1、2014年初中毕业升学考试（湖南长沙卷）数学（带解析） 选择题 的倒数是（ ） A 2 B -2 C D - 答案： A 试题分析：根据乘积为的 1两个数倒数，可得一个数的倒数 所以： 的倒数是 2， 故选 A 考点：倒数 函数 y= 与 y=ax2（ a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） 答案： 试题分析： a 0时， y= 的函数图象位于第一三象限， y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点， a 0时， y= 的函数图象位于第二四象限， y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点， 纵观各选项，只有 D选项图形符合 故选 D 考点： 1.二次函数的图象； 2.反比例函数的
2、图象 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120后，能与原图形完全重合的是（ ） 答案： A 试题分析： A、最小旋转角度 = =120； B、最小旋转角度 = =90； C、最小旋转角度 = =180； D、最小旋转角度 = =72； 综上可得：顺时针旋转 120后，能与原图形完全重合的是 A 故选 A 考点：旋转对称图形 如图，已知菱形 ABCD的边长为 2， DAB=60，则对角线 BD的长是（ ） A 1 B C 2 D 答案： C 试题分析： 菱形 ABCD的边长为 2， AD=AB=2， 又 DAB=60， DAB是等边三角形， AD=BD=AB=2，
3、 则对角线 BD的长是 2 故选 C 考点：菱形的性质 一个关于 x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ） A x 1 B x1 C x 3 D x3 答案： C 试题分析：一个关于 x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图， 则该不等式组的解集是 x 3 故选 C 考点：在数轴上表示不等式的解集 如图， C、 D是线段 AB上的两点，且 D是线段 AC的中点，若 AB=10cm， BC=4cm，则 AD的长为（ ） A 2cm B 3cm C 4cm D 6cm 答案： B. 试题分析： AB=10cm， BC=4cm， AC=ABBC=6cm， 又点 D
4、是 AC的中点， AD= AC=3m， 故选 B. 考点：两点间的距离 下列计算正确的是（ ） A B（ ab2） 2=ab4 C 2a+3a=6a D a a3=a4 答案： D 试题分析： A、被开方数不能相加，故 A错误； B、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 B错误； C、系数相加字母部分不变，故 C错误； D、底数不变指数相加，故 D正确； 故选 D 考点： 1.幂的乘方与积的乘方； 2.实数的运算； 3.合并同类项； 4.同底数幂的乘法 平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ） A相等 B互相平分 C互相垂直 D互相垂直且相等 答案： B 试题分析：平行四边形的对
5、角线互相平分， 故选 B 考点：平行四边形的性质 一组数据 3， 3， 4， 2， 8的中位数和平均数分别是（ ） A 3和 3 B 3和 4 C 4和 3 D 4和 4 答案： B 试题分析：将数据从小到大排列为： 2， 3， 3， 4， 8， 则中位数是 3，平均数 = 故选 B 考点： 1.中位数； 2.算术平均数 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ） A圆锥 B六棱柱 C球 D四棱锥 答案： C 试题分析： A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故 A选项不符合题意； B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故
6、 B选项不符合题意； C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故 C选项符合题意； D、四棱锥的主视 图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故 D选项不符合题意； 故选 C 考点：简单几何体的三视图 填空题 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（ 2， 3），点 B（ 2， 1），在 x轴上存在点 P到 A， B两点的距离之和最小，则 P点的坐标是 答案：（ 1， 0） 试题分析：作 A关于 x轴的对称点 C，连接 BC交 x轴于 P，则此时 AP+BP最小，求出 C的坐标，设直线 BC的式是 y=kx+b，把 B、 C的坐标代入求出 k、 b，得出直线 BC的式，求出直线
