1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 文科数学 一 选择题：在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的（本大题 共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设 ,ab是向量，命题“若 ab ，则 a= b”的逆命题是【D】 （A）若 ab ，则 a b （B）若 ab= ，则 a b （C）若 a b，则 a b （D）若 a= b，则 a= -b 2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为 2x = ，则抛物线的方程是 【C】 （A） 2 8y x= （B） 2 8y x= (C) 2 4y x= (D) 2 4y x= 3.设 0 ab，则下列不等式中正确的是 【B】 （A
2、） 2 ab ab ab （B） 2 ab aab b + （c） 2 ab aabb + (D) 2 ab ab a b + 4. 函数 1 3 yx= 的图像是 【B】 5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是【A】 (A) 2 8 3 (B)8 3 (C)8-2 (D) 2 3 6.方程 cosx x= 在 ( ),+内【C】 (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D）有无穷多个根 7.如右框图，当 12 6, 9,xx= = 8.5p = 时， 3 x 等于 【B】 (A) 7 (B) 8 (C)10 （D）11 8.设集合M=y| 2 cos x 2 si
3、n x|,xR, N=x|x 1 i |0, 则 f(f(-2)=_. 10 x ,x 0， 12. 如图，点（ x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动， 那么 2x-y 的最小值为 _. 13. 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为 _. 14. 设 n N ,一元二次方程 2 40 x xn 有整数根的充要 条件是 n=_. 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多 做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）若不等式 12x xa+ + 对任意 x R 恒成立，则 a 的取值范
4、围是 _。 B.（几何证明选做题）如图， 0 ,9B D AE BC ACD= = 且 AB=6， AC+4， AD+12，则 AE=_. C. （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 xoy 中， 以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建极坐标系， 设点 A,B 分别在曲线 1 3cos : sin x C y =+ = （ 为参数）和曲线 2 :1C = 上，则 AB 的最小值为 _. 三解答题：接答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） P. （本小题满分 12 分） 如图，在ABC 中，ABC=45，BAC=90，AD 高，沿 AD 把是 BC 上的ABD
5、 折起，使BDC=90。 （）证明：平面 平面； （ ）设BD=1，求三棱锥D的表面积。 解（）折起前是边上的高， 当 折起后，AD，AD， 又DB ， 平面， AD 平面 平面BDC. （）由（）知，DA DB ,DB DC ,DC DA , QDB=DA=DC=1， AB=BC=CA= 2 , 11 11 , 22 DAM DBC DCA SSS= nullnullnull 13 22sin60 ABC S = = null 表面积： 1333 3. 222 S + =+ = 17.（本小题满分12分） 设椭圆C: () 22 22 10 xy ab ab + =过点（0，4） ，离心率为
6、 3 5 （）求C的方程； （）求过点（3，0）且斜率为 4 5 的直线被C所截线段的中点坐标 解（）将（0，4）代入C的方程得 2 16 1 b = b=4 又 3 5 c e a = 得 22 2 9 25 ab a = 即 2 16 9 1 25a =， a=5 C的方程为 22 1 25 16 xy += （ ）过点 ()3, 0 且斜率为 4 5 的直线方程为 () 4 3 5 yx= ， 设直线与的交点为 () 11 ,x y ， ( ) 22 ,x y ， 将直线方程 () 4 3 5 yx= 代入的方程，得 () 2 2 3 1 25 25 x x +=， 即 2 380 xx
7、=，解得 1 341 2 x = ， 2 341 2 x + = ， AB的中点坐标 12 3 22 xx x + =， () 12 12 26 6 25 5 yy yxx + =+=， 即中点为 36 , 25 。 注： 用韦达定理正确求得结果，同样给分。 18.（本小题满分 12 分） 叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦之积的两倍。或：在 ABC 中， a， b， c 为 A， B， C 的对边，有 222 2cosabc bc A=+ ， 222 2cosbca ca B=+ ， 222 2coscab abC=+ .
