1、2011-2012年北京四中九年级第一学期期中考试数学卷 选择题 下列事件是必然事件的是（ ） A随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是 6 B掷一枚硬币，正面朝上 C 3个人分成两组，一定有两个人分在一组 D打开电视，正在播放动画片 答案： C 如图，在直角梯形 中， ， ， ， AD2cm，动点 P、 Q 同时从点 出发，点 沿 BA、 AD、 DC 运动到点 停止，点沿 运动到 点停止，两点运动时的速度都是 1cm/s，而当点 到达点 时，点 正好到达点 设 P点运动的时间为 ， 的面积为 下图中能正确表示整个运动中 关于 的函数关系的大致图象是（ ）答案： B 抛物线 与 相交，有一
2、个交点在 x轴上，则 k的值为（ ） A 0 B 2 C -1 D答案： B 如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限， 与 轴相切于点 ，与轴交于 ， 两点，则点 的坐标是（ ） A B C D 答案： D 同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ） A B C D 答案： A 两圆半径分别为 2和 3，圆心坐标分别为（ 1， 0）和（ -4， 0），则两圆的位置关系是（ ） A外离 B外切 C相交 D内切 答案： B 已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为 10cm，母线长为 50cm，则圆锥形纸帽的侧面积为（ ） A B C D 答案： B 抛物线 可以由抛物线 平移而得到，下列平移正确
3、的是（ ） A先向左平移 1个单位，再向上平移 2个单位 B先向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位 C先向右平移 1个单位，再向上平移 2个单位 D先向右平移 1个单位，再向下平移 2个单位 答案： C 填空题 正六边形边长为 3，则其边心距是 _cm 答案： 函数 的最小值为 _，最大值为 _ 答案： 4， 5 如图，在 ABC中， BC=4，以点 A为圆心， 2为半径的 A与 BC 相切于点 D，交 AB于 E，交 AC 于 F，点 P是 A上一点，且 EPF=40，则图中阴影部分的面积是 _ 答案： 考点：圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算 分析：连接 AD， BC 是切线，点
4、D是切点，则 AD BC，由圆周角定理知， A=2 P=80，可求 S 扇形 AEF= = ， S ABC= AD BC=4，即可求阴影部分的面积 =S ABC-S 扇形 AEF=4- 解：连接 AD， BC 是切线，点 D是切点， AD BC， A=2 P=80， S 扇形 AEF= = ， S ABC= AD BC=4， 阴影部分的面积 =S ABC-S 扇形 AEF=4- 已知二次函数 满足：（ 1） ； （ 2） ；（ 3）图象与 x轴有 2个交点，且两交点间的距离小于 2；则以下结论中正确的有 答案： 计算题 计算： 答案：解：原式 = 4分（化简运算对一个数给1分） = 5 分 解
5、答题 用配方法解方程： 答案：解： 1分 3分 5分 已知：如图，在直角坐标系 xoy中，点 A（ 2， 0），点 B在第一象限且 OAB为正三角形， OAB的外接圆交 y轴的正半轴于点 C，过点 C的圆的切线交 x轴于点 D 【小题 1】（ 1）求 B、 C两点的坐标； 【小题 2】（ 2）求直线 CD的函数式； 【小题 3】（ 3）设 E、 F分别是线段 AB、 AD上的两个动点，且 EF 平分四边形 ABCD的周长 试探究：当点 E运动到什么位置时， AEF的面积最大？最大面积是多少？ 答案： 【小题 1】解：（ 1） A（ 2， 0）， OA=2 作 BG OA于 G， OAB为正三角
6、形， OG=1， BG= ， B（ 1， ） 1 分 连 AC， AOC=90， ACO= ABO=60 ， OC= C（ 0， ） 2 分 【小题 2】（ 2） AOC=90， AC 是圆的直径， 又 CD是圆的切线， CD AC OCD=30， OD= D（ ， 0） 设直线 CD的 函数式为 y=kx+b（ k0）， 则 ，解得 直线 CD的式为 y= 4 分 【小题 3】（ 3） AB=OA=2， OD= ， CD=2OD= ， BC=OC= ， 四边形 ABCD的周长 6+ 设 AE=t， AEF的面积为 S， 则 AF=3+ -t， S= （ 3+ ） S= （ 3+ ） = 点
7、E、 F分别在线段 AB、 AD上， 6 分 当 t= 时， S 最大 = 8 分 已知：关于 x的一元一次方程 kx=x+2 的根为正实数，二次函数 y=ax2 bx+kc（ c0）的图象与 x轴一个交点的横坐标为 1 【小题 1】（ 1）若方程 的根为正整数，求整数 k的值； 【小题 2】（ 2）求代数式 的值； 【小题 3】（ 3）求证：关于 x的一元二次方程 ax2 bx+c=0 必有两个不相等的实数根 答案： 【小题 1】解：（ 1）解：由 kx=x+2，得（ k-1） x=2 依题意 k-10 1 分 方程的根为正整数， k为整数， k-1=1或 k-1=2 k1= 2， k2=3
8、 2 分 【小题 2】（ 2）解：依题意，二次函数 y=ax2-bx+kc的图象经过点（ 1， 0）， 0 =a-b+kc， kc = b-a = 3 分 【小题 3】（ 3）证明：方程 的判别式为 =（ -b） 2-4ac= b2-4ac 由 a0， c0，得 ac0 证法一： （ i）若 ac0故 =b2-4ac0此时方程 有两个不相等的实数根 4 分 （ ii）若 ac0，由（ 2）知 a-b+kc =0，故 b=a+kc =b2-4ac= （ a+kc） 2-4ac=a2+2kac+（ kc） 2-4ac = a2-2kac+（ kc） 2+4kac-4ac =（ a-kc） 2+4a