7、与 x轴的交点坐标即可 试题 : 作 A关于 x轴的对称点 C，连接 BC交 x轴于 P，则此时 AP+BP最小， A点的坐标为（ 2， 3）， B点的坐标为（ 2， 1）， C（ 2， 3）， 设直线 BC的式是： y=kx+b， 把 B、 C的坐标代入得： 解得 即直线 BC的式是 y=x1， 当 y=0时， x1=0， 解得： x=1， P点的坐标是（ 1， 0） 考点： 1.轴对称 -最短路线问题； 2.坐标与图形性质 如图，点 B、 E、 C、 F在一条直线上， AB DE， AB=DE， BE=CF， AC=6，则 DF= 答案： . 试题分析：根据题中条件由 SAS可得 ABC
8、DEF，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6 试题 : AB DE， B= DEF BE=CF， BC=EF， 在 ABC和 DEF中， ， ABC DEF（ SAS）， AC=DF=6 考点：全等三角形的判定与性质 如图，在 ABC中， DE BC， ， ADE的面积是 8，则 ABC的面积为 答案： . 试题分析：根据相似三角形的判定，可得 ADE ABC，根据相似三角形的性质，可得答案： 试题 : 在 ABC中， DE BC， ADE ABC ， ， ， SABC=18， 考点：相似三角形的判定与性质 100件外观相同的产品中有 5件不合格，现从中任意抽取 1件进行检测，抽到不合格产品
9、的概率是 答案： 试题分析：由 100件外观相同的产品中有 5件不合格，直接利用概率公式求解即可求得答案： 试题： 100件外观相同的产品中有 5件不合格， 从中任意抽取 1件进行检测，抽到不合格产品的概率是： 考点：概率公式 已知关于 x的一元二次方程 2x23kx+4=0的一个根是 1，则 k= 答案： k=2 试题分析：把 x=1代入已知方程列出关于 k的一元一次方程，通过解方程求得 k的值 试题：依题意，得 2123k1+4=0，即 23k+4=0， 解得， k=2 考点：一元二次方程的解 如图， A、 B、 C是 O上的三点， AOB=100，则 ACB= 度 答案： . 试题分析：
10、根据圆周角定理即可直接求解 试题： ACB= AOB= 100=50 考点：圆周角定理 抛物线 y=3（ x2） 2+5的顶点坐标是 答案：（ 2， 5） 试题分析：根据抛物线 y=a（ xh） 2+k的顶点坐标为（ h， k），由此即可求解 试题： 抛物线 y=3（ x2） 2+5， 顶点坐标为：（ 2， 5） 考点：二次函数的性质 如图，直线 a b，直线 c分别与 a， b相交，若 1=70，则 2= 答案： 试题分析：直线 a b，直线 c分别与 a， b相交，根据平行线的性质，以及对顶角的定义可求出 试题：如图： 1=70， 3= 1=70， a b， 2+ 3=180， 2=180
11、70=110 考点： 1.平行线的性质； 2.对顶角、邻补角 计算题 计算：（ 1） 2014+ （ ） 1+ sin45 答案： . 试题分析：本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 试题：原式 =1+23+1 =1 考点： 1.实数的运算； 2.负整数指数幂； 3.特殊角的三角函数值 解答题 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为 “梦之点 ”，例如点（ 1， 1），（ 0， 0），（ ， ）， 都是 “梦之点 ”，显然，这样的 “梦之点 ”有无数个 （ 1）若点 P（ 2， m）是反比
12、例函数 y= （ n为常数， n0）的 图象上的 “梦之点 ”，求这个反比例函数的式； （ 2）函数 y=3kx+s1（ k， s是常数）的图象上存在 “梦之点 ”吗？若存在，请求出 “梦之点 ”的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）若二次函数 y=ax2+bx+1（ a， b是常数， a 0）的图象上存在两个不同的 “梦之点 ”A（ x1， x1）， B（ x2， x2），且满足 2 x1 2， |x1x2|=2，令 t=b22b+ ，试求出 t的取值范围 答案：（ 1） y= ；（ 2）当 k 时， “梦之点 ”的坐标为（ ， ）；当 k= ，s=1时， “梦之点 ”有无数个；当 k=
13、， s1时，不存在 “梦之点 ”；（ 3） t 试题分析：（ 1）先由 “梦之点 ”的定义得出 m=2，再将点 P坐标代入 y= ，运用待定系数法即可求出反比例函数的式； （ 2）假设函数 y=3kx+s1（ k， s是常数）的图象上存在 “梦之点 ”（ x， x），则有x=3kx+s1，整理得（ 3k1） x=1s，再分三种情况进行讨论即可； （ 3）先将 A（ x1， x1）， B（ x2， x2）代入 y=ax2+bx+1，得到 ax12+（ b1） x1+1=0，ax22+（ b1） x2+1=0，根据方程的解的定义可知 x1， x2是一元二次方程 ax2+（ b1）x+1=0的两个根
