1、2015年课时同步练习（浙教版）八年级上 2.4等腰三角形的判定定理 2（带解析） 填空题 如图，在 ABC中， BAC=135， AD BC于 D，且 AB+BD=DC，那么 C= 答案： 试题分析：由 AB+BD=DC，可以得到辅助线：在 DC上截取 DE=BD，连接 AE；根据 SAS证得 ADB ADE，再利用全等三角形的对应边，对应角相等，可得到 B= AED， AE=AB；又由等量代换，证得 AEC是等腰三角形，利用等边对等角，即可求得 B与 C的关系，由三角形的内角和是 180，即可求得结果 解：在 DC上截取 DE=BD，连接 AE， AD BC， ADB= ADE=90， A
2、D=AD， ADB ADE， B= AED， AE=AB， AB+BD=DC， DE+EC=DC， AE=AB=EC， AEB=2 EAC=2 C， B=2 C， BAC=135， B+ C+ BAC=180， 3 C=45， C=15 故答案：为： 15 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质解此题的关键是找到辅助线的作法，解题时应注意积累经验 在 ABC中， AB=AC， A=36， BD是 ABC的平分线，则图中共有 个等腰三角形 答案： 试题分析： AB=AC， A=36， BD是 ABC的平分线，求出 ABC， C， BDC， ABD， DBC的度数，即可得到
3、A= ABD， BDC= C，根据等角对等边即可得出答案： 解： AB=AC， A=36， ABC= C= （ 180-36） =72， BD是 ABC的平分线， ABD= CBD= ABC=36， BDC= A+ ABD=72= C， BD=BC， AD=BD， AB=AC， 等腰三角形有： ABC， ADB， BDC3个 故答案：为： 3 点评：本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，解此题的关键是求出各个角的度数 如图， AC=BC， ACB=90， AE平分 BAC， BF AE，交 AC延长线于F，且垂足为 E，则下列结论： AD=BF；
4、BF=AF； AC+CD=AB， AB=BF； AD=2BE 其中正确的结论有 （填写番号） 答案： 试题分析：根据 ACB=90， BF AE，得出 ACB= BED= BCF=90，推出 F= ADC，证 BCF ACD，根据全等三角形的性质即可判断 ；假如 AC+CD=AB，求出 F+ FBC90，和已知矛盾，即可判断 ，证根据全等三角形的判定 ASA得出 BEA FEA，推出 BE=EF，即可判断 解： ACB=90， BF AE， ACB= BED= BCF=90， F+ FBC=90， BDE+ FBC=90， F= BDE， BDE= ADC， F= ADC， AC=BC， BC
5、F ACD， AD=BF， 正确； 错误； BCF ACD， CD=CF， AC+CD=AF， 假如 AC+CD=AB， AB=AF， F= FBA=65， FBC=65-45=20， F+ FBC90， 错误； 错误； 由 BCF ACD， AD=BF， AE平分 BAF， AE BF， BEA= FEA=90， BAE= FAE， AE=AE， BEA FEA， BE=EF， 正确； 故答案：为： 点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，垂线，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是证此题的关键 如图所示，在长方形 AB
6、CD的对称轴 l上找点 P，使得 PAB、 PBC、 PDC、 PAD均为等腰三角形，则满足条件的点 P有 个 答案： 试题分析：利用分类讨论的思想，此题共可找到 5个符合条件的点：一是作 AB或 DC的垂直平分线交 l于 P；二是在长方形内部 在 l上作点 P，使 PA=AB， PD=DC，同理，在 l上作点 P，使 PC=DC， AB=PB；三是如图，在长方形外 l上作点 P，使 AB=BP， DC=PC， 同理，在长方形外 l上作点 P，使 AP=AB， PD=DC 解：如图，作 AB或 DC的垂直平分线交 l于 P， 如图，在 l上作点 P，使 PA=AB，同理，在 l上作点 P，使
