1、2015届北京市大兴区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 ,则下列比例式成立的是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）可以直接得到结果 . 故选 A 考点：比例的基本性质 已知抛物线 y=ax2+bx和直线 y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由 的图象知 a 0， b 0，因此 开口向上，对称轴为 x= 0，故 A错误；由 的图象知 a 0， b 0，因此开口向下，对称轴为 x= 0，故 B不正确；由 的图象知 a 0， b 0，因此 开口向下，故 C
2、不正确；由 的图象知 a 0， b 0，因此 开口向上，对称轴为 x= 0，故 D正确 . 故选 D 考点：一次函数与二次函数的图像与性质 已知 :如图 ,点 A， B， C， D的坐标分别是（ 1， 7），（ 1， 1），（ 4， 1），（ 6， 1） .若以 C， D， E（ E在格点上）为顶点的三角形与 ABC相似，则满足条件的点 E的坐标共有 ( ) A 6个 B 5个 C 4个 D 3个 答案： A 试题分析：根据相似三角形的边长的关系可知 CDE与 ABC相似的图形中点E的位置如图所示： 因此这样的点有 6个 . 故选 A 考点：相似三角形 在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把
3、它们分别标号为 ， ， ， ，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析 :根据题意可列树状图为： 因此共有 16种情况，两次摸取的小球的标号的和为 5的情况有 4种，所以所求的概率为 . 故选 B 考点：概率 如图：已知 AB是 O的直径， CD是弦，且 CDAB， BC=6， AC=8，则sinDABD的值是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：根据直径所对的圆周角是直角，可知 ABC是直角三角形，再根据勾股定理求出 AB=10，然后由垂径定理可得 ABD= ABC，从而得到sinDABD=
4、sinDABC= = . 故选 D 考点：圆的有关性质，解直角三角形 如图， AB 是 O 的直径， C、 D 是 O 上两点， CD AB，若 DAB=65，则 AOC等于 ( ) A.25 B.30 C.50 D.65 答案： C 试题分析：根据垂径定理可知 ADC=25，然后根据同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半可求得 AOC=50. 故选 C 考点：垂径定理，圆周角定理 在 ABC中，锐角 A、 B满足 ，则 ABC是 ( ) A.等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D无法确定 答案： C 试题分析：根据非负数的性质可得 ,且 ，因此可变形得 sinA= ，所以 A=45
5、，而 cos（ B-15） = ，所以 B-15=30，即 B=45，因此可知 ABC为等腰直角三角形 . 故选 C 考点：非负数的性质，锐角三角函数 抛物线 的顶点坐标是 ( ) A (1， -2) B (1， 2) C (-1， 2) D (-1， -2) 答案： B 试题分析：根据抛物线的顶点的坐标公式（ ， ），直接代入 a=1，b=-2， c=3可求得顶点的坐标 . 故选 B 考点：抛物线的顶点 填空题 ABC中， DC： DB： DA=1： 2： 3，则三边之比 a： b： c= . 答案： 试题分析：根据三个角的比值和三角形的内角和可知它们分别为 30， 60， 90，因此可根据
6、 30角的直角三角形的边的关系可设 30角所对的边为 x，则斜边为2x，根据勾股定理可知第三边为 x，因此可得 2x： x： x=2： ： 1. 考点：三角形的内角和，勾股定理 点 A（ ， ）、 B（ ， ）在二次函数 的图象上，若 1，则 与 的大小关系是 （用 “ ”、 “ ”、 “=”填空） 答案： 试题分析：根据二次函数可求得其对称轴为 x= =1，由此二次函数的图像的性质知当 x 1时， y随 x的增大而增大，因此 . 考点：二次函数的图像与性质 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB， AC夹角为 120， AB的长为 30cm，贴纸（阴影）部分 BD的长为 20cm，则贴纸
