1、2015届北京市东城区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 ，则锐角 A的度数是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， A=30故选 A 考点：特殊角的三角函数值 如图，将边长为 4的正方形 ABCD的一边 BC与直角边分别是 2和 4的Rt GEF的一边 GF重合正方形 ABCD以每秒 1个单位长度的速度沿 GE向右匀速运动，当点 A和点 E重合时正方形停止运动设正方形的运动时间为 t秒，正方形 ABCD 与 Rt GEF重叠部分面积为 s，则 s关于 t的函数图象为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：当 0t2 时，如图， BG=t， BE=2-
2、t， PB GF， EBP EGF， ，即 ， PB=4-2t， S= （ PB+FG） GB= ； 当 2 t4时， S= FG GE=4； 当 4 t6时，如图， GA=t-4， AE=6-t， PA GF， EAP EGF， ，即 ， PA=2（ 6-t）， S= PA AE=， 综上所述，当 0t2时， s关于 t的函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2 t4时， s关于 t的函数图象为平行于 x轴的一条线段；当 4 t6时， s关于t的函数图象为开口向上的抛物线的一部分 故选 B 考点：动点问题的函数图象 已知二次函数 （ a， b， c 是常数，且 ）的图象如图所示，则一次函数
3、与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线 ， b 0， 抛物线与 y轴的交点在 x轴下方， c 0， 一次函数 的图象过第一、三、四象限，反比例函数 分布在第二、四象限 故选 A 考点： 1 二次函数的图象； 2一次函数的图象； 3反比例函数的图象 如图，在平行四边形 ABCD中，点 E是边 AD的中点，连接 EC交对角线BD于点 F，则 等于 （ ） A 1： 2 B 1： 4 C 1： 9 D 4： 9 答案： B 试题分析： ABCD，故 AD BC， DEF BCF， ， 点 E是边 AD的中点，
4、 AE=DE= AD， =1： 4故选 B 考点： 1平行四边形的性质； 2相似三角形的判定与性质 如图，线段 AB是 O的直径，弦 CDAAB， CAB=20，则 AOD等于（ ） A 120 B 140 C 150 D 160 答案： B 试题分析： 线段 AB是 O的直径，弦 CDAAB， ， CAB=20， BOD=40， AOD=140故选 B 考点： 1圆周角定理； 2垂径定理 将二次函数 的图象向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意，得平移后抛物线顶点坐标为（ -1， -2），又平移不改变二次项系数，
5、 得到的二次函数式为 故选 C 考点：二次函数图象与几何变换 以下事件为必然事件的是（ ） A掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是 0 B多边形的内角和是 C二次函数的图象必过原点 D半径为 2的圆的周长是 答案： D 试题分析： A是不可能事件； B是随机事件； C是随机事件； D是必然事件故选 D 考点：随机事件 下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： A不是中心对称图形，故此选项不合题意； B是中心对称图形，故此选项符合题意； C不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选 B 考点：中心对称图形 填空
6、题 已知反比例函数 （ k是常数，且 ）的图象在第二、四象限，请写出一个符合条件的反比例函数表达式 答案： （答案：不唯一） 试题分析： 反比例函数的图象在二，四象限， k 0，只要是小于 0的所有实数都可以例如： -1故答案：为： 考点： 1反比例函数的性质； 2开放型 如图，把 ABC绕点 C按顺时针方向旋转 35，得到 ， 交AC于点 D，若 =90，则 A= 度 答案： 试题分析： 把 ABC绕点 C按顺时针方向旋转 35，得到 ABC， AB交AC于点 D， ADC=90， ACA=35，则 A=90-35=55，则 A= A=55故答案：为： 55 考点：旋转的性质 如图，反比例函