7、PC=DC， 如图，在长方形外 l上作点 P，使 AB=BP，同理，在长方形外 l上作点 P，使PD=DC， 故答案：为 5 点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答 如图， D为 ABC内一点， CD平分 ACB， BD CD， A= ABD，若AC=8， BC=5，则 BD的长为 答案： A 试题分析：延长 BD与 AC交于点 E，由题意可推出 BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形 BCE，可推出 BC=CE， AE=BE=2BD，根据 AC=8，BC=5，即可推出 BD的长度 解：延长 BD与 AC交于点 E， A= A
8、BD， BE=AE， BD CD， BE CD， CD平分 ACB， BCD= ECD， EBC= BEC， BEC为等腰三角形， BC=CE， BE CD， 2BD=BE， AC=8， BC=5， CE=5， AE=AC-EC=8-5=3， BE=3， BD=1.5 故选 A 点评：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论 已知如图， BC=3， ABC和 ACB的平分线相交于点 O， OE AB，OF AC，则三角形 OEF的周长为 答案： 试题分析：先根据角平分线的性质求出 1= 2， 4= 5，再根据平行线的性质
9、求出 1= 3， 4= 6，通过等量代换可得， 2= 3， 5= 6，根据等腰三角形的判定定理及性质可得 BE=OE， OF=FC，即可解答 解： OB， OC分别是 ABC， ACB的平分线， 1= 2， 4= 5， OE AB， OF AC， 1= 3， 4= 6， 2= 3， 5= 6， BE=OE， OF=FC， BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF， BC=3， OF+OE+EF=3 OEF的周长 =OF+OE+EF=3 点评：本题涉及到角平分线及平行线的性质，属中档题目 如图，已知 ABC中， AC+BC=24， AO、 BO分别是角平分线 ，且MN BA，分别交 AC于 N、
10、 BC于 M，则 CMN的周长为 答案： 试题分析：根据 AO、 BO分别是角平分线和 MN BA，求证 AON和 BOM为等腰三角形，再根据 AC+BC=24，利用等量代换即可求出 CMN的周长 解： AO、 BO分别是角平分线， OAN= BAO， ABO= OBM， MN BA， AON= BAO， MOB= ABO， AN=ON， BM=OM，即 AON和 BOM为等腰三角形， MN=MO+ON， AC+BC=24， CMN的周长 =MN+MC+NC=AC+BC=24 故答案：为： 24 点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证 AON和
11、BOM为等腰三角形，难度不大，是一道基础题 如图，在 ABC中， ABC=2 ACB， BD平分 ABC， AD BC，则图中的等腰三角形有 个，分别为 答案：； BOC， AOD， ABD， ACD 试题分析：根据已知条件可以推知 OBC= OCB， OAD= DOA， ABD= ADB， DAC= DCA，然后由等角对等边可以找出图中的等腰三角形 解： 在 ABC中， ABC=2 ACB， BD平分 ABC， ABD= CBD= ACB，即 CBD= ACB， OB=OC（等角对等边）， BOC是等腰三角形； 又 AD BC， DAC= ACB， ADB= CBD（两直线平行，内错角相等）
12、， OAD= DOA， ABD= ADB， DAC= DCA， OA=OD， AB=AD， AD=DC， AOD， ABD， ACD是等腰三角形； 故答案：是： 4； BOC， AOD， ABD， ACD 点评：本题考查了等腰三角形的判定角的等量代换的运用是正确解答本 题的关键 如图，已知 AD平分 EAC，且 AD BC，则 ABC一定是 三角形 答案：等腰 试题分析：先根据平行线性质得到 EAD= B， DAC= C，再根据角平分线的性质得到 EAD= DAC，从而推出 B= C，等角对等边所以AB=AC从而判定 ABC的形状 解： AD BC， EAD= B， DAC= C AD平分 E