7、部分的面积等于 . 答案： 试题分析：由题意可知 AD=AB-BD=10cm，根据扇形的面积可知阴影部分的面积为大扇形面积 -小扇形面积，因此可由扇形的面积公式 S= 可求，即= = = . 考点：扇形的面积公式 函数 和的图象如图所示设点 P在 的第一象限内的图像上，PC x轴，垂足为 C，交 的图象于点 A， PD y轴，垂足为 D，交的图象于点 B，则三角形 PAB的面积为 答案： .4 试题分析：根据题意可设 P点的横坐标为 x，则 P的坐标为（ x， ）， A为（ x， ），所以 B点的纵坐标为 ，可求得 B点的坐标为（ - x， ），可求得 PA= ， PB= ，因此 . 考点：反
8、比例函数的图像与性质 计算题 计算： 答案： 试题分析：此题主要考查了特殊角的三角函数值得代入求值问题，因此把相应的特殊角的三角函数值代入即可 . 试题：解：原式 = = 考点：特殊角的三角函数 解答题 如图， ABC中， AE交 BC于点 D， C= E， AD： DE=3： 5， AE=8，BD=4，求 DC的长 答案： 试题分析：根据图形可知 ADC与 BDE是一对对顶角，因此 “根据两角对应相等的两三角形相似 ”可证出 ADC BDE，进而根据相似三角形的性质得，然后根据已知的数值可求得 DC的长 . 试题：解： C= E， ADC= BDE， ADC BDE， ， 又 AD： DE=
9、3： 5， AE=8， AD=3， DE=5， BD=4， . DC= . 考点：相似三角形的判定与性质 如图，点 C在以 AB为直径的半圆上， AB=8， CBA=30，点 D在线段AB上从点 A运动到点 B，点 E与点 D关于 AC对称， DF DE于点 D，并交EC的延长线于点 F. （ 1）求证： CE=CF； （ 2）求线段 EF的最小值； （ 3）当点 D从点 A运动到点 B时，线段 EF扫过的面积的大小是 答案：（ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）如图 1，设 AC交于点 DE交于点 G， DF交 BC于 H点，根据点的对称可得 EG=DG，且 ED AC，再根据 DF DE以
10、及 AB为半圆直径可证得四边形 DGCH为矩形，因此可得 CH=DG=EG， CH ED，再根据 ASA证得 EGC CHF，进而得证； （ 2）如图 2，连接 CD，则 CD=CE，由（ 1）知 EF=2CD，因此可判断当线段EF最小时，线段 CD也最小，根据垂直线段最短的性质，当 CD AD时线段CD最小，根据直径对的圆周角是直角可知 ACB=90，再由 AB=8， CBA=30，可求得 AC=4， BC= ，而当 CD AD时， CD= BC=2 ，再根据 EF=2CD= ; （ 3）当点 D从点 A运动到点 B时，如图 3， EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段 EF扫过的面积是 A
11、BC面积的 2倍，结合（ 2）可知 S ABC=AC.BC= ，因此可求阴影部分的面积 . 试题： 解：（ 1）证明：如图 1，设 AC交于点 DE交于点 G， DF交 BC于 H点， 点 E与点 D关于 AC对称 EG=DG，且 ED AC， DF DE， EGC= DGC= EDF=90， AB为半圆直径， ACB=90. 四边形 DGCH为矩形 . CH=DG=EG， CH ED. DE=DFCH， DEGC=DCHF. EGC CHF. EC=FC； 解：如图 2，连接 CD，则 CD=CE. 由（ 1）知， EF=2CD， 当线段 EF最小时，线段 CD也最小， 根据垂直线段最短的性