7、数 在第一象限的图象上有两点 ， ，它们的横坐标分别是 2， 6，则 的面积是 答案： 试题分析：作 AD x轴于 D， BE x轴于 E，如图，当 x=2时， y=3，当 x=6时， y=1， A(2， 3)， B（ 6， 1）， ，而， = 故答案：为： 8 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 如图，在平面直角坐标系中，将 ABO绕点 A顺时针旋转到 AB1C1的位置，点 B， O分别落在点 B1， C1处，点 B1在 x轴上，再将 AB1C1绕点 B1顺时针旋转到 A1B1C2的位置，点 C2在 x轴上，将 A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到 A2B2C2的位置，点 A2在 x轴上，依
8、次进行下去 若点 A（ ， 0）， B（ 0，4），则点 B4的坐标为 ，点 B2014的坐标为 答案：（ 20， 4），（ 10070， 4） 试题分析：由题意可得： AO= ， BO=4， AB= ， OA+AB1+B1C2= +4=6+4=10， B2的横坐标为： 10， B4的横坐标为： 210=20， B4的纵坐标为： 4， 点 B2014 的横坐标为： 10=10070， B2014 的纵坐标为： 4故答案：为：（ 20， 4），（ 10070， 4） 考点： 1点的坐标； 2坐标与图形变化 -旋转； 3规律型 计算题 计算： 答案： 试题分析：原式 = = 考点：实数的运算 解答
9、题 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，顶点叫做格点 ABC的三个顶点 A， B， C都在格点上将 ABC绕点 A按顺时针方向旋转 90得到ABC （ 1）在正方形网格中，画出 ABC； （ 2）计算线段 AB在变换到 AB的过程中扫过的区域的面积 答案：（ 1）见；（ 2） 试题分析：（ 1）根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案：； （ 2）利用勾股定理得出 AB=5，再利用扇形面积公式求出即可 试题：（ 1）如图所示： ABC即为所求； （ 2） AB= =5， 线段 AB在变换到 AB的过程中扫过区域的面积为： 考点： 1作图 -旋转变换； 2扇形面积的计算； 3作
10、图题 在四边形 ABCD中 ，对角线 AC、 BD相交于点 O，将 COD绕点 O按逆时针方向旋转得到 C1OD1，旋转角为 （ 0 90），连接 AC1、 BD1， AC1与 BD1交于点 P （ 1）如图 1，若四边形 ABCD是正方形 求证： AOC1 BOD1 请直接写出 AC1与 BD1的位置关系 （ 2）如图 2，若四边形 ABCD是菱形， AC=5， BD=7，设 AC1=kBD1判断AC1与 BD1的位置关系，说明理由，并求出 k的值 （ 3）如图 3，若四边形 ABCD是平行四边形， AC=5， BD=10，连接 DD1，设AC1=kBD1请直接写出 k的值和 的值 答案：（
11、 1） 证明见试题； 垂直；（ 2） AC1 BD1， ；（ 3） 25 试题分析：（ 1） 如图 1，根据正方形的性质得 OC=OA=OD=OB， AC BD，则 AOB= COD=90，再根据旋转的性质得 OC1=OC， OD1=OD， COC1= DOD1，则 OC1=OD1，利用等角的补角相等得 AOC1= BOD1，然后根据 “SAS”可证明 AOC1 BOD1； 由 AOB=90，则 OAB+ ABP+ OBD1=90，所以 OAB+ ABP+ OAC1=90，则 APB=90所以 AC1 BD1； （ 2）如图 2，根据菱形的性质得 OC=OA= AC， OD=OB= BD， A
12、C BD，则 AOB= COD=90，再根据旋转的性质得 OC1=OC， OD1=OD， COC1= DOD1，则 OC1=OA， OD1=OB，利用等角的补角相等得 AOC1= BOD1，加上 ，根据相似三角形的判定方法得到 AOC1 BOD1，得到 OAC1= OBD1，由 AOB=90得 OAB+ ABP+ OBD1=90，则 OAB+ ABP+ OAC1=90，则 APB=90，所以 AC1 BD1；然后根据相似比得到 ，所以 ； （ 3）与（ 2）一样可证明 AOC1 BOD1，则 ，所以；根据旋转的性质得 OD1=OD，根据平行四边形的性质得 OD=OB，则OD1=OB=OD，于是
