1、试卷类型： A 湖北省教育考试院 保留版权 数学（文史类）试卷 A 型 第 1 页（共 10 页） 绝密 启用前 2012 年 普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学 （ 文史 类） 本试 题 卷共 4 页， 共 22 题 。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方 框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净
2、后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸 上无效。 3填空题和解答题的作答：用 统一提供的 签字笔 将答案 直接答在答题卡上对应的答题 区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 . 1 已知集合 2 | 3 2 0 , A x x x x R， | 0 5, B x x x N，则满足条件 A C B 的集合 C 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 2 容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表 ：
3、 则样本数据落在区间 10,40) 的频率为 A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 3 函数 ( ) cos2f x x x 在区间 0,2 上的零点的个数为 错误 !未找到引用源。 A 2 错误 !未找到引用源。 B 3 错误 ! 未 找 到 引 用 源 。 C 4 错误 !未找到引用源。 D 5 错误 !未找到引用源。 4 命题 “ 存在一个无理数，它的平方是有理数 ” 的否定是 A任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，它的平方不是有理数 C存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理数 5 过点 (1,1)P 的直线，将圆形区域 2
4、2( , ) | 4x y x y分为两部分，使得这两部分的面积 之差最大 ，则该 直线 的方程为 分组 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 频数 2 3 4 5 4 2 A 20 xy B 10y C 0 xy D 3 4 0 xy 6 已知定义在区间 0,2 上的函数 ()y f x 的图象如图所示， 则 (2 )y f x 的图象为 7 定义在 ( ,0) (0, ) 上的函数 ()fx，如果对于任意给定的等比数列 na ， ( )nfa 仍 是等比数列， 则称 ()fx为 “ 保等比数列函数 ” . 现有 定义在 ( ,0) (0, )
5、上的 如下 函数： 2()f x x ； ( ) 2xfx ； ( ) | |f x x ； ( ) ln| |f x x . 则其中是 “ 保 等比数列函数 ” 的 ()fx的序号为 A B C D 8 设 ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c . 若三边 的长 为连续的 三个 正整 数， 且 A B C ， 3 20 cosb a A ，则 sin : sin : sinA B C为 A 4:3:2 B 5:6:7 C 5:4:3 D 6:5:4 9 设 ,abc R ，则 “ 1abc ” 是 “ 1 1 1 abc abc ” 的 A充分条件但不是必要
6、条件 B必要条件但不是充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要的条件 10 如图， 在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA， OB 为直径作两个半圆 . 在扇形 OAB 内随机取一点 ， 则此点取自阴影部分的概率是 A 11 2 B 1 C 21 D 2 第 6 题图 O 1 2 x 1 1 y A O 1 2 x 1 1 y B O 1 2 x 1 1 y C O 1 2 x 1 1 y D O 1 2 x 1 1 y 第 10 题 图 侧视图 正视图 4 4 2 俯视图 1 1 第 15 题图 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分 . 请将答案填在答题卡
7、对应题号的位 置上 . 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 . 11 一支田径运动队有男运动员 56 人，女运动员 42 人 . 现用分层抽样的方法抽取若干人， 若抽取的男运动员有 8 人，则抽取的女运动员有 人 12 若 3i i 1ib ab （ a ， b 为 实数， i 为虚数单位） ，则 ab . 13 已知向量 (1, 0)a ， (1, 1)b ，则 （ ） 与 2ab同向的单位向量的坐标 表示 为 ； （ ）向量 3ba与向量 a 夹角的余弦值为 . 14若变量 ,xy满足 约束条件 1,1, 3 3, xy xy xy 则 目标函数 23z x y的最小值是 . 15 已知
