1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -相似的性质（带解析） 选择题 平面直角坐标中，已知点 O（ 0， 0）， A（ 0， 2）， B（ 1， 0），点 P是反比例函数 y= 图象上的一个动点，过点 P 作 PQ x轴，垂足为 Q若以点 O、P、 Q 为顶点的三角形与 OAB相似，则相应的点 P共有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： D 试题分析：解： 点 P是反比例函数 y= 图象上， 设点 P（ x， y）， 当 PQO AOB时，则 ， 又 PQ=y， OQ=x， OA=2， OB=1， 即 ，即 y=2x， xy=1，即 2x2=1， x= ， 点 P为（ ，
2、）或（ ， ）； 同理，当 PQO BOA时， 求得 P（ ， ）或（ ， ）； 故相应的点 P共有 4个 故选 D 考点：相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 51032 点评：此题考查了相似三角形的性质与反比例函数的性质注意数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关键 如图，已知 ABC， ， ， AD、 BE交于 F，则 的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：解：作 EG BC 交 AD于 G， ， ， = ， = ， = ， = 作 DH AC 交 BE于 H，则 DH= CE= AE， = = ， = = 故选 C 考点：平行线分线段成比例；相似三角形的性质 点
3、评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题时要注意比例式的变形 如图， D、 E是 AB的三等分点， DF EG BC，图中三部分的面积分别为S1， S2， S3，则 S1： S2： S3=（ ） A 1： 2： 3 B 1： 2： 4 C 1： 3： 5 D 2： 3： 4 答案： C 试题分析： D、 E 是 AB 的三等分点，且 DF EG BC， ADF AEG， ， ，即 S1： S2=1： 3， = = ， 同理 ， S1： S3=1： 5， S1： S2： S3=1： 3： 5， 故选 C 考点：平行线分线段成比例；相似三角形的性质 510329
4、 点评：熟练掌握平行线分线段成比例的性质及相似三角形的面积比与对应边之比的关系 如图， D是 ABC的重心，则下列结论不正确的是（ ） A AD=2DE B AE=2DE C BE=CE D AD： DE=2： 1 答案： B 试题分析： A、根据重心的性质可得： AD=2DE，故正确； B、 AE=3DE，符合三角形的重心的性质，故错误； C、 BE=CE，符合三角形的重心的性质，故正确； D、 AD： DE=2： 1，符合三角形的重心的性质，故正确 故选 B 考点：三角形的重心；三角形中位线定理；相似三角形的性质 点评：考查了三角形的重心的概念，能够根据三角形的中位线定理结合相似三角形的性
5、质证明三角形的重心的性质 如图，射线 OC分别交反比例函数 y= ， y= 的图象于点 A， B，若 OA：OB=1： 2，则 k的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 答案： C 试题分析： OA： OB=1： 2， k=122=4 故选 C 考点：反比例函数系数 k的几何意义；相似三角形的性质 510 点评：考查了反比例函数系数 k的几何意义和相似三角形的性质，注意反比例函数系数 k的绝对值的比是过原点的线段长的平方比 如下图，在直角坐标系的第一象限内， AOB是边长为 2的等边三角形，设直线 l： x=t（ 0t2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为 f（ t）
6、，则函数 s=f（ t）的图象只可能是 t大于等于 0小于等于 1时，函数为 Y=3根号 x方除以 2 图线不应为直线（ ） A B C D 答案： C 试题分析： l y轴， AOB为等边三角形， OCB=30， OD=t， CD= t； S OCD= ODCD = t2（ 0t1）， 即 S= t2（ 0t1） 故 S 与 t 之间的函数关系的图象应为定义域为 0， 1、开口向上的二次函数图象； l y轴， AOB为等边三角形 CBD=30， BD=2t， CD= （ 2t）； S BCD= BDCD = （ 2t） 2（ 0t1）， 即 S= （ 2t） 2（ 0t1） 故 S 与 t
7、之间的函数关系的图象应为定义域为 1， 2、开口向下的二次函数图象； 故选 C 考点：动点问题的函数图象；等边三角形的性质；相似三角形的性质 510 点评：本题主要考查的是二次函数式的求法及二次函数的图象特征 如图，在钝角三角形 ABC 中， AB=6cm， AC=12cm，动点 D从 A点出发到B点止，动点 E从 C点出发到 A点止点 D运动的速度为 1cm/秒，点 E运动的速度为 2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点 A、 D、 E为顶点的三角形与 ABC相似时，运动的时间是（ ） A 3秒或 4.8秒 B 3秒 C 4.5秒 D 4.5秒或 4.8秒 答案： A 试题分析：根据题意得：