12、质，当 CD AD时线段 CD最小 AB是半圆 O 的直径， ACB=90， AB=8， CBA=30， AC=4， BC= ， 当 CD AD时， CD= BC= ， 此时 EF=2CD= ， 即 EF的最小值为 ； 解：当点 D从点 A运动到点 B时，如图 3， EF 扫过的图形就是图中的阴影部分，线段 EF 扫过的面积是 ABC 面积的 2倍， 由（ 2）知， AC=4， BC= ， 线段 EF扫过的面积是 . 考点：圆周角的性质，等腰三角形，三角形全等，垂线段的性质 已知 :如图，二次函数 y=a（ x-h） 2+ 的图象经过原点 O（ 0， 0）， A（ 2，0） （ 1）写出该函数
13、图象的对称轴； （ 2）若将线段 OA绕点 O逆时针旋转 60到 OA，试判断点 A是否为该函数图象的顶点？请说明理由 . 答案：（ 1）直线 x=1 （ 2）点 A为抛物线 y=- （ x-1） 2+ 的顶点 试题分析：（ 1）把已知点 O、 A代入函数的式可求出 h的值 h=1，及 a= ，然后根据二次函数的顶点式的特点判断出对称轴； （ 2）由线段 OA绕点 O逆时针旋转 60到 OA，可知 OA=OA=2， AOA=60，如图，作 AB x轴于点 B，根据直角三角形的特点可知 sin60= ， cos60=,因此可求得 AB=OAsin60= = ， OB=OAcos60= =1，所以
14、A点的坐标为（ 1， ），点 A正好是二次函数 y=- （ x-1） 2+ 的顶点 . 试题：解：（ 1） 二次函数 y=a（ x-h） 2+ 的图 象经过原点 O（ 0， 0）， A（ 2， 0） 抛物线的对称轴为直线 x=1； 点 A是该函数图象的顶点理由如下： 如图，作 AB x轴于点 B 线段 OA绕点 O逆时针旋转 60到 OA， OA=OA=2， AOA=60， 在 RtAOB中 , AB=OAsin60= = ， OB=OAcos60= =1. A点的坐标为（ 1， ）， 点 A为抛物线 y=- （ x-1） 2+ 的顶点 考点：二次函数的图像与性质，锐角三角函数 已知：如图 1
15、，在面积为 3的正方形 ABCD中， E、 F分别是 BC和 CD边上的两点， AE BF于点 G，且 BE=1 （ 1）求出 ABE和 BCF重叠部分（即 BEG）的面积； （ 2）现将 ABE绕点 A逆时针方向旋转到 ABE（如图 2），使点 E落在CD边上的点 E处，问 ABE在旋转前后与 BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由 答案：（ 1） （ 2）没有变化 试题分析：（ 1）先根据正方形的面积证出边长，然后根据相似三角形的判定得证 BGE ABE，进而得出相似比和面积比，再根据勾股定理求得 AE 的长，求得 ABE的面积，根据面积的比求出 BGE的面积； 先根据正方形的面积
16、求得边长，再由 BE与 AB的长求得 BAE=30，再根据据旋转变换的 BAE=30，然后根据全等三角形判定 SAS得出Rt ABE RtABE Rt ADE，因此 DAE= BAE= BAE=30，且 AE与 AB在同一直线上，然后根据 ASA得证 BAG HAG，从而得证结果 . 试题：（ 1）解： 正方形面积为 3， AB= 在 BGE与 ABE中， GBE= BAE， EGB= EBA=90， BGE ABE 又 BE=1， AE2=AB2+BE2=3+1=4 解：没有变化。理由如下： AB= ， BE=1， BAE=30 AB=AD， ABE= ADE=90， AE= AE， Rt
17、ABE RtABE Rt ADE， DAE= BAE= BAE=30 AB与 AE在同一直线上，即 BF与 AB的交点是 G 设 BF与 AE的交点为 H， 则 BAG= HAG=30，而 AGB= AGH=90， AG= AG， BAG HAG。 ABE在旋转前后与 BCF重叠部分的面积没有变化 考点 ：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积 已知：如图，二次函数 的顶点坐标为（ 0,2），矩形 ABCD的顶点 B、 C在 x轴上，矩形 ABCD在抛物线与 x轴所围成的图形内 . （ 1）求二次函数的表达式； （ 2）设点 A的坐标为（ x， y）（ x0,y0)，试求