8、 某几何体的三视图如图所示， 则 该几何体的体积为 . 16 阅读 如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 s . 17 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 . 他们研究 过 如图所示的 三角形数 ： 将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 na ， 将可被 5 整除的三角形数按从小到大的 顺序组成一个新数列 nb . 可以推测 ： （ ） 2012b 是数列 na 中的第 _项； （ ） 21kb _.（用 k 表示） 第 16 题图 第 17 题 图 10 6 3 1 三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分 . 解答应写出文字说明、证明过
9、程或演算步骤 . 18（本小题满分 12 分 ） 设函数 22( ) s i n 2 3 s i n c o s c o sf x x x x x ()xR 的图象关于直线 x 对 称 错误 !未找到引用源。 ， 其中 ， 错误 !未找到引用源。 为常数 ， 且 1( , 1) 2 . （ ）求 函数 ()fx的最小正周期； （ ）若 ()y f x 的图象经过点 ( ,0) 4 错误 !未找到引用源。 ，求 函数 ()fx的 值域 . 19（本小题满分 12 分 ） 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等 的等腰梯形的四棱台 1 1 1 1A B C D
10、ABCD ，上部是一个底面与四棱 台 的 上 底 面 重 合 ， 侧 面 是 全 等 的 矩 形 的 四 棱 柱 2 2 2 2ABCD A B C D . （ ）证明：直线 11BD 平面 22ACCA ； （ ）现需要对该零部件表面进行防腐处理 . 已知 10AB ， 1120AB ， 2 30AA ， 1 13AA （单位：厘米） ，每平方 厘米的加工处理费为 0.20 元 ， 需加工处理费多少元？ 20（本小题满分 13 分 ） 已知等差数列 na 前三项的和为 3 ， 前三项的积为 8 . （ ） 求等差数列 na 的通项公式； （ ） 若 2a ， 3a ， 1a 成等比数列，求数
11、列 | |na 的前 n 项和 . 21（本 小题满分 14 分 ） 设 A 是单位圆 221xy上的任意一点， l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线， D 是直线 l 与 x 轴的交 点，点 M 在直线 l 上，且满足 | | | | ( 0 , 1 )D M m D A m m 且. 当点 A 在圆上运 动时，记点 M 的轨迹为 曲线 C （ ）求曲线 C 的方程 ，判断曲线 C 为何种圆锥曲线 ，并求其焦点坐标； （ ）过原点斜率为 k 的直线交 曲线 C 于 P ， Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴 上的射影为点 N ，直线 QN 交 曲线 C 于另一点 H . 是否存在
12、 m ， 使得 对任意的 0k ， 都有 PQ PH ？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 . 22（本小题满分 14 分 ） 设函数 ( ) (1 ) ( 0 )nf x a x x b x ， n 为正整数， a， b 为常数 . 曲线 ()y f x 在 (1, (1)f 处的切线方程为 1xy. （ ） 求 a， b 的值； （ ） 求函数 ()fx的最大值； （ ） 证明 ： 1() efxn . A2 B 2 C2 D2 C B A D A1 B1 C1 D1 第 19 题图 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）试题参考答案 一、选 择题： A
13、 卷： 1 D 2 B 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 D 9 A 10 C 二、填空题： 11 6 12 3 13 （ ） 3 10 10( , ) 10 10 ；（ ） 25 5 14 2 15 12 16 9 17 （ ） 5030； （ ） 5 5 1 2kk 三、解答题： 18 解： （ ）因为 22( ) s i n c o s 2 3 s i n c o sf x x x x x c o s 2 3 s in 2xx 2 sin(2 )6x . 错误 ! 未找到引用源。 由 直线 x 是 ()y f x 图象 的一条对称轴，可得 sin(2 )1 6 ， 所以 2 (
14、) 62kk Z ，即 1 () 23k k Z 又 1( , 1) 2 ， kZ ， 所以 1k ，故 5 6 . 所以 ()fx错误 !未找到引用源。 的最小正周期是 6 5 . （ ）由 ()y f x 的图象过点 ( ,0) 4 ，得 ( ) 0 4f ， 即 5 2 s i n ( ) 2 s i n 2 6 2 6 4 ，即 2 . 故 5 ( ) 2 s in ( ) 2 36f x x ，函数 ()fx的 值域为 2 2, 2 2 . 19 解： （ ） 因为四棱柱 2 2 2 2ABCD A B C D 的侧面是全等的矩形， 所以 2AA AB ， 2AA AD . 又因为
15、AB AD A ，所以 2AA 平面 ABCD. 连接 BD，因为 BD 平面 ABCD，所以 2AA BD . 因为底面 ABCD 是正方形，所以 AC BD . 根据棱台的定义可知， BD 与 B1 D1共面 . 又已知平面 ABCD 平面 1 1 1 1ABCD ，且平面 11BBDD 平面 ABCD BD ， 平面 11BBDD 平面 1 1 1 1 1 1A B C D B D ，所以 B1 D1 BD. 于是 由 2AA BD ， AC BD ， B1 D1 BD，可得 2 1 1AA BD ， 11AC BD . 又因为 2AA AC A ，所以 11BD 平面 22ACCA .