13、AC， EAD= DAC B= C AB=AC ABC是等腰三角形 故答案：为：等腰 点评：此题主要考查了等腰三角形的判定及平行线的性质，重点 考查学生对等腰三角形的判定的理解及运用，属于基础证明，难度不算很大 如图所示，在 ABC中，已知 AB=AC， A=36， BC=2， BD是 ABC的角平分线，则 AD= 答案： 试题分析：根据等腰三角形的性质，先证 B= C=72，再由角平分线的定义可证 ABD= CBD=36，即可求 BDC=72，即证 BD=BC=AD=2 解： AB=AC， A=36， B= C=72， BD是 ABC的角平分线， ABD= CBD=36， BDC=180-3
14、6-72=72= C， BD=BC=AD=2 故填 2 点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质；由已知条件结合性质得到BD=BC=AD是正确解答本题的关键 在 ABC中， A=40，当 B= 时， ABC是等腰三角形 答案： 或 70或 100 试题分析：分为两种情况：（ 1）当 A是底角， AB=BC，根据等腰三角形的性质求出 A= C=40，根据三角形的内角和定理即可求出 B； AC=BC，根据等腰三角形的性质得到 A= B=40；（ 2）当 A是顶角时， AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出 B 解：（ 1）当 A是底角， AB=BC， A= C=40， B=18
15、0- A- C=100； AC=BC， A= B=40； （ 2）当 A是顶角时， AB=AC， B= C= （ 180- A） =70 故答案：为： 40或 70或 100 点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能进行分类讨论，并求出各种情况时 B的度数是解此题的关键 如图，是两个完全相同且有一个角为 60的直角 三角形所拼而成，则图中等腰三角形有 个 答案： 试题分析：等腰三角形的判定定理问题，图中两个 60的直角三角形，可得 B= C=30 D= AMD=60， F= ANF=60，由此可确定等腰三角形 解：如图所示， B= C=30， AB=AC
16、， ABC是等腰三角形， D= AMD=60， F= ANF=60， AD=AM， AF=AN， ADM、 ANF是等腰三角形， ADM， AFN， ABC均为等腰三角形，共有三个 故填 3 点评：本题考查了等腰三角形的判定及 三角形内角和定理；求得各角的度数是正确解答本题的关键 如图，在 ABC中， OB、 OC分别是 B和 C的角平分线，过点 O作EF BC，交 AB、 AC 于点 E、 F，如果 AB=10， AC=8，那么 AEF的周长为 答案： 试题分析：利用已知给出的平行线及角平分线的性质可得到许多对角是相等的，根据等校对等边的性质可得线段相等，进行等量代换周长可得 解： EF B
17、C， 2= 3 又 BO是 ABC的平分线， 1= 3 2= 1 于是 EO=EB 同理， FO=FC AEF的周长为：（ AE+EO） +（ AF+FO） =（ AE+EB） +（ AF+FC） =10+8=18 故答案：为 18 点评：本题考查了平行线的性质和角平分线的定义及等腰三角形的判定；根据等角对等边，可以将周长转化为三角形两边长，有效的对线段进行转移是正确解答本题的关键 有一轮船由东向西航行，在 A处测得西偏北 15有一灯塔 P继续航行 20海里后到 B处，又测得灯塔 P在西偏北 30如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是 海里 答案： 试题分析：过 P作 PD AB于 D，
18、则 PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，求出 APB= PAB，推出 PA=PB=20，根据含 30度角的直角三角形性质求出PD= PB，代入求出即可 解：如图： 过 P作 PD AB于 D，则 PD的长就是灯塔与船之间的最近距离， PDB=90， PBD=30， PAB=15， APB= PBD- PAB=15= PAB， PB=AB=20， 在 Rt PBD中， PB=20， PBD=30， PD= PB=10， 故答案：为： 10 点评：本题考查了含 30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出 PB的长和得出 PD= PB，题目比较典型，是一