8、设当以点 A、 D、 E 为顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是 x秒， 若 ADE ABC，则 ， ， 解得： x=3； 若 ADE ACB，则 ， ， 解得： x=4.8 当以点 A、 D、 E为顶点的三角形与 ABC相似时，运动的时间是 3秒或 4.8秒 故选 A 考点：相似三角形的性质 点评：此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题 如图，在 ABC中， AB=AC=2， BAC=20动点 P、 Q 分别在直线 BC上运动，且始终保持 PAQ=100设 BP=x， CQ=y，则 y与 x之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
9、 A B C D 答案： A 试题分析： ABC中， AB=AC， BAC=20 ACB=80 又 PAQ= PAB+ BAC+ CAQ=100 PAB+ CAQ=80 ABC中： ACB= CAQ+ AQC=80 AQC= PAB 同理： P= CAQ APB QAC ，即 = 则函数式是 y= 故选 A 考点：相似三角形的性质；动点问题的函数图象；等腰三角形的性质 5103 点评：注意本题不一定要通过求式来解决能够根据角度的关系，联想到 APB QAC是解决本题的关键 如图，在矩形 ABCD中， AB=3， BC=4，点 P在 BC 边上运动，连接 DP，过点 A作 AE DP，垂足为 E
10、，设 DP=x， AE=y，则能反映 y与 x之间函数关系的大致图象是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： S APD= PDAE= ADAB， xy=34 xy=12， y= ，为反比例函数， 应从 C， D里面进行选择由于 x最小应不 CD，最大不超过 BD，所以3x5 故选 C 考点：相似三角形的性质；动点问题的函数图象 点评：本题应利用 APD的面积的不同表示方法求得 y与 x的函数关系 已知 ABC的三条长分别为 2cm， 5cm， 6cm，现将要利用长度为 30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与 ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截
11、成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三 边长度分别为（ ） A 10cm， 25cm， 30cm B 10cm， 30cm， 36cm或 10cm，12cm， 30cm C 10cm， 30cm， 36cm D 10cm， 25cm， 30cm或 12cm，30cm， 36cm 答案： D 试题分析：因为所作的三角形与 ABC相似，可设所作三角形的三边长为 2a，5a， 6a， 当 2a=30cm时， a=15cm， 所作三角形的另外两边长为 90cm和 75cm， 75 60，因此这种情况不成立； 当 5a=30cm时， a=6cm， 所
12、作三角形的另外两边长为 12cm和 36cm，12+36 60，因此这种情况成立； 当 6a=30cm时， a=5cm， 所作三角形的另外两边长为 10cm和 25cm，10+25 60，因此这种情况成立 综合三种情况可知：所作三角形的三边长为 10cm， 25cm， 30cm或 12cm，30cm， 36cm 故选 D 考点：相似三角形的性质；三角形三边关系 点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法根据相似三角形的性质，正确求得所作三角形各边的长是解题的关键 下列命题中不成立的是（ ） A矩形的对角线相等 B三边对应相等的两 个三角形全等 C两个相似三角形面积的比等于其相似比的
13、平方 D一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 答案： D 试题分析： A、矩形的对角线相等，成立 B、三边对应相等的两个三角形全等，成立 C、两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方，成立 D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形故选： D 考点：相似三角形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定；矩形的性质 点评：本题考查学生对一些几何概念和定理的掌握情况，属于基础题 如图，小明作出了边长为 1的第 1个正 A1B1C1，算出了正 A1B1C1的面积然后分别取 A1B1C1三边的中点 A2、 B2、 C2，作出了第 2个正 A2B2C2，算出了正 A2B2C2