16、 （ ） 因为四棱柱 2 2 2 2ABCD A B C D 的 底面是正方形， 侧面是全等的矩形，所以 2 2 21 2 2 2( ) 4 1 0 4 1 0 3 0 1 3 0 0 ( c m )S S S A B A B A A 四 棱 柱 上 底 面 四 棱 柱 侧 面. 又因为四棱台 1 1 1 1A B C D ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等 腰梯形， 所以 2 2 1 1 1 11( ) 4 2S S S A B A B A B h 四 棱 台 下 底 面 四 棱 台 侧 面 等 腰 梯 形 的 高() 2 2 2 2112 0 4 ( 1 0 2 0 ) 1
17、3 ( 2 0 1 0 ) 1 1 2 0 (c m )22 . 于是该实心零部件 的表面积为 212 1 3 0 0 1 1 2 0 2 4 2 0 ( c m )S S S ， 故所需加工处理费为 0.2 0.2 2420 484S （元） . 20 解： （ ） 设 等差数列 na 的公差为 d ，则 21a a d， 312a a d ， 由题意得 1 1 1 1 3 3 3,( )( 2 ) 8 .ada a d a d 解得 1 2,3,ad 或 1 4,3.ad 所以由 等差数列通项公式 可得 2 3( 1) 3 5na n n ，或 4 3( 1) 3 7na n n . 故
18、35nan ， 或 37nan. （ ） 当 35nan 时， 2a ， 3a ， 1a 分别为 1 ， 4 ， 2 ，不成等比数列； 当 37nan时， 2a ， 3a ， 1a 分别为 1 ， 2 ， 4 ，成等比数列，满足条件 . 故 3 7 , 1 , 2 ,| | | 3 7 | 3 7 , 3 .n nnan 记 数列 | |na 的前 n 项和 为 nS . 当 1n 时， 11| | 4Sa；当 2n 时， 2 1 2| | | | 5S a a ； 当 3n 时， 2 3 4| | | | | |nnS S a a a 5 ( 3 3 7 ) ( 3 4 7 ) ( 3 7
19、)n 2( 2 ) 2 ( 3 7) 3 1 15 1 02 2 2nn nn . 当 2n 时，满足 此 式 . 综上， 2 4 , 1, 3 1 1 1 0 , 1 .22n nS n n n 21 解： （ ）如图 1，设 ( , )Mxy ， 00( , )Ax y ，则由 | | | | ( 0 , 1 )D M m D A m m 且， 可得 0 xx ， 0| | | |y m y ，所以 0 xx ， 0 1| | | |yym . 因为 A 点在单位圆上运动，所以 22001xy. 将 式代入 式即得所求 曲线 C 的方程为 22 2 1 ( 0 , 1)yx m mm 且
20、. 因为 (0, 1) (1, )m ，所以 当 01m时， 曲线 C 是 焦点在 x 轴上 的椭圆 ， 两焦点坐标分别为 2( 1 , 0)m ， 2( 1 , 0)m ； 当 1m 时， 曲线 C 是 焦点在 y 轴上 的椭圆 ， 两焦点坐标分别为 2(0, 1)m， 2(0, 1)m . （ ） 解法 1： 如图 2、 3， 0k， 设 11( , )Px kx ， 22( , )Hx y ，则 11( , )Q x kx ， 1(0, )N kx ， 直线 QN 的 方程为 12y kx kx，将其代入椭圆 C 的方程并整理可得 2 2 2 2 2 2 211( 4 ) 4 0m k