14、，由根与系数的关系可得 x1+x2= ， x1 x2= ，则（ x1x2） 2=（ x1+x2）24x1 x2= =4，整理得出 b22b=（ 2a+1） 22，则 t=b22b+ =（ 2a+1）2+ 再由 2 x1 2， |x1x2|=2，得出 4 x2 4， 8 x1 x2 8，即 8 8，又 a 0，解不等式组得出 a ，进而求出 t的取值范围 试题：（ 1） 点 P（ 2， m）是 “梦之点 ”， m=2， 点 P（ 2， 2）在反比例函数 y= （ n为常数， n0）的图象上， n=22=4， 反比例函数的式为 y= ； （ 2）假设函数 y=3kx+s1（ k， s是常数）的图象
15、上存在 “梦之点 ”（ x， x）， 则有 x=3kx+s1， 整理，得（ 3k1） x=1s， 当 3k10，即 k 时，解得 x= ； 当 3k1=0， 1s=0，即 k= ， s=1时 ， x有无穷多解； 当 3k1=0， 1s0，即 k= ， s1时， x无解； 综上所述，当 k 时， “梦之点 ”的坐标为（ ， ）；当 k= ， s=1时， “梦之点 ”有无数个；当 k= ， s1时，不存在 “梦之点 ”； （ 3） 二次函数 y=ax2+bx+1（ a， b是常数， a 0）的图象上存在两个不同的 “梦之点 ”A（ x1， x1）， B（ x2， x2）， x1=ax12+bx1+
16、1， x2=ax22+bx2+1， ax12+（ b1） x1+1=0， ax22+（ b1） x2+1=0， x1， x2是一元二次方程 ax2+（ b1） x+1=0的两个不等实根， x1+x2= ， x1 x2= ， （ x1x2） 2=（ x1+x2） 24x1 x2=（ ） 24 = =4， b22b=4a2+4a1=（ 2a+1） 22， t=b22b+ =（ 2a+1） 22+ =（ 2a+1） 2+ 2 x1 2， |x1x2|=2， 4 x2 0或 0 x2 4， 4 x2 4， 8 x1 x2 8， 8 8， a 0， a （ 2a+1） 2+ + = ， t 考点：二次函
17、数综合题 如图，以 ABC的一边 AB为直径作 O， O与 BC边的交点恰好为 BC的中点 D，过点 D作 O的切线交 AC于点 E （ 1）求证： DE AC； （ 2）若 AB=3DE，求 tan ACB的值 答案：（ 1）证明见；（ 2） 试题分析：（ 1）连接 OD，可以证得 DE OD，然后证明 OD AC即可证明 DE AC； （ 2）利用 ADE CDE，求出 DE与 CE的比值即可 试题 : （ 1）证明：连接 OD， D是 BC的中点， OA=OB， OD是 ABC的中位线， OD AC， DE是 O的切线， OD DE， DE AC； （ 2）解：连接 AD， AB是 O的
18、直径， ADB=90， DE AC， ADC= DEC= AED=90， ADE= DCE 在 ADE和 CDE中， CDE ADE， ， 设 tan ACB=x， CE=a，则 DE=ax， AC=3ax， AE=3axa， ，整理得： x23x+1=0， 解得： x= ， tan ACB= 考点：切线的性质 为建设 “秀美幸福之市 ”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共 400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵 200元，乙种树苗每棵 300元 （ 1）若购买两种树苗的总金额为 90000元，求需购买甲、乙两种 树苗各多少棵？ （ 2
19、）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 答案： (1) 购买甲种树苗 300棵，则购买乙种树苗 100棵； (2)240. 试题分析：（ 1）设购买甲种树苗 x棵，则购买乙种树苗（ 400x）棵，根据购买两种树苗的总金额为 90000元建立方程求出其解即可； （ 2）设至少应购买甲种树苗 a棵，则购买乙种树苗（ 400a）棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额建立不等式求出其解即可 试题 : （ 1）设购买甲种树苗 x棵，则购买乙种树苗（ 400x）棵，由题意 ，得 200x+300（ 400x） =90000， 解得： x=300， 购买乙种树
20、苗 400300=100棵， 答：购买甲种树苗 300棵，则购买乙种树苗 100棵； （ 2）设至少应购买甲种树苗 a棵，则购买乙种树苗（ 400a）棵，由题意，得 200a300（ 400a）， 解得： a240 答：至少应购买甲种树苗 240棵 考点： 1.一元一次不等式的应用； 2.二元一次方程组的应用 如图，四边形 ABCD是矩形，把矩形沿对角线 AC折叠，点 B落在点 E处， CE与 AD相交于点 O （ 1）求证： AOE COD； （ 2）若 OCD=30， AB= ，求 AOC的面积 答案：（ 1）证明见；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据矩形的对边相等可得 AB=CD， B
