1、 数学试题（文史类） 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.复数（ 2+i） 2 等于 A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i 2.已知集合 M=1， 2， 3， 4， N=-2,2，下列结论成立的是 A.N M B.M N=M C.M N=N D.M N=2 3.已知向量 a=（ x-1,2）， b=（ 2,1），则 a b 的充要条件是 A.x=-12 B.x-1 C.x=5 D.x=0 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可一
2、世 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 5 已知双曲线 2 2xa - 25y =1 的右焦点为（ 3,0），则该双曲线的离心率等于 A 31414 B 324 C 32 D 43 6 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出 s 值等于 A -3 B -10 C 0 D -2 7.直线 x+ 3y -2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点，则弦 AB 的长度等于 A. 25 B 23. C. 3 D.1 8.函数 f(x)=sin(x- 4 )的图像的一条对称轴是 A.x= 4 B.x=2 C.x=-4 D.x=-2 9.设 ,则 f(g( )的值为 A 1 B 0 C
3、 -1 D 10.若直线 y=2x 上存在点（ x， y）满足约束条件 则实数 m 的最大值为 A.-1 B.1 C. 32 D.2 11.数列 an的通项公式 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2012 等于 A.1006 B.2012 C.503 D.0 12.已知 f（ x） =x-6x+9x-abc， a b c，且 f（ a） =f（ b） =f（ c） =0.现给出如下结论： f （ 0） f（ 1） 0； f（ 0） f（ 1） 0； f（ 0） f（ 3） 0； f（ 0） f（ 3） 0. 其中正确结论的序号是 A. B. C. D. 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：
4、本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相 应位置。 13.在 ABC 中，已知 BAC=60， ABC=45， ，则 AC=_。 14.一 支田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层 抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取女运动员 人数是 _。 15.已知关于 x 的不等式 x2-ax 2a 0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是 _。 16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线 表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都
5、能 到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可 铺设道路的 路线图如图 1，则最优设计方案如图 2，此时铺设道路的最小总费用为 10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3，则铺设道路的最小总费用为 _。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 12 分） 在等差数列 an和等比数列 bn中， a1=b1=1， b4=8， an的前 10 项和 S10=55. （）求 an 和 bn； （）现分别从 an和 bn的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的 值相等的概率
6、 。 18.(本题满分 12 分 ) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到 如下数据： （ I）求回归直线方程 y =bx+a，其中 b=-20， a=y -bx ； （ II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（ I）中的关系，且该产品的成本是 4 元 / 件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润 =销售收入 -成本） 19.（本小题满分 12 分） 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB=AD=1， AA1=2， M 为棱 DD1 上的一点。 （ 1） 求三棱锥 A-MCC1 的体积； （ 2） 当 A1M+
7、MC 取得最小值时，求证： B1M平面 MAC。 20. （本小题满分 13 分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （ 1） sin213 +cos217 -sin13 cos17 （ 2） sin215 +cos215 -sin15 cos15 （ 3） sin218 +cos212 -sin18 cos12 （ 4） sin2（ -18） +cos248 - sin2（ -18） cos248 （ 5） sin2（ -25） +cos255 - sin2（ -25） cos255 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。 21.（本小题满分 12 分） 如图，等边三角形 OAB 的边长为 83，且其三个顶点均在抛物线 E： x2=2py（ p 0）上。 （ 1） 求抛物线 E 的方程； （ 2） 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆 恒过 y 轴上某定点。 22.（本小题满分 14 分） 已知函数 3( ) sin ( ),2f x a x x a R 且在 , 0, 2 上的最大值为 32 ， （ 1）求函数 f(x)的解析式； (2)判断函数 f(x)在（ 0，）内的零点个数，并加以证明。