19、道比较好的题目，主要考查学生的理解能力和计算能力 如图，四边形 ABCD中， AC、 BD交于点 E， ABC= CAD=90，AE=EC，在下列结论中，正确的有 （填写序号） AE=BE； BE DE； AED的面积 = BEC的面积； EBC= ECB AB CD 答案： 试题分析：根据直角三角形的斜边的中线即可判断 ；根据在一个三角形中，大边对大角即可判断 ；根据等底等高的面积相等即可求出 ；根据等腰三角形的性质即可得到 ，根据平行线的判定即可判断 解： ABC=90， AE=EC， BE= AC=AE， 正确； CAD=90， CAD ADE， 即： AE DE， EA=BE， 正确；
20、 AEB的面积 = BEC的面积，而 BE DE， AED的面积 BEC的面积， 错误； ABC=90， AE=EC， BE= AC=AE=CE， EBC= ECB， 正确； AED的面积 BEC的面积， ABD的面积 ABC的面积，又两三角形的底边为 AB， 两三角形的高不相等， 若 DC与 AB平行，根据平行线间的距离相等可得两三角形 AB边上的高相等，矛盾， DC与 AB不平行，即 错误 正确有 ， 故答案：为： 点评：本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，解此题的关键是能运用这些性质进行判断题型较好，综合性强 如图， Rt A
21、BC中， CD是斜边 AB上的高， 角平分线 AE交 CD于 H，EF AB于 F，有下列结论： ACD= B； CH=CE=EF； AC=AF； CH=HD； BE=CH其中你认为正确的有 （填序号就可以） 答案： 试题分析： 由 CD是斜边 AB上的高， ACB=90，得到 ACD+ BCD=90， BCD+ B=90，即可得到答案：； 由角平分线的性质得到 CE=EF，根据三角形的外角性质能求出 CHE= CEA，推出 CH=CE即可得到答案：； 根据直角三角形全等的判定定理 HL即可； 根据边得关系即可判断 解： CD是斜边 AB上的高， ACB=90， CDB=90， ACD+ BC
22、D=90， BCD+ B=90， ACD= B， 正确； AE平分 CAB， CAE= BAE， C=90， EF AB， CE=FE， CHE= CAE+ACD， CEA= BAE+ B， ACD= B， CHE= CEA， CH=CE， 即： CH=CE=EF， 正确； 在 Rt ACE和 Rt AFE中 AE=AE， CE=EF， Rt ACE Rt AFE， AC=AF， 正确； CH=EF， CHHD， 错误； 在 Rt BFE中， BE EF，而 EF=CH， 错误； 故答案：为： 点评：本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质
23、等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行证明此题题型较好，综合性强 如果一个三角形三边长为 a、 b、 c，且满足（ a+b+c）（ a-c） =0，则该三角形的形状是 答案：等腰三角形 试题分析：根据（ a+b+c）（ a-c） =0得到 a=c，从而可以判定该图形的形状 解： （ a+b+c）（ a-c） =0， a+b+c=0或 a-c=0， a、 b、 c，为三角形三边， a+b+c=0（舍去）， a=c 该三角形为等腰三角形， 故答案：为：等腰三角形 点评：本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形是等腰三角形 下列说法： 如图 1， ABC中， AB=AC， A=45，则 AB
24、C能被一条直线分成两个小等腰三角形 如图 2， ABC中， AB=AC， A=36， BD， CE分别为 ABC， ACB的角平分线，且相交于点 F，则图中等腰三角形有 6个 如图 3， ABC是等边三角形， CD AD，且 AD BC，则 AD= AB 如图 4， ABC 中，点 E是 AC上一点，且 AE=AB，连接 BE并延长至点 D，使 AD=AC， DAC= CAB，则 DBC= DAB 其中，正确的有 （请写序号，错选少选均不得分） 答案： 试题分析：不管过 A（或过 B或过 C）作直线，都不能把三角形 ABC分成两个等腰三角形，即可判断 ；求出 A= ABD= DBC= ACE=