9、c（ k-1） 5 分 方程 kx=x+2的根为正实数， 方程（ k-1） x=2的根为正实数 由 x0， 20，得 k-10 6 分 4ac（ k-1） 0 （ a-kc） 230， =（ a-kc） 2+4ac（ k-1） 0此时方程 有两个不相等的实数根 7分 证法二： （ i）若 ac0故 =b2-4ac0此时方程 有两个不相等的实数根 4 分 （ ii）若 ac0， 抛物线 y=ax2-bx+kc与 x轴有交点， 1=（ -b） 2-4akc =b2-4akc30 （ b2-4ac） -（ b2-4akc） =4ac（ k-1） 由证法一知 k-10， b2-4ac b2-4akc3
10、0 = b2-4ac0此时方程 有两个不相等的实数根 7 分 综上，方程 有两个不相等的实数根 证法三：由已知， ， 可以证明 和 不能同时为 0（否则 ），而 ，因此 已知如图，正方形 AEDG 的两个顶点 A、 D 都在 O 上， AB 为 O 直径，射线线 ED与 O 的另一个交点为 C，试判断线段 AC 与线段 BC 的关系 答案：解：线段 AC 与线段 BC 垂直且相等 1 分 证明：连结 AD 2 分 四边形 AEDG为正方形 ADE=45 四边形 ABCD内接 O B+ ADC=180 3分 又 ADE+ ADC=180 B= ADE=45 又 AB为 O 直径 ACB=90，即
11、 AC BC 4 分 BAC=45 AC=BC 5分 用尺规作图找出该残片所在圆的圆心 O 的位置 （保留作图痕迹，不写作法） 答案：用尺规作图找出该残片所在圆的圆心 O 的位置 （保留作图痕迹，不写作法） 任作 2弦 给 1分，两条中垂线各 1分，标出并写出 点 O 即为所求给 1分 某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出 20件，每件可获利 40元；若售价减少 1元，平均每天就可多售出 2件；若想平均每天销售这种器材盈利 1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？ 答案：解：设若想盈利 1200元，每件器材应降价 x元，则有 2分 可解得 ， 答：若想盈
12、利 1200元，每件器材降价 10元或 20元均可 3分 设降价 x元时，盈利为 y元，则 00），则 AE=x 在 Rt ABC中， C=90， BC=BD+DC=8， AB=x+4，由勾股定理，得 x2 +82= （ x+4） 2 解得 x=6 即 AC=6 5 分 解法二：如图 3，延长 AC 到 E，使得 AE=AB AD=AD， EAD = BAD， AED ABD ED=BD=5 在 Rt DCE中， DCE=90，由勾股定理，得 CE= 4 分 图 3 在 Rt ABC中， ACB=90， BC=BD+DC=8，由勾股定理，得 AC2 +BC2= AB2 即 AC2 +82=（
13、AC+4） 2 解得 AC=6 5 分 已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点位于 x轴下方，它到 x轴的距离为4，下表是 x与 y的对应值表： x 0 2 y 0 3 4 3 0 【小题 1】（ 1）求出二次函数的式； 【小题 2】（ 2）将表中的空白处填写完整； 【小题 3】（ 3）在右边的坐标系中画出 y=ax2+bx+c的图象； 【小题 4】（ 4）根据图象回答： 当 x为何值时，函数 y=ax2+bx+c的值大于 0 _ 答案： 【小题 1】解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线 x=1， 顶点坐标为（ 1， 4） 1 分 二次函数式可变形为 又由图象过（ 0， -3），
14、有 -3=a-4，解得 a=1 二次函数式为 2分 【小题 2】（ 2） 【小题 3】（ 3 【小题 4】（ 4） 当 x为何值时， 函数 y=ax2+bx+c的值大于 0 x3 5分 如图，在半径为 6 cm的 O 中，圆心 O 到弦 AB的距离 OC为 3 cm试求： 【小题 1】（ 1）弦 AB的长； 【小题 2】（ 2）的长 答案： 【小题 1】解：依题设有 OC AB于 C，又 AB为 O 的弦 AC=BC= AB 2 分 连结 OA则 又 OA=6， OC=3 AC= AB= 3 分 【小题 2】（ 2）由（ 1）知，在 Rt ACO 中， OA=6， OC=3 OAC=30 AO
15、C=60 AOB=120 4 分 = = 5 分 已知 ，当 m为何值时，是二次函数？ 答案：解：依题设，若原函数为二次函数，则有 2分 解得 m=3 5分 抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ，已知抛物线的对称轴为直线 ， 【小题 1】（ 1）求二次函数 的式； 【小题 2】（ 2）在抛物线对称轴上是否存在一点 ，使点 到 两点距离之差最大？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由； 【小题 3】（ 3）平行于 轴的一条直线交抛物线于 两点，若以 为直径的圆恰好与 轴相切，求此圆的半径 答案： 【小题 1】（ 1）设抛物线的式为 ， 点 、 在抛物线上， 解得 抛物线的式为 2 分 【小题 2】（ 2） ， A（ ， 0）， B（ 3， 0） PA=PB， 3分 如图 1，在 PAC中， ， 当 P在 AC 的延长线上时， 设直线 AC 的式为 ， 解得 直线 AC 的式为 当 时， 当点 P的坐标为（ 1， ）时， 的最大值为 5分 【小题 3】（ 3）如图 2，当以 MN 为直径的圆与 轴相切时， 点 N 的横坐标为 ， 解得 ， 7分