13、可判断 BDD1为直角三角形，根据勾股定理得，所以 ，于是有 试题：（ 1） 如图 1， 四边形 ABCD是正方形， OC=OA=OD=OB，AC BD， AOB= COD=90， COD绕点 O按逆时针方向旋转得到 C1OD1， OC1=OC， OD1=OD， COC1= DOD1， OC1=OD1， AOC1= BOD1=90+ AOD1，在 AOC1和 BOD1中， OA=OB， ， AOC1 BOD1； AC1 BD1； （ 2） AC1 BD1理由如下：如图 2， 四边形 ABCD是菱形， OC=OA=AC， OD=OB= BD， AC BD， AOB= COD=90， COD绕点
14、O按逆时针方向旋转得到 C1OD1， OC1=OC， OD1=OD， COC1= DOD1， OC1=OA， OD1=OB， AOC1= BOD1， ， AOC1 BOD1， OAC1= OBD1，又 AOB=90， OAB+ ABP+ OBD1=90， OAB+ ABP+ OAC1=90， APB=90， AC1 BD1； AOC1 BOD1， ， ； （ 3）如图 3，与（ 2）一样可证明 AOC1 BOD1， ， ； COD绕点 O按逆时针方向旋转得到 C1OD1， OD1=OD，而OD=OB， OD1=OB=OD， BDD1为直角三角形，在 Rt BDD1中， ， 考点： 1四边形综合
15、题； 2全等三角形的判定与性质； 3旋转的性质；4相似三角形的判定与性质 已知二次函数 （ 为常数，且 ）的图象过点 A（ 0， 1），B（ 1， -2）和点 C（ -1， 6） （ 1）求二次函数表达式； （ 2）若 ，比较 与 的大小； （ 3）将抛物线 平移，平移后图象的顶点为 ，若平移后的抛物线与直线 有且只有一个公共点，请用含 的代数式表示 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）把 A、 B、 C的坐标代入二次函数，即可求得结论； （ 2）利用开口向上时，在对称轴右边，二次函数的值随 x增大而增大可得结论； （ 3）由（ 1）知， 设平移后的抛物线的表达式为 ，由
16、直线与抛物线有且只有一个公共点，得方程 有两个相等的实数根，整理即可得出 h， k的关系式 试题：（ 1） 抛物线过点 ， ， ， ， ， ； （ 2） 当 时， 随 的增大而增大， 当 时，即 ； （ 3） 由（ 1）知， 设平移后的抛物线的表达式为 ， 直线与抛物线有且只有一个公共点， 方程 有两个相等的实数根，整理得： ， ， 考点：二次函数综合题 （ 1）如图 1，在四边形 ABCD中， AB AD， BAD 120， B ADC 90， EF 分别是 BC， CD 上的点，且 EAF 60，探究图中线段 BE，EF， FD之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是延长 FD到点 G，
17、使 DG BE，连结 AG，先证明 ABE ADG，再证明 AEF AGF，可得出结论，他的结论应是 ； 探索延伸： （ 2）如图 2，若在四边形 ABCD中， AB AD， B D 180， E， F分别是 BC， CD上的点，且 EAF BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由 答案：（ 1） EF=BE+DF；（ 2）成立，理由见试题 试题分析：（ 1）延长 FD到点 G使 DG=BE连结 AG，即可证明 ABE ADG， 可得 AE=AG，再证明 AEF AGF，可得 EF=FG，即可得出结论； （ 2）延长 FD到点 G使 DG=BE连结 AG，即可证明 ABE ADG，可得AE=A
18、G，再证明 AEF AGF，可得 EF=FG，即可得出结论 试题：（ 1） EF=BE+DF，证明如下： 在 ABE和 ADG中， DG=BE， B= ADG， AB=AD， ABE ADG（ SAS）， AE=AG， BAE= DAG， EAF= BAD， GAF= DAG+ DAF= BAE+ DAF= BAD- EAF= EAF， EAF= GAF，在 AEF和 GAF中， AE=AG， EAF= GAF，AF=AF， AEF AGF（ SAS）， EF=FG， FG=DG+DF=BE+DF， EF=BE+DF，故答案：为： EF=BE+DF； （ 2）结论 EF=BE+DF仍然成立；