25、 BCE=36，根据三角形的内角和定理求出三角形其余角的度数，根据等腰三角形的判定定理推出边相等，即可判断 ；求出 ACD=30，根据含 30度 角的直角三角形性质求出 AD= AC，即可判断 ；过 C 作 CF BD交 AB的延长线于 F，连接 DC，EF，求出 EF=BC，证三角形全等推出 DE=EF， DC=CF，推出 CD=BC，推出 CDB= CBD，根据三角形的内角和定理求出 CDB= CAB即可 解：若 ABC中， AB=AC， A=45，不论过 A作直线（或过 B作直线或过 C作直线）都不能把三角形 ABC化成两个等腰三角形， 错误； 图 中，有等腰三角形 7个： ABD， C
26、BD， ACE， CDE， BEF， CDF， FBC， 错误； 等边 ABC， AB=AC， ACB=60， AD BC， CD AD， DCB= D=90， ACD=30， AD= AC= AB， 正确； 过 C作 CF BD交 AB的延长线于 F，连接 DC， EF， = ， AE=AB， AD=AC， AF=AC=AD， CE=BF， 即 BE CF， CE=BF， 四边形 BECF是等腰梯形， EF=BC， 在 DAC和 FAC中 ， DAC FAC， CD=CF， 同理 DE=EF， AD=AC， AE=AB， ADC= ACD， AEB= ABE， DAC= BAC， DAC+
27、ACD+ ADC=180， CAB+ AEB+ ABE=180， ACD= AEB， AEB= DEC， ACD= DEC， DE=CD， DC=CF=EF=ED， EF=CB， DC=BC， CBD= CDE， DCA= DEC= AEB= ABE， 由三角形的内角和定理得： CDE= CAB= DAB， DBC= DAB， 正确 故答案：为： 点评：本题考查了等边三角形性质，含 30度角的直角三角形性质，等腰三角 形的性质和判断，角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，第 小题证明过程偏难，对学生提出较高的要求，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键 如图
28、，线段 OP的一个端点 O在直线 a上，以 OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能有 个 答案：个 试题分析：当 O为等腰三角形的两条腰的交点时，以 O为圆心， OP为半径画弧，交直线 a于两点；当 P为等腰三角形的两条腰的交点时，以 P为圆心， OP为半径画弧，交直线 a于一点；当所求的第三点为等腰三角形的两条腰的 交点时，可作 OP的垂直平分线，与直线 a交于一点，那么可作出等腰三角形共 4个 解： AOP， BOP， COP， DOP就是所求的三角形 点评：本题考查了等腰三角形的性质；等腰三角形有 2条边相等，注意可选不同的顶点为等腰三角形的两条腰的交点
29、 在 Rt ABC中， C=90， A=30，若要在直线 BC或直线 AC上取一点P，使 ABP是等腰三角形，符合条件的点 P有 个点 答案： 试题分析：本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解 解：第 1个点在 AC上，取一点 P，使 PBA= PAB； 第 2个点在 AC延长线上，取一点 P，使 AB=PA； 第 3个点在 CA延长线上，取一点 P，使 BA=AP； 第 4个点取一点 P，使 AP=BA； 第 5个点取一点 P，使 PB=BA； 第 6个点取一点 P，使 AP=AB 符合条件的点 P有 6个点 故填 6 点评：本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，
30、画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解 解答题 如图，四边形 ABCD中， ABC= ADC=90， E是对角线 AC的中点，连接 BE、 DE （ 1）若 AC=10， BD=8，求 BDE的周长； （ 2）判 断 BDE的形状，并说明理由 答案：（ 1） BDE的周长为 18（ 2）见 试题分析：（ 1）根据直角三角形斜边上的中线的性质求出 ED、 BE的值，再代入 BD+DE+BE求出即可； （ 2）根据直角三角形斜边的中线性质求出 DE=BE= AC，根据等腰三角形的判定即可得出答案： 解：（ 1） ABC= ADC=90， E是对角线 AC的中点， AC=10， DE= AC=