18、矩形 ABCD的周长 P关于自变量 x的函数表达式，并求出自变量 x的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） P=2( )+ ， 0x2 试题分析：（ 1）直接把顶点坐标代入函数的式即可求得 m的值，从而得到函数的式； （ 2）由 A点在函数的图像上，可设坐标为（ x， ），根据矩形的周长公式可求 P关于 x的函数关系式，然后令 y=0，则有 =0，因此可求x=2，得到二次函数与 x轴的交点，从而判断出 x的取值范围 . 试题：解：（ 1） 抛物线的顶点坐标为（ 0,4m） . 4m=2，即 . 二次函数的表达式为 点 A在抛物线上， . 矩形 ABCD的周长 P=2( )+ . 令 y=0，
19、则 =0， . 抛物线与 x轴的两个交点是（ -2,0），（ 2,0） 关于 x的函数 P的自变量的取值范围 0x2. 考点：二次函数的图像与性质，矩 形的周长 已知：如图，在四边形 ABCD中， AB=AD=8， A=60， D=150,四边形的周长为 32，求 BC和 DC的长 . 答案： 试题分析：连接 BD，根据等边三角形的判定得到 ABD是等边三角形，相应可求得 ADB=60，然后根据等量代换可得 CDB=90，即 BDC是直角三角形，再根据四边形的周长求得 BC+CD=16，设 CD=x，相应可知 BC=16-x，然后根据勾股定理可求得 BC的长 . 试题：解：连接 BD AB=A
20、D， A=60， ABD是等边三角形 . ADB=60. ADC=150, CDB=90 AD=8,四边形的周长为 32， BC+CD=16 设 CD=x则 BC=16-x. 根据勾股定理 解得 x=6 CD=6. BC=10 考点：等边三角形，直角三角形的判定，勾股定理 抛物线 y= 与 y轴交于（ 0,3）点 . （ 1）求出 m的值并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线； （ 2）根据图像回答下列问题： 方程 的根是多少？ x取什么值时， ？ 答案：（ 1） m=3 （ 2） 试题分析：（ 1）把已知点代入函数的式 可求 m的值，然后根据式 可列表，描点，连线，完成画图； （ 2） 根据图
21、像中与 x轴的交点可以直接写出方程的解； 再根据图像可直接找到 y 0的所有的 x的取值范围 . 试题：（ 1） 与 y轴交于点（ 0,3） 抛物线的表达式为： . 顶点（ 1,4）， 列表： x -1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 描点、连线可得如图所示抛物线 . （ 2） 由图象可知，抛物线与 x轴交点为（ -1,0），（ 3,0）， 方程 的解为 . 由图象可知， 考点：二次函数的图像与性质 已知：如图，以 ABC的一边 BC为直径的 O分别交 AB、 AC于 D、 E两点 . （ 1）当 ABC为等边三角形时，则图 1中 ODE的形状是 ； （ 2）若 DA=60， ABAC
22、（如图 2），则（ 1）的结论是否还成立？请说明理由 . 答案：（ 1） ODE为等边三角形（ 2）成立 试题分析：（ 1）根据等边三角形的性质知 DB=DC=60，再结合同圆的半径相等，可知 OB=OC=OD=OE，进而知 OBD, OEC均为等边三角形，所以DBOD=DCOE=60，再由平角的定义知 DDOE=60，因此得证； （ 2）连接 CD，由 BC为 O直径，可根据直径所对 的圆周角是直角，可得CD AB，所以可求得 ACD=30，再根据同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半的性质可求得 DOE=60，再由半径相等得证结论成立 . 试题：解： ODE为等边三角形 证明： ABC为
23、等边三角形， DB=DC=60. OB=OC=OD=OE, OBD, OEC均为等边三角形 . DBOD=DCOE=60. DDOE=60. OD=OE, ODE为等边三角形 . （ 2）答：成立 证明：如图：连接 CD BC为 O直径 , DBDC=90, DADC=90. DA=60, DACD=30 DDOE=60. OD=OE, DOE为等边三角形 . 考点：等边三角形，圆周角的性质定理 将表示下列事件发生的概率的字母标在下图中： （ 1）投掷一枚骰子，掷出 7点的概率 ； （ 2）在数学测验中做一道四个选项的选择题（单选题），由于不知道那个是正确选项，现任选一个，做对的概率 ； （
