式 . 在 中，若 ，则 外接圆半径 运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 ，则其外接球的半径 = 答案： 求曲线 与直线 、 轴所围成的图形面积为 答案： 解答题 （本小题 12分） 设复数 满足 ，且 是纯虚数，求复数 的共轭复数 。 答案：（本小题 12分） 已
5、知如下等式： ， ， ，当时，试猜想 的值，并用数学归纳法给予证明。 答案：解：由已知，猜想 （ 2分） 下面用数学归纳法给予证明： （ 1）当 时，由已知得原式成立； （ 4分） （ 2）假设当 时，原式成立，即 （ 6分） 那么，当 时， = 故 时，原式也成立。 （ 10分） 由（ 1）、（ 2）知 成立 （ 12 分） 设函数 （ a、 b、 c、 d R）满足：对于任意的都有 f（ x） +f（ -x） =0，且 x=1时 f(x)取极小值 . (1)f(x)的式； (2)当 时，证明：函数图象上 任意两点处的切线不可能互相垂直： 答案：解： (1)因为 成立，所以 ，由 得3a+c
6、=0，（ 2分） 由： ，得 4 分 解之得： ， 从而，函数式为： 6 分 (2)由于， ，设：任意两数 x1， 是函数 f(x)图像上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是： ， （ 9分） 又因为： ， ，所以， ， ，得： 知：故，当 是函数 f(x)图像上任意两点的切线不可能垂直 12 分 （本小题 12分） 如图所示，将一矩形花坛 ABCD扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 M在 AB的延长线上， N 在 AD的延长线上，且对角线 MN 过 C点。已知 AB=3米， AD=2 米 。设 （单位：米），若 （单位：米），则当 AM，AN 的长度分别是多少时，花坛 AMPN 的
7、面积最大？并求出最大面积。 答案：解：由于 则 AM 故 SAMPN AN AM ， 3 分 令 y ，则 y 6 分 因为当 时， y 0，所以函数 y 在 上为单调递减函数， 9分 从而当 x 3时 y 取得最大值，即花坛 AMPN 的面积最大 27平方米， 此时 AN 3米， AM=9米 12 分 （本小题 12分） 已知函数 ，（ ）其定义域为 （ ） , 设 . （ 1）试确定 的取值范围 ,使得函数 在 上为单调函数； （ 2）试判断 的大小并说明理由 . 答案：解： (1) 2 分 令 ，则 或 , 在 上单调递增，在 上单调递减 4 分 5 分 （ 2） 若 ，则 在 上单调递
8、增， ， 即 7 分 若 ，则 在 上 单调递增，在 上单调递减 又 ， ，即 9 分 若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减 ，即 11 分 综上， 12 分 . 答案：解： 令 ，得 ， 区间 分别单调增，单调减，单调增， 2 分 于是当 时，有极大值 极小值 ， 4 分 由（ 1）知 区间 分别单调增，单调减，单调增， 所以当 时 ，特别当 时，有 ； 6分 当 时， ，则 ， 8 分 所以对任意的 ， 9 分 由已知得 在 上恒成立， 得 时， ， 单调减； 时， ， 单调增；故 时，函数 取到最小值，从而 ； 11 分 同样的， 在 上恒成立，由得 时， ， 时， ，故 时，函数 取到最小值 . 从而 ， 13 分 由 的唯一性知 ， .14 分