31、5， BE= AC=5， BDE的周长为 BD+DE+BE=8+5+5=18， 答： BDE的周长为 18 （ 2） BDE是等腰三角形， 理由是： ABC= ADC=90， E是对角线 AC的中点， DE= AC， BE= AC， DE=BE， BDE是等腰三角形 点评：本题考查了直角三角形斜边的中线和等腰三角形的判定的应用，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，有两边相等的三角形是等腰三角形 已知：如图，在 ABC中， CD AB垂足为 D， BE AC垂足为 E，连接DE，点 G、 F分别是 BC、 DE的中点 求证： GF DE 答案：见 试题分析：作辅助线（连接 DG、 EG）构建 R
32、t BCD和 Rt BCE斜边上的中线，然后根据斜边上的中线等于斜边的一半求得 DG=EG= BC，从而判定 DEG 是等腰三角形；最后根据等腰三角形的 “三线合一 ”的性质推知 GF DE 证明：连接 DG、 EG CD AB，点 G是 BC的中点， 在 Rt BCD中， DG= BC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）（ 2分） 同理， EG= BC（ 2分） DG=EG（等量代换）（ 1分） F是 DE的中点， GF DE（ 2分） 点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质熟练运用等腰直角三角形 “三线合一 ”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题
33、的关键 如图，已知 ABC是等边三角形， BD是 ABC的中线，延长 BC至 E，使CE=CD，连接 DE，试说明 BD=ED的理由 答案：见 试题分析：根据等边三角形性质得出 BA=BC， ABC= ACB=60，根据三线合一定理求出 DBC=30，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出 E=30，推出 DBC= E，根据等角对等边推出即可 解： ABC是等边三角形， BA=BC， ABC= ACB=60， BD是 ABC的中线， DBC=30（等腰三角形的 “三线合一 ”） CE=CD， E= CDE， E+ CDE=60（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， E=30， D
34、BC= E， BD=ED（等角对等边） 点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用 如图， BD是等边 ABC的高， E是 BC延长线上一点，且 （ 1）直接写出 CE与 CD的数量关系； （ 2）试说明 BDE是等腰三角形 答案：（ 1） CD=CE（ 2）见 试题分析：（ 1） CD=CE，理由为：由等边三角形 ABC得到 ABC为 60，又DB垂直 AC，根据 “三线合一 ”得到 DBC为 30，根据直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半得到 CD等于 BC的一半，由题中已知的 CE等于BC的一半，等量代换可得 CD=CE； （ 2
35、）由等边三角形 ABC得到 ACB为 60，又（ 1）得到 CD=CE，根据 “等边对等角 ”以及外角性质得到 E=30，又 DBC为 30，故两角相等，再根据 “等角对等边 ”得到 BD=DE，即三角形 BDE为等腰三角形 解：（ 1） CD=CE；（ 2分） （ 2） ABC是等边三角 形 AB=AC=BC ABC= ACB=60，（ 4分） BD AC ， ，（ 5分） CD=CE，（ 6分） E= CDE，（ 7分） ACB= E+ CDE ，（ 8分） CBD= E， BD=ED， BDE是等腰三角形（ 9分） 点评：此题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的判定利