19、理由：延长 FD到点 G使 DG=BE连结 AG， 在 ABE和 ADG中， DG=BE， B= ADG， AB=AD， ABE ADG（ SAS）， AE=AG， BAE= DAG， EAF= BAD， GAF= DAG+ DAF= BAE+ DAF= BAD- EAF= EAF， EAF= GAF，在 AEF和 GAF中， AE=AG， EAF= GAF，AF=AF， AEF AGF（ SAS）， EF=FG， FG=DG+DF=BE+DF， EF=BE+DF 考点：全等三角形的判定与性质 如图，在 ABC中， ABC=90，以 AB为直径的 O与边 AC交于点 D，过点 D的直线交 BC
20、边于点 E， BDE= A （ 1）证明： DE是 O的切线； （ 2）若 O的半径 R=5， tanA= ，求线段 CD的长 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） （ 1） 连接 OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出 OD DE，进而得出答案：； （ 2）得出 BCD ACB，进而利用相似三角形的性质得出 CD的长 试题：（ 1）连接 OD OA=OD， ODA= A，又 BDE= A， ODA= BDE， AB 是 O 直径， ADB=90，即 ODA+ ODB=90， BDE+ ODB=90， ODE=90， OD DE， DE与 O相切； （ 2） R=5， AB=10，在 Rt
21、 ABC中， tanA= ， BC= ABtanA=10 = ， AC= ， BDC= ABC=90， BCD= ACB， BCD ACB， ， 考点： 1切线的判定； 2勾股定理； 3相似三角形的判定与性质 国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为 “高华峰 ”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航如下图，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为 2001米，在点 A处测得高华峰顶 F点的俯角为 30，保持方向不变又前进 1200米到达点 B处测得 F点的俯角为 45请据此计算高华峰的海拔高度（结果保留整数，参考数值： 1 732） 答案： 设 CF=x，在 Rt ACF和 Rt BCF中，分别用 CF表示
22、AC、 BC的长度，然后根据 AC-BC=1200，求得 x的值，用 h-x即可求得最高海拔 试题：设 CF=x，在 Rt ACF和 Rt BCF中， BAF=30， CBF=45， BC=CF=x， =tan30，即 AC= ， AC-BC=1200米， ，解得： ， 则 DF=h-x= 362（米） 答：钓鱼岛的最高海拔高度约 362米 考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 为了提高学生书写汉字的能力，某市举办了 “汉字听写大赛 ”为了决定谁将获得仅有的一张观赛券，小王和小李设计了如下的一个规则：不透明的甲袋中有编号分别为 1， 2， 3的乒乓球三个，不透明的乙袋中有编号分别为 4，
23、5的乒乓球两个，五个球除了编号不同外，其他均相同小王和小李分别从甲、乙两个袋子中随机地各摸出一个球，若所摸出的两个球上的数字之和为奇数，则小王去；若两个球上的数字之和为偶数，则小李去试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？ 答案：公平 试题分析：首先根据题意列出表格或画出树状图，然后求得所 有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得和为奇数的概率，和为偶数的概率，比较后即可得到这个规则是公平的 试题：列表如下 P（两个球上的数字之和为奇数） = = ， P（两个球上的数字之和为偶数）= = ， 这个规则公平 考点： 1游戏公平性； 2列表法与树状图法 如图， AB为 O的直径，
24、与弦 CD相交于点 E，且 AC=2， AE= ，CE=1求 的长度 答案： 试题分析：连接 OC，先根据勾股定理判断出 ACE的形状，再由垂径定理得出 CE=DE，故 = ，由锐角三角函数的定义求出 A的度数，故可得出 BOC的度数，求出 OC的长，再根据弧长公式即可得出结论 试题：连接 OC， ACE中， AC=2， AE= ， CE=1， ， ACE是直角三角形，即 AE CD ， A=30， COE=60， sin COE= ，即 ，解得： OC= ， AE CD， = ， 的长度 l= = 考点： 1垂径定理； 2勾股定理； 3勾股定理的逆定理； 4弧长的计算 如图，在 ABC中，