14、的面积用同样的方法，作出了第 3个正 A3B3C3，算出了正 A3B3C3的面积 ，由此可得，第 10个正 A10B10C10的面积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：正 A1B1C1的面积是 ， 而 A2B2C2与 A1B1C1相似，并且相似比是 1： 2， 则面积的比是 ，则正 A2B2C2的面积是 ； 因而正 A3B3C3与正 A2B2C2的面积的比也是 ，面积是 （ ） 2； 依此类推 AnBnCn与 An1Bn1Cn1的面积的比是 ，第 n个三角形的面积是（ ） n1 所以第 10个正 A10B10C10的面积是 ， 故选 A 考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质；三
15、角形中位线定理 点评：本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键 填空题 如图，巳知 ABC 是面积为 的等边三角形， ABC ADE， AB=2AD， BAD=45， AC 与 DE相交于点 F，则 AEF的面积等于 _ （结果保留根号） 答案： 试题分析： ABC ADE， AB=2AD， = ， AB=2AD， S ABC= ， S ADE= ， 在 EAF中，作 HF AE交 AE于 H， 则 AFH=45， EFH=30， AH=HF， 设 AH=HF=x，则 EH=xtan30= x 又 S ADE= ， 作 CM AB交 AB于 M， A
16、BC是面积为 的等边三角形， ABCM= ， BCM=30， AB=2k， BM=k， CM= k， k=1， AB=2， AE= AB=1， x+ x=1， 解得 x= = S AEF= 1 = 考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质 51 点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形 ADE的面积，然后问题可解 ABC中， AB=9cm， AC=6cm， D是 AC 上的一点，且 AD=2cm，过点 D作直线 DE交 AB于点 E，使所得的三角形与原三角形相似，则 AE= _ cm 答案： cm或 3c
17、m 试题分析： 如图 2，当 ADE ABC时，有 AD： AE=AB： AC AB=9cm， AC=6cm， AD=2cm AE= cm； 如图 1，当 AED ABC时，有 AD： AE=AC： AB AB=9cm， AC=6cm， AD=2cm AE=3cm AE为 cm或 3cm 考点：相似三角形的性质 点评：此题主要考查学生对相似的三角形的性质的运用及分类讨论思想的掌握情况 如图在平面直角坐标系中， A点坐标为（ 8， 0）， B点坐标为（ 0， 6），点C是线段 AB的中点点 P在 x轴上，若以 P、 A、 C为顶点的三 角形与 AOB相似，则 P点坐标为 _ 答案：（ 4， 0）
18、或（ ， 0） 试题分析： A点坐标为（ 8， 0）， B点坐标为（ 0， 6），点 C是线段 AB的中点， OA=8， OB=6， AC= AB， AB=10， AC=5， 若 PAC OAB， OAB= PAC， 则需 ， PA=4， PC=3， OP=4， P点坐标为（ 4， 0）； 若 PAC BAO， OAB= PAC， 则需 ， ， 解得： PA= ， OP=8 = P点坐标为（ ， 0） 故答案：为：（ 4， 0）或（ ， 0） 考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质 点评：此题考查了相似三角形的性质解题的关键是数形结合思想与分类讨论思想的应用 ABC DEF，若 ABC的边长分
19、别为 5cm， 6cm， 7cm，而 4cm是 DEF中一边的长度，则 DEF的另外两边的长度是 _ 答案： ， ； ， ； ， 试题分析： 两个三角形相似，设另外两条边长为 x， y 如果是 5cm和 4cm的边长是对应边 则 = = ， 解得 x= cm， y= cm； 如果 6cm和 4cm边长是对应边 所以 = = ， 解得 x= cm， y= cm， 如果 7cm和 4cm边长是对应边 则 = = ， 解得 x= cm， y= cm， 故答案：为： ， ； ， ； ， 考点：相似三角形的性质 . 点评：此题主要考查相似三角形的性质这一知识点，此题需要利用分类讨论的思想，从对应边的三种
20、情况进行分析，这也是学生容易忽视的地方 两个相似三角形面积比为 1： 9，小三角形的周长为 4cm，则另一个三角形的周长为 _ cm 答案： 试题分析：设另一个三角形的周长是 xcm， 根据相似三角形的性质得： = ， 解得： x=12 故答案：为： 12 考点：相似三角形的性质 点评：本题考查了对相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，主要培养了学生运用性质进行计算的能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目 解答题 如图 ，分别以直角三角形 ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1， S2， S3表示，则不难证明 S1=S2+S3