36、用等腰三角形的性质可以解决证明角、边的相等问题，尤其在证明其性质和判定中展示的转换意识，对同学们分析和解决问题能力的提高有非常重要的价值 如图，在 ABC中， B= C=30， D是 BC的中点，连接 AD，求 BAD与 ADC的度数 答案： 试题分析：因为 B= C=30，所以 ABC是等腰三角形，又因为 D是 BC的中点，所以 AD BC（三线合一）即 ADC=90，所以 ADB， ADC是直角三角形，利用三角形内角和是 180求 BAD=60 解： ABC中， B= C=30， AB=AC， D是 BC的中点， AD BC， ADC=90 ADB=90， BAD= ADB- B， =90
37、-30， =60 点评：本题考查等腰三角形的 判断方法：等角对等边和等腰三角形的一个重要性质： “三线合一 ”是一小型的综合题 如图：在 ACB中，点 D是 AB边上一点，且 ACB= CDA， CAB的平分线分别交 CD、 BC于点 E、 F （ 1）作出 CAB的平分线 AE； （ 2）试说明 CEF是什么三角形？并证明你的结论 答案：见 试题分析：（ 1）根据角平分线定义画出图形即可； （ 2）根据角平分线定义推出 CAE= DAE，根据三角形内角和定理得出 ACB= CDA，求出 CFA= AED，推出 CFE= CEF，根据等角对等边推出 CE=CF即可 解：（ 1）如图所示： ；
38、（ 2） CEF是等腰三角形 证明： AE是 CAB的平分线， CAE= DAE， CAE+ ACB+ CFE=180 DAE+ CDA+ AED=180， ACB= CDA， CFA= AED， AED= CEF， CFE= CEF， CE=CF， 即 CEF是等腰三角形 点评：本题考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，角平分线定义等知识点，注意：等角对等边 如图， ABC中， AD平分 BAC， CD AB交 AD于 D试判断 ADC的形状，并 说明你的理由 答案：等腰三角形 试题分析：利用平行线的性质可以得到： 1= ADC，利用角平分线的性质可以得到 1= 2，从而得到 2= A
39、DC，利用等角对等边可以判定等腰三角形 解： ADC为等腰三角形 证明： CD AB， 1= ADC， AD平分 BAC， 1= 2， 2= ADC， AC=DC， ADC为等腰三角形 点评：本题考查了等腰三角形的判定，题目中应用到了平行线的性质及等角对等边的知识，题目比较简单 如图，在 ABC中， AB=AC， A=20，在 AB、 AC上分别取点 E、 D，使 CBD=60， BCE=50，求 AED的度数 答案： 试题分析：作 DF BC，与 AB相交于 F，连接 CF，设 CF与 BD相交于 G，连接 EG，证 DF=DG， BC=BG，求出 BEC，推出 BE=BG，求出 EFG是等
40、腰三角形，推出 EF=EG，证 DFE DGE，求出 EDB，根据三角形外角性质求出即可 解： AB=AC， A=20， ABC= ACB=80， ABD=20， 作 DF BC，与 AB相交于 F，连接 CF，设 CF与 BD相交于 G，连接 EG 四边形 DFBC为等腰梯形 DBC= FCB=60， BGC， DGF都是正三角形， 即 BG=CG， BCE=50， EBC=80， BEC=50， 即 BE=BC，知 BGE是等腰三角形 得： BGE=80， FGE=40 又因 EFG= BDC=40， EFG是等腰三角形， EF=GE DF=DG， DFE DGE DE平分 FDG， ED
41、B=30， AED= EDB+ EBD=50 答： AED的度数是 50 点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 已知：如图，在 ABC中， C=90， AC=BC=4，点 M是边 AC上一动点（与点 A、 C不重合），点 N在边 CB的延长线上，且 AM=BN，连接 MN交边 AB于点 P （ 1）求证： MP=NP； （ 2）若设 AM=x， BP=y，求 y与 x之间的函数关系式，并写出它的定义域； （ 3）当 BPN是等腰三角形时，求 AM的长 答案：（ 1） 见 （ 2） y与 x之间的函数关系式为 ，它的定义域是 0 x 4 （ 3） 试题分析：（ 1）过点 M作 MD BC交 AB于点 D，求出 DM=BN，证 MDP NBP即可； （ 2）求出 AB，根据 MDP NBP推出 DP=BP，推出方程 即可； （ 3）求出 BP=BN，所得方程