25、AB=AC=8， BC=6，点 D为 BC上一点， BD=2过点D作射线 DE交 AC于点 E，使 ADE= B 求线段 EC的长度 答案： 试题分析：根据等边对等角可得 B= C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ADE+ CDE= B+ BAD，然后求出 BAD= CDE，再利用两组角对应相等的三角形相似证明 ABD DCE，根据相似三角形对应边成比例可得 ，然后代入数据整理即可得解 试题： AB=AC， B= C，又 ADE+ CDE= B+ BAD， BAD= CDE， ABD DCE， ， ， EC=1 考点：相似三角形的判定与性质 如图， AB是半圆 O的直径
26、，点 P（不与点 A， B重合）为半圆上一点将图形沿 BP折叠，分别得到点 A， O的对称点 ， 设 ABP = （ 1）当 =10时， ； （ 2）当点 落在 上时，求出 的度数 答案：（ 1） 20；（ 2） 30 试题分析：（ 1）由翻折的性质可知： ABP= ABP=10，由此可得 的度数； （ 2）若点 落在 上，连接 OO，则 BOO是等边三角形，由此可得到 的度数 试题：（ 1）当 =10时， 20 ； （ 2）若点 落在 上，连接 OO，则 OO=OB，又 点 关于直线 对称， ， BOO是等边三角形 OBO=60 = OBO=30 考点：翻折变换 已知二次函数 （ 1）将 化
27、成 的形式； （ 2）当 时， 的最小值是 ，最大值是 ； （ 3）当 时，写出 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 1， 8；（ 3） （ 1）利用配方法把一般式转化为顶点式； （ 2）利用对称轴在给出的范围内，分别计算当 x=0， x=3， x=4时，对应的 y的值，然后比较大小即可； （ 3）画出函数的图象，根据图象可得结论 试题：（ 1） = ； （ 2）令 x=0，得 y=8，令 x=4，得 y=0，当 x=3，得 y= 1， 抛物线开口向上， 的最小值是 1，最大值是 8； （ 3）由图象可知，当 时， 考点： 1二次函数的性质； 2二次函数的图象； 3二次函数的三种形式 如图
28、，已知抛物线 与 x轴的一个交点为 A（ -1， 0），另一个交点为 B，与 y轴的交点为 C（ 0， -3），其顶点为 D，对称轴为直线 （ 1）求抛物线的式； （ 2）已知点 M为 y轴上的一个动点，当 ACM是以 AC为一腰的等腰三角形时，求点 M的坐标； （ 3）将 OBC沿 x轴向右平移 m个单位长度（ 0 m 3）得到另一个三角形 EFG，将 EFG与 BCD重叠部分的面积记为 S，用含 m的代数式表示 S 答案：（ 1） ；（ 2） M的坐标为 ， ，；（ 3） 试题分析：（ 1）抛物线与 x 轴的一个交点为 A（ -1， 0），对称轴为直线 ，得到抛物线与 x轴的另一个交点为
29、B（ 3， 0），把 A、 B、 C的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的式； （ 2） 当 AC=AM时 C、 M关于 x轴对称，得到 M ； 当 AC=CM时， AC= ，以 C为圆心， AC为半径作圆与 y轴有两个交点，为 M 或 M ； （ 3）分别求出直线 BC、 BD的式，分两段计算重叠的面积： ， 试题：（ 1）由题意可知，抛物线 与 x轴的另一个交点为 B（ 3，0）， 则， ，解得 ，故抛物线的式为： ； （ 2） 当 AC=AM时 C、 M关于 x轴对称，得到 M ； 当 AC=CM时， AC= ，以 C为圆心， AC为半径作圆与 y轴有两个交点，为 M 或 M ； 所以，点
30、M的坐标为 ， ， ； （ 3）记平移后的三角形为 EFG设直线 BC 的式为 y=kx+b，则： ，解得： ，则直线 BC的式为 ， OBC沿 x轴向右平移 m个单位长度（ 0 m 3）得到 EFG，易得直线 FG的式为 设直线 BD的式为 y=kx+b，则： ，解得 ， 则直线 BD的式为 ，连结 CG，直线 CG交 BD于 H，则 H（ ， -3） 在 OBC沿 x轴向右平移的过程中， 当 时，如图 1所示 设 EG交 BC于点 P， GF交 BD于点 Q，则 CG=BF=m， BE=PE=3-m，联立，解得 ，即点 Q（ 3-m， -2m）， = = 当 时，如图 2所示 设 EG交 BC于点 P，交 BD于点 N，则 OE=m， BE=PE=3-m，又因为直线 BD的式为 ，所以当 x=m时，得 y=2m-6，所以点 N（ m， 2m-6） = = = ， 综上所述， 考点：二次函数综合题