21、（ 1）如图 ，分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1， S2， S3表示，那么 S1， S2， S3之间有什么关系；（不必证明） （ 2）如图 ，分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1、 S2、 S3表示，请你确定 S1， S2， S3之间的关系并加以证明； （ 3）若分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用 S1， S2， S3表示，为使 S1， S2， S3之间仍具有与（ 2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论； （ 4）类比（ 1），（ 2），（ 3）的结论，请你总结出一个更具一般意义
22、的结论 答案：（ 1） S1=S2+S3 （ 2） S1=S2+S3，证明见 （ 3）当所作的三个三角形相似时， S1=S2+S3 证明见 （ 4）分别以直角三角形 ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用 S1、S2、 S3表示，则 S1=S2+S3 试题分析：设直角三角形 ABC 的三边 BC、 CA、 AB的长分别为 a、 b、 c，则c2=a2+b2 （ 1） S1=S2+S3； （ 2） S1=S2+S3证明如下： 显然， S1= ， S2= ， S3= S2+S3= =S1， 即 S1=S2+S3 （ 3）当所作的三个三角形相似时， S1=S2+S3证明如下： 所作三个三角形相
23、似 =1 S1=S2+S3； （ 4）分别以直角三角形 ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用 S1、S2、 S3表示，则 S1=S2+S3 考点：相似三角形的性质；勾股定理 点评：本题是对勾股定理进行的证明，难易程度适中 在 ABC中， AB=4，如图（ 1）所示， DE BC， DE把 ABC分成面积相等的两部分，即 S =S ，求 AD的长 如图（ 2）所示， DE FG BC， DE、 FG把 ABC分成面积相等的三部分，即S =S =S ，求 AD的长； 如图（ 3）所示， DE FG HK BC， DE、 FG、 HK、 把 ABC分成面积相等的 n部分， S =S =S =
24、 ， 请直接写出 AD的长 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1） S =S ， = ， DE BC， ADE ABC， ， AD= = （ 2） S =S =S ， = ， DE BC， ADE ABC， AD= = （ 3）由（ 1）（ 2）知， AD= 考点：平行线分线段成比例；相似三角形的性质 510329 点评：本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质 如图 1，在矩形 ABCD中， AB=6cm， BC=12cm，点 P从点 A开始以 1cm/s的速度沿 AB 边向点 B运动，点 Q 从点 B以 2cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动，如果 P、 Q
25、 同时出发，设运动时间为 ts， （ 1）当 t=2时，求 PBQ 的面积； （ 2）当 t= 时，试说明 DPQ 是直角三角形； （ 3）当运动 3s时， P点停止运动， Q 点以原速立即向 B点返回，在返回的过程中， DP 是否能平分 ADQ？若能，求出点 Q 运动的时间；若不能，请说明理由 答案：（ 1） 8 （ 2）见 （ 3） 5.625s 试题分析：（ 1）当 t=2时， AP=t=2， BQ=2t=4， BP=ABAP=4， PBQ 的面积 = 44=8； （ 2）当 t= 时， AP=1.5， PB=4.5， BQ=3， CQ=9， DP2=AD2+AP2=2.25+144=1
26、46.25， PQ2=PB2+BQ2=29.25， DQ2=CD2+CQ2=117， PQ2+DQ2=DP2， DQP=90， DPQ 是直角三角形 （ 3）设存在点 Q 在 BC 上，延长 DQ 与 AB延长线交于点 O 设 QB的长度为 x，则 QC的长度为（ 12x）， DC BO， C= QBO， CDP= O， CDQ BOQ，又 CD=6， QB=x， QC=12x， = ，即 = ， 解得： BO= ， AO=AB+BO=6+ = ， DO= ， PO= ， ADP= ODP， 12： DO=AP： PO， 代入解得 x=0.75， DP 能平分 ADQ， 点 Q 的速度为 2c
27、m/s， P停止后 Q 往 B走的路程为（ 60.75） =5.25cm 时间为 2.625s，加上刚开始的 3s， Q 点的运动时间为 5.625s 考点：矩形的性质；相似三角形的性质 点评：用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半；若三角形的三边 a， b， c符合 a2+b2=c2， 那么 C=90；相似三角形的对应边成比例；三角形的角平分线分对边的比等于另两边之比 如图，直角三角形 ABC到直角三角形 DEF是一个相似变换， AC 与 DF 的长度之比是 3： 2 （ 1） DE与 AB的长度之比是多少？ （ 2）已知直角三角形 ABC 的周长是 12cm，面积是 6cm2