21、= D=90，再根据翻折的性质可得 AB=AE， B= E，然后求出 AE=CD， D= E，再利用 “角角边 ”证明即可； （ 2）根据全等三角形对应边相等可得 AO=CO，解直角三角形求出 CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解 试题：（ 1）证明： 四边形 ABCD是矩形， AB=CD， B= D=90， 矩形 ABCD沿对角线 AC折叠点 B落在点 E处， AB=AE， B= E， AE=CD， D= E， 在 AOE和 COD中， ， AOE COD（ AAS）； （ 2）解： AOE COD， AO=CO， OCD=30， AB= ， CO=CDcos30= =2， AOC
22、的面 积 = AO CD= 2 = 考点：翻折变换（折叠问题） 某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了 50名同学进行 “舌尖上的长沙 我最喜爱的长沙小吃 ”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图： 请根据所给信息解答以下问题： （ 1） 请补全条形统计图； （ 2）若全校有 2000名同学，请估计全校同学中最喜爱 “臭豆腐 ”的同学有多少人？ （ 3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号 A、 B、 C、 D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到 “A”的概率 答案： (1)补图见
23、；（ 2） 560；（ 3） 试题分析：（ 1）总人数以及条形统计图求出喜欢 “唆螺 ”的人数，补全条形统计图即可； （ 2）求 出喜欢 “臭豆腐 ”的百分比，乘以 2000即可得到结果； （ 3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到 “A”的情况数，即可求出所求的概率 试题 : （ 1）根据题意得：喜欢 “唆螺 ”人数为： 50（ 14+21+5） =10（人）， 补全统计图，如图所示： （ 2）根据题意得： 2000 100%=560（人）， 则估计全校同学中最喜爱 “臭豆腐 ”的同学有 560人； （ 3） 列表如下： A B C D A （ A， A） （ B， A） （ C
24、， A） （ D， A） B （ A， B） （ B， B） （ C， B） （ D， B） C （ A， C） （ B， C） （ C， C） （ D， C） D （ A， D） （ B， D） （ C， D） （ D， D） 所有等可能的情况有 16种，其中恰好两次都摸到 “A”的情况有 1种， 则 P= 考点： 1.条形统计图； 2.用样本估计总体； 3.列表法与树状图法 先简化，再求值：（ 1+ ） + ，其中 x=3 答案： . 试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 x的值代入计算即可求出值 试题：原式 = = = ，
25、 当 x=3时，原式 = 考点：分式的化简求值 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a， b， c是常数， a0）的对称轴为 y轴，且经过（ 0， 0）和（ ， ）两点，点 P在该抛物线上运动，以点 P为圆心的 P总经过定点 A（ 0，2） （ 1）求 a， b， c的值； （ 2）求证：在点 P运动的过程中， P始终与 x轴相交； （ 3）设 P与 x轴相交于 M（ x1， 0）， N（ x2， 0）（ x1 x2）两点，当 AMN为等腰三角形时，求圆心 P的纵坐标 答案：（ 1） a= ， b=c=0；（ 2）证明见；（ 3） P的纵坐标为 0或 4+2 或 42 试题分析：（ 1）根据
26、题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出 a， b， c的值即可； （ 2）设 P（ x， y），表示出 P的半径 r，进而与 x2比较得出答案：即可； （ 3）分别表示出 AM， AN的长，进而分别利用当 AM=AN时，当 AM=MN时，当AN=MN时，求出 a的值，进而得出圆心 P的纵坐标即可 试题：（ 1） 抛物线 y=ax2+bx+c（ a， b， c是常数， a0）的对称轴为 y轴，且经过（ 0， 0）和（ ， ）两点， 抛物线的一般式为： y=ax2， =a（ ） 2， 解得： a= ， 图象开口向上， a= ， 抛物线式为： y= x2， 故 a= ， b=c=0； （ 2）
27、设 P（ x， y）， P的半径 r= ， 又 y= x2，则 r= ， 化简得： r= x2， 点 P在运动过程中， P始终与 x轴相交； （ 3）设 P（ a， a2）， PA= ， 作 PH MN于 H，则 PM=PN= ， 又 PH= a2， 则 MH=NH= =2， 故 MN=4， M（ a2， 0）， N（ a+2， 0）， 又 A（ 0， 2）， AM= ， AN= ， 当 AM=AN时， = ， 解得： a=0， 当 AM=MN时， =4， 解得： a=22 （负数舍去），则 a2=4+2 ； 当 AN=MN时， =4， 解得： a=22 （负数舍去），则 a2=42 ； 综上所述， P的纵坐标为 0或 4+2 或 42 考点：二次函数综合题