8、 证法一 如图， 2 cBC= uuur ()() AC AB AC AB= uuur uuur uuur uuur 22 2ACACABAB=+ uuur uuur uuur uuur 2cosACACABAAB= + uuur uuur uuur uuur 22 2cosbbcAc= + 即 222 2cosabc bc A=+ 同理可证 222 2cosbca ca B=+ ， 222 2coscab abC=+ 证法二 已知 ABC 中 ,ABC所对边分别为 ,abc，以 A为原点， AB所在直线为 x轴 建立直角坐标系，则 ( cos , sin ), ( ,0)Cb Ab A Bc
9、 ， 19.（本小题满分 12 分） 如图，从点 1 (0,0)P 做 x 轴的垂线交曲线 x y e= 于点 1 (0,1),Q 曲线在 1 Q 点处的切线与 x 轴交于点 2 P ，再从 2 P 做 x 轴的垂线交曲线于点 2 Q ，依次重复上述过程得到一系列点： 11 2 2 , ; , .; , , nn PQPQ PQ记 k P 点的坐标为 ( ,0)( 1,2,., ) k x kn= . （）试求 1 x 与 1k x 的关系 (2 )kn （ ）求 11 2 2 33 . nn PQ PQ PQ PQ+ 解（）设 11 (,0) kk Px ，由 x y e= 得 1 11 (
10、, ) k x kk Qxe 点处切线方程为 11 1 () kk xx k ye e xx = 由 0y = 得 1 1(2 ) kk x xkn =。 （ ） 11 0, 1 kk xxx =，得 (1) k xk=， (1) k x k kk PQ e e = 11 2 2 3 3 . nnn SPQPQPQ PQ=+ 1 12 (1) 1 1 1 . 11 nn n eee ee e ee =+ + + + = = 20.（本小题满分13分） 如图，A地到火车站共有两条路径L 1 和L 2 ，现随机抽取100位从A地 到火车站的人进行调查，调查结果如下： （）试估计40分钟内不能 赶到
11、火车站的概率; （ ）分别求通过路径L 1 和L 2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; （ ）现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽量 大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径。 解（）由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44人， 用频率估计相应的概率为0.44. （ ）选择L 1 的有60人，选择L 2 的有40人， 故由调查结果得频率为： （ ）A 1 ，A 2 ，分别表示甲选择L 1 和L 2 时，在40分钟内赶到火车站； B 1 ，B 2 分别表示乙选择L 1 和L
12、 2 时，在50分钟内赶到火车站。 由（）知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6 P(A 2 )=0.1+0.4=0.5， P(A 1 )P(A 2 ) 甲应选择L1 P(B 1 ) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8 P（B 2 ）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B 2 ）P（B 1 ） ， 乙应选择L 2 . 21.（本小题满分14分） 设 () ln.() () ()f xxgxfxfx=+。 （）求 ()gx的单调区间和最小值； （）讨论 ()gx与 1 ()g x 的大小关系； （）求 a的取值范围，使得 () ()ga gx 1 a 对任意 x0成立。 解（）由
13、题设知 1 () ln , () lnfx xgx x x =+， 2 1 () , x gx x = 令 ()gx =0得 x=1， 当 x（0，1）时， ()gx 0，故（0，1）是 ()gx的单调减区间。 当 x（1，+）时， ()gx 0，故（1，+）是 ()gx的单调递增区间，因此， x=1 是 ()gx的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 (1) 1.g = (II) 1 ()gInxx x = + 设 11 () () ( ) 1hx gx g Inx x x x =+，则 2 2 (1) () x hx x = ， 当 1x = 时， (1) 0h = 即 1 () ( )gx g x = ， 当 (0,1) (1, )x+时 (1) 0h = ， 因此， ()hx在 (0, )+ 内单调递减， 当 01x= 即 1 () ( ).gx g x （III）由（I）知 ()gx的最小值为1，所以， 1 () ()ga gx a ，成立 1 () 1 ,ga a 即 1,Ina 从而得 0 ae。 B卷试题答案 1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.B 9.A 10.D