28、，求直角三角形 DEF的周长与面积 答案：（ 1） 2： 3 （ 2）周长为 8cm， S DEF= cm2 试题分析：（ 1）由相似变换可得： DE： AB=DF： AC=2： 3； （ 2） AC： DF=3： 2， DEF的周长： ABC的周长 =2： 3， S DEF： S ABC=4： 9， 直角三角形 ABC 的周长是 12cm，面积是 6cm2 DEF的周长为 8cm，S DEF= cm2 考点：相似三角形的性质 点评：此题主要考查学生对相似三角形的性质的理解及运用 如图，正方形 ABCD 的边长为 2， AE=EB， MN=1，线段 MN 的两端在 BC、CD上，若 ADE C
29、MN，求 CM的长 答案： 试题分析： 正方形 ABCD的边长为 2， AE=EB， AE= 2=1， 在 Rt ADE中， DE= = = ， ADE CMN， = ， 即 = ， 解得 CM= 考点：相似三角形的性质；正方形的性质 51 点评：本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，正方形的性质，根据相似三角形对应顶点的字母放在对应位置上确定出对应边是解题的关键 如图，在等腰梯形 ABCD中， B=60，且 AB=AD=CD，请你将等腰梯形分成 3个三角形，使得其中有两个是相似三角形，且相似比不为 1 现在请你参考示意图，另外再给出三种分割方法（注：在两个相似三角形中标明必要的角度） 答案
30、： 试题分析：如图： 方案一，连接 BD，作 AF BD于 F，则 ABF CBD； 方 案二，连接 BD，作 DH BC 于 H，则 BDH DCH； 方案三，连接 BD，作 DCB的平分线交 BD于 G，则 BGC BAD 考点：相似三角形的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的性质 点评：本题考查了对相似三角形的判定，等腰三角形的性质等腰梯形的性质等知识点的应用，关键是画图，主要是找出两三角形的两个角分别相等，题型较好，有一点难度 ABC ABC， ， AB边上的中线 CD=4cm， ABC的周长为 20cm， ABC的面积是 64cm2，求： （ 1） AB边上的中线 CD的长； （ 2）
31、 ABC的周长； （ 3） ABC的面积 答案：（ 1） 8cm （ 2） 40cm （ 3） 16cm2 试题分析：（ 1） ABC ABC， ， AB边上的中线 CD=4cm， = ， CD=4cm2=8cm， AB边上的中线 CD的长为 8cm； （ 2） ABC ABC， ， ABC的周长为 20cm， = ， C ABC=20cm2=40cm， ABC的周长为 40cm； （ 3） ABC ABC， ， ABC的面积是 64cm2， = = ， S ABC=64cm24=16cm2， ABC的面积是 16cm2 考点：相似三角形的性质 点评：本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三
32、角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方 如图，已知 ABC 是面积为 的等边三角形， ABC ADE， AB=2AD， BAD=45， AC 与 DE相交于点 F，则 AEF的面积等于多少？（结果保留根号） 答案： 试题分析： AB=2AD， =2， 又 ABC ADE， ABC是面积为 ， =4， S ADE= ， ABC ADE， ABC是等边三角形， ADE也是等边三角形，其面积为 AE2= ， AE=1， 作 FG AE于 G， BAD=45， BAC= EAD=60， EAF=45，
33、 AFG是等腰直角三角形， 设 AG=FG=h，在直角三角形 FGE中， E=60， EG=1h， FG=h， tan E= ，即 tan60= ，解得 h= ， S AEF= 1 = 考点：相似三角形的性质；等边三角形的判定与性质 点评：本题考查的是相似三角形的性质及等边三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键 已知 ABC ABC， ABC与 ABC的相似比为 k （ 1）如果 CD和 CD是它们的对应高，那么 等于多少？ （ 2）如果 CD和 CD是它们的对应角平分线，那么 等于多少？如果 CD和 CD是它们的对应中线呢？ 答案：（
34、 1） k （ 2） k； k 试题分析：（ 1）相似三角形的相似比等于其对应高的比， =k （ 2）当其为角平分线时， =k 当其为中线时， =k 考点：相似三角形的性质 点评：本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够熟练掌握 如图，在 ABC中， AB=8cm， BC=16cm，点 P从点 A开始沿边 AB向点B以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果点 P、 Q 分别从点 A、 B同时出发，经几秒钟 PBQ 与 ABC相似？试说明理由 答案：经 2或 0.8秒钟 PBQ 与 ABC相似 试题分析：设经 x秒钟 PBQ 与 AB
