1、 2012 年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理） 一、填空题（ 56 分）： 1计算： ii13 （ i 为虚数单位）。 2若集合 012| xxA ， 2|1| xxB ，则 BA 。 3函数 1sin c os2)( x xxf 的值域是 。 4若 )1,2(n 是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函 数值表示）。 5在 6)2( xx 的二项展开式中，常数项等于 。 6有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 21 为公比的等比数列，体积分别记为 ， nVVV 21 ，则 )(lim 21 nn VVV 。 7已知函数 |)( axexf （ a
2、 为常数）。若 )(xf 在区间 ),1 上是增函数，则 a 的取值范围 是 。 8若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥 的体积为 。 9 已 知 2)( xxfy 是 奇 函 数 ， 且 1)1( f ，若 2)()( xfxg ，则 )1(g 。 10如图，在极坐标系中，过点 )0,2(M 的直线 l 与极轴的夹角 6 ， 若将 l 的极坐标方程写成 )( f 的形式，则 )(f 。 11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。 12在平行四边形 ABCD 中， 3A ，边 AB
3、 、 AD 的长分别为 2、 1，若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点，且满足 | | | CDCNBCBM ， 则 ANAM 的取值范围是 。 13已知函数 )(xfy 的图象是折线段 ABC，其中 )0,0(A 、 )5,21(B 、 )0,1(C ， 函数 )(xxfy （ 10 x ）的图象与 x 轴围成的图形的面积 为 。 14如图， AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱， 2BC ，若 cAD2 ， 且 aCDACBDAB 2 ，其中 a 、 c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最 大值是 。 二、选择题（ 20 分）： 15若 i21 是关于 x 的
4、实系数方程 02 cbxx 的一个复数根，则（ ） A 3,2 cb B 3,2 cb C 1,2 cb D 1,2 cb 16在 ABC 中，若 CBA 222 s ins ins in ，则 ABC 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 17设 44321 1010 xxxx ， 55 10 x ，随机变量 1 取值 54321 xxxxx 、 的概 率均为 2.0 ，随机变量 2 取值 22222 1554433221 xxxxxxxxxx 、 的概率也均为 2.0 ，若记 21 DD 、 分别为 21 、 的方差，则（ ） A 21 DD B 21 DD
5、 C 21 DD D 1D 与 2D 的大小关系与 4321 xxxx 、 的取值有关 18设 25sin1 nna n ， nn aaaS 21 ，在 10021 , SSS 中，正数的个数是（ ） A 25 B 50 C 75 D 100 三、解答题 （ 74 分） ： 19（ 6+6=12 分）如图，在四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 是矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 2AB ， 22AD ， 2PA ，求： （ 1）三角形 PCD 的面积； （ 2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小。 20（ 6+8=14 分）已知函数 )1lg()( xxf
6、 （ 1）若 1)()21(0 xfxf ，求 x 的取值范围； （ 2）若 )(xg 是以 2 为周期的偶函数，且当 10 x 时，有 )()( xfxg ，求函数 )(xgy （ 2,1x ）的反函数。 21（ 6+8=14 分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方 向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方 向 12 海里 A 处，如图现假设： 失事船的移动路径可视为抛物线 24912xy ； 定位后救 援船即刻沿 直线匀速前往救援；救援船出发 t 小时后， 失事船所在位置的横坐标为 t7 （ 1）当 5.0t
7、 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向； （ 2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 22（ 4+6+6=16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 1C ： 12 22 yx （ 1）过 1C 的左顶点引 1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐 进线及 x 轴围成的三 角形的面积； （ 2）设斜率为 1 的直线 l 交 1C 于 P 、 Q 两点，若 l 与圆 122 yx 相切，求证： OQOP ； （ 3）设椭圆 2C ： 14 22 yx ，若 M 、 N 分别是 1C 、 2C 上的动点，且 ONOM ，求 证： O 到直线 MN 的距离是定值。 23（ 4+6+8=18 分）对于数集 1 21 nxxxX ， ，其中 nxxx 210 ， 2n ， 定义 向量集 ,),(| XtXstsaaY ，若 对任意 Ya1 ， 存在 Ya2 ，使 得 021 aa ，则称 X 具有性质 P 例如 2,1,1 具有性质 P （ 1）若 2x ，且 ,2,1,1 x 具有性质 P ，求 x 的值； （ 2）若 X 具有性质 P ，求证： X1 ，且当 1nx 时， 11x ； （ 3）若 X 具有性质 P ，且 11x 、 qx2 （ q 为常数），求有穷数列 nxxx ， 21 的通项 公式。