21、x k x x k x m . 依题意可知此方程的两根为 1x ， 2x ，于是由韦达定理可得 2 1 12 224 4kxxx mk ，即 2 1 2 224mxx mk . 因为点 H 在直线 QN 上 ，所以 2 1 2 1 2 2222 4k m xy k x k x mk . 于是 11( 2 , 2 )PQ x kx ， 2211 2 1 2 1 2 2 2 242( , ) ( , )44k x k m xP H x x y k x m k m k . 而 PQ PH 等价于 2 2 21 224 ( 2 ) 04m k xP Q P H mk ， 即 220m， 又 0m ，
22、得 2m ， 故存在 2m ，使得 在其对应的椭圆 22 1 2yx 上，对任意的 0k ， 都有 PQ PH . 解法 2： 如图 2、 3， 1 (0,1)x ， 设 11( , )Px y ， 22( , )Hx y ，则 11( , )Q x y ， 1(0, )Ny， 因为 P ， H 两点在椭圆 C 上，所以 2 2 2 211 2 2 2 222 ,m x y mm x y m 两式相减可得 2 2 2 2 21 2 1 2( ) ( ) 0m x x y y . 依题意，由点 P 在第一象限可知，点 H 也在第一象限，且 P ， H 不重合， 故 1 2 1 2( )( ) 0
23、 x x x x . 于是由 式可得 21 2 1 2 1 2 1 2 ( )( )( )( )y y y y mx x x x . 又 Q ， N ， H 三点共线，所以 QN QHkk ，即 1 1 2 1 1 2 2y y yx x x . 于是 由 式可得 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )12 ( ) ( ) 2P Q P H y y y y y y y mkk x x x x x x x . 而 PQ PH 等价于 1 PQ PHkk ，即 2 1 2m ， 又 0m ， 得 2m ， 故存在 2m ，使得 在其对应的椭圆 22 1 2yx 上
24、，对任意的 0k ，都有 PQ PH . 22 解： （ ）因为 (1)fb ， 由点 (1, )b 在 1xy上，可得 11b，即 0b . 因为 1( ) ( 1)nnf x a n x a n x ，所以 (1)fa . 又因为切线 1xy的斜率为 1 ，所以 1a ，即 1a . 故 1a ， 0b . （ ） 由 （ ） 知， 1( ) (1 )n n nf x x x x x ， 1( ) ( 1) ( ) 1n nf x n x xn . P O x y N Q 图 2 (0 1)m H P O x y N Q 图 3 ( 1)m H 图 1 O D x y A M 第 21 题
25、解答图 令 ( ) 0fx ，解得 1nx n ，即 ()fx 在 (0, ) 上有唯一零点 0 1nx n . 在 (0, ) 1nn 上， ( ) 0fx ，故 ()fx单调递增； 而在 ( , ) 1nn 上 ， ( ) 0fx ， ()fx单调递减 . 故 ()fx在 (0, ) 上的最大值为 1( ) ( ) (1 )1 1 1 ( 1 ) nn nn n n nf n n n n . （ ） 令 1( ) ln 1 + ( 0 )t t t t ，则 221 1 1( ) = ( 0 )tttt t t . 在 (0,1) 上， () 0t ，故 ()t 单调递减； 而在 (1, ) 上 () 0t ， ()t 单调递增 . 故 ()t 在 (0, ) 上的最小值为 (1) 0 . 所以 ( ) 0 ( 1)tt ， 即 1ln 1 ( 1)tt t . 令 11t n ，得 11ln 1nnn ，即 11ln( ) ln enn n ， 所以 11( ) enn n ，即 1 1( 1) e n nnnn . 由 （ ） 知， 1 1() ( 1) e n nnfx nn ，故所证不等式成立 .