35、C相似， 则 AP=2xcm， BQ=4xcm， AB=8cm， BC=16cm， BP=ABAP=（ 82x） cm， B是公共角， 当 ，即 时， PBQ ABC， 解得： x=2； 当 ，即 时， QBP ABC， 解得： x=0.8， 经 2或 0.8秒钟 PBQ 与 ABC相似 考点：相似三角形的性质 点评：此题考查了相似三角形的判定此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用 已知：如图，正方形 ABCD的边长是 1， P是 CD的中点，点 Q 是线段 BC上一动点，当 BQ 为何值时，以 A、 D、 P为顶点的三角 形与以 Q、 C、 P为顶点
36、的三角形相似 答案： BQ 的长度是 0或 时，以 A、 D、 P为顶点的三角形与以 Q、 C、 P为顶点的三角形相似 试题分析： 正方形 ABCD的边长是 1， P是 CD的中点， PD=PC= ， 当 DP 与 PC是对应边时， = ， 即 = ， 解得 CQ=1， BQ=BCCQ=11=0； 当 DP 与 CQ是对应边时， = ， 即 = ， 解得 CQ= ， BQ=BCCQ=1 = ， 综上所述， BQ 的长度是 0或 时，以 A、 D、 P为顶点的三角形与以 Q、 C、 P为顶点的三角形相似 考点：相似三角形的性质；正方形的性质 510 点评：本题考查了正方形的四条边都相等的性质，相
37、似三角形的对应边成比例的性质，因为对应边不明确，所以要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错 已知如图，在矩形 ABCD中， AB=12cm， BC=6cm，点 E自 A点出发，以每秒 1cm的速度向 D 点前进，同时点 F 从 D 点以每秒 2cm的速度向 C 点前进，若移动的时间为 t，且 0t6 （ 1）当 t为多少时， DE=2DF； （ 2）四边形 DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由 （ 3）以点 D、 E、 F为顶 点的三角形能否与 BCD相似？若能，请求出所有可能的 t的值；若不能，请说明理由 答案：（ 1） （ 2）是定值， 36 （ 3）能，
38、t= 试题分析：（ 1）由题意得： DE=ADt=6t， DF=2t， 6t=22t，解得 t= ， 故当 t= 时， DE=2DF； （ 2） 矩形 ABCD的面积为： 126=72， S ABE= 12t=6t， S BCF= 6（ 122t） =366t， 四边形 DEBF的面积 =矩形的面积 S ABES BCF=726t36+6t =36，故四边形 DEBF的面积为定值； （ 3）设以点 D、 E、 F为顶点的三角形能与 BCD相似，则 = 或 = ， 由 ED=6t， DF=2t， FC=122t， BC=6，代入解得： t=12（舍去）或 t=6（舍去）或 t= ， 故当 t=
39、时，以点 D、 E、 F为顶点的三角形与 BCD相似 考点：相似三角形的性质；一元一次方程的应用；三角形的面积 点评：本题考查了相似三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是掌握用分类讨论的思想进行求解 我们约定，若一个三角形（记为 A1）是由另一个三角形（记为 A）通过一次平移，或绕其任一边的中点 旋转 180得到的，则称 A1是由 A复制的以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去如图 1，由 A 复制出 A1，又由 A1 复制出 A2，再由 A2 复制出 A3，形成了一个大三角形，记作 B以下各题中的复制均是由 A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角
40、形（指与 A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠 （ 1）图 1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现 A B，其相似比为 _ 在图 1的基础上继续复制下去得到 C，若 C的一条边上恰有11个小三角形（指 有一条边在该边上的小三角形），则 C中含有 _ 个小三角形； （ 2）若 A 是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是 _ ； （ 3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图 2的方框内画出草图，并仿照图 1作出标记 答案：（ 1） 1： 2， 121 （ 2）正三角形或正六边形 （ 3） 试题分析：（ 1） A A1 是经过旋转所得， A1 A2 是经过旋转所得， A2 A3 是经过平移所得 由于 B是由 4个 A组成， 因此 S B=4S A， 因此相似比为 2： 1 当 C的一条边上有 11个小三角形时， 那么它们的相似比为 11： 1，面积比 121： 1， 即 C中有 121个这样的小三角形； 故答案：为： 1： 2， 121（ 2分） （ 2）正三角形或正六边形（ 4分） （ 3）如图（ 5分） 考点：规律型：图形的变化类；等边三角形的判定；平移的性质；相似三角形的性质 点评：本题考查了平移的性质，旋转的性质以及相似和等边三角形的判定等知识点找出图中的规律是解题的关键