24、3）袋子中有两个红球，一个黄球，从袋子中任取一球是红球的概率 ； （ 4）太阳每天东升西落 ； （ 5）在 1-100之间，随机抽出一个整数是偶数的概率 . 答案： 试题分析：（ 1）根据骰子没有 7 点，所以这种情况不可能发生，可知概率为 0； （ 2）选择题的答案：是 4选 1，因此其概率为 ； （ 3）袋子中摸到红球的概率为 ； （ 4）太阳的东升西落是必然事件，因此其概率为 1； （ 5）由 1-100之间有 50个偶数可知随机抽取一个数为偶数的概率为 . 试题： 考点：概率 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD的高度，他们先在点 A处测得树顶 C的仰角为 30，然后沿 AD方向前行
25、 10m，到达 B点，在 B处测得树顶 C的仰角高度为 60（ A、 B、 D三点在同一直线上）。请你根据他们 测量数据计算这棵树 CD的高度。（结果保留根号） 答案： 试题分析：根据三角形的外角的性质可求得 ACB=30，进而得到BC=AB=10m，然后根据直角三角形的锐角三角函数求得 CD的长，或根据 30角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可求 . 试题：解： CBD= A+ ACB， ACB= CBD- A=60-30=30， A= ACB， BC=AB=10（米） 在直角 BCD中， CD=BC sin CBD= （米） 答：这棵树 CD的高度为 米 考点：解直角三角形（锐角三角函
26、数） 已知：如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A（ 1， 6）， B（ ， 2）两点 （ 1）求一次函数与反比例函数的表达式； （ 2）直接写出 时 的取值范围 答案：（ 1） ， （ 2） 1 3 试题分析：（ 1）根据点 A（ 1， 6）在 上，可求得 m，让后把 B（ a， 2）代入反比例函数的式可求得 a，然后把 A、 B两点代入 ，可求得 k， x，从而求得式； （ 2）根据两函数的图像和 A、 B两点的坐标可直接判断出 的 x的取值范围 . 试题：解：（ 1） 点 A（ 1， 6）， B（ ， 2）在 的图象上， ， ， 点 A（ 1， 6）， B（ 3， 2）在函数
27、 的图象上， 解这个方程组，得 一次函数的式为 ，反比例函数的式为 （ 2） 1 3 考点：待定系数法，一次函数与反比例函数的图像与性质 如图，在平面直角坐标系中，以点 C（ 1， 1）为圆心， 2为半径作圆，交轴 于 两点，点 在 上 （ 1）求出 两点的坐标； （ 2）试确定经过 A、 B且以点 P为顶点的抛物线式； （ 3）在该抛物线上是否存在一点 ，使线段 与 互相平分？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ， （ 2） 或（ 3）存在 使线段 与 互相平分 试题分析：（ 1）作 轴， 为垂足，连接 CB，根据 C点的坐标及圆的半径可求得 HB= ，从而根据坐标
28、的特点求出 A、 B的坐标； （ 2）根据圆的对称性（垂径定理）和抛物线的对称性可求得 P 点的坐标（ 1,3）（ 1， -1），分别设出顶点式 ，然后代入 A、 B点的坐标即可求得式； （ 3）根据题意假设存在 D点，则由题意知四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质得 PC=OD，且 PC OD，又由图形可知 PC y轴，判断出 D在 y轴上，因此可由 PC=2可求得 OD=2，因此可得 D点的坐标，代入二次函数的式可判断存在这样的点 D（ 0,2） . 试题：解：（ 1）作 轴， 为垂足，连接 CB. ，半径 ， 故 ， （ 2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点 的坐标为 或（ 1， ）， 设抛物线表达式 ， 把点 代入上式，解得 设抛物线式 , 把点 代入上式，解得 a= , （ 3）假设存在点 使线段 与 互相平分， 则四边形 是平行四边形 且 轴， 点 在 轴上 又 ， ， 即 或（ 0， -2） （ 0， 2）满足 ， （ 0， -2）不满足 , 点 （ 0， 2）在抛物线上 所以存在 使线段 与 互相平分 考点：待定系数法，二次函数的图像与性质，平行四边形的性质
